利用數(shù)軸求閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問(wèn)題

耿幸

在我校舉行的一次教育教學(xué)研討交流活動(dòng)中，我聽(tīng)了兩位數(shù)學(xué)老師的公開(kāi)課，課題為“閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問(wèn)題”。

例1.函數(shù)f（x）=x2-2ax+2，x∈[1，3]，a∈R記f（x）最大值為g（a），求g（a）的表達(dá)式。

老師甲解法：開(kāi)口向上的二次函數(shù)最大值只能在所給出的區(qū)間端點(diǎn)上，對(duì)稱軸只需與區(qū)間中點(diǎn)比較即可。因此，當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）max=f（3）=11-6a；當(dāng)a>2時(shí)，f（x）max=f（1）=3-2a.

∴g（a）=

甲老師的解法雖然簡(jiǎn)潔明了，但是需要學(xué)生有較高的數(shù)學(xué)思維概括能力，從學(xué)生完成練習(xí)的情況來(lái)看也不是非常理想。

如何能讓學(xué)生更容易掌握相應(yīng)的內(nèi)容呢？

我們知道，|x-a|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x和常數(shù)a所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離，根據(jù)這一幾何意義，我們只需借助數(shù)軸觀察動(dòng)點(diǎn)的變化范圍，就能解決有關(guān)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題。這種方法直觀性強(qiáng)，容易理解，易于掌握。解題如下：

解法2：配方得：f（x）=|x-a|2-a2+2，所以f（x）最大值取決于區(qū)間[1，3]上的動(dòng)點(diǎn)x與a的距離的最大值。

讓點(diǎn)a在數(shù)軸上移動(dòng)，如圖所示，

在區(qū)間[1，3]上到點(diǎn)a距離最大的點(diǎn)必然是區(qū)間的端點(diǎn)1或者3，而區(qū)間中點(diǎn)2到兩個(gè)端點(diǎn)的距離恰好相等，因此，當(dāng)a≤2時(shí)，右端點(diǎn)3到點(diǎn)a的距離最大，所以當(dāng)x=3時(shí)|x-a|的距離最大，因此f（x）max=f（3）=11-6a。

當(dāng)a>2時(shí)，左端點(diǎn)1到點(diǎn)a的距離最大，所以x=1時(shí)|x-a|的距離最大f（x）max=f（1）=3-2a

∴g（a）=

上述方法處理更復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，思路更加清晰，解題更加流暢。

例2.對(duì)任意實(shí)數(shù)t，求函數(shù)f（x）=-cos2x-tcosx-t2的最小值

解：因?yàn)閒（x）=-|cosx-|2-t2，cosx∈[-1，1]

所以f（x）的最小值取決于區(qū)間[-1，1]上的動(dòng)點(diǎn)cosx與的距離的最大值。

如圖，點(diǎn)在數(shù)軸上移動(dòng)時(shí)，在區(qū)間[-1，1]上到的距離最大的點(diǎn)必然是區(qū)間端點(diǎn)-1或1，且區(qū)間中點(diǎn)為0，因此當(dāng)≤0，即t≤0時(shí)，右端點(diǎn)1到點(diǎn)的距離最大，所以，當(dāng)cosx=1時(shí)，|cosx-|的距離最大，因此f（x）min=-t2+t-1

當(dāng)>0即t>0時(shí)，左端點(diǎn)-1到點(diǎn)的距離最大，所以當(dāng)cosx=-1時(shí)|cosx-|的距離最大，因此f（x）min=-t2-t-1

所以，函數(shù)f（x）min=-t2-|t|-1

以上給出的幾種求導(dǎo)法各有利弊，需靈活運(yùn)用，也可結(jié)合使用。

參考文獻(xiàn)：

劉瑞美，孫玉.求二次函數(shù)最值得幾種形式.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009（23）.

編輯 段麗君