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      指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

      2015-06-11 16:45:35鄧峰汪蘭
      新課程學(xué)習(xí)·中 2015年4期
      關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù)物理學(xué)生物學(xué)

      鄧峰 汪蘭

      摘 要:正指數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,它不僅是一種重要的初等函數(shù),同時(shí),它在生活、生產(chǎn)等實(shí)際活動(dòng)中也應(yīng)用廣泛。如在疾病控制與統(tǒng)計(jì)、生物學(xué)、物理學(xué)、國民經(jīng)濟(jì)活動(dòng)、存款利率、人口預(yù)測(cè)、工業(yè)生產(chǎn)等問題上都可以運(yùn)用其進(jìn)行解決。

      關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù);疾病控制與統(tǒng)計(jì);生物學(xué);物理學(xué)

      隨著時(shí)代的進(jìn)步,科學(xué)技術(shù)也在不斷創(chuàng)新,其中作為基礎(chǔ)也是必不可少的數(shù)學(xué)有了長足的進(jìn)步。而指數(shù)函數(shù)作為數(shù)學(xué)里的一頁也有了前所未有的發(fā)展。作為函數(shù)中基本初等函數(shù)的指數(shù)函數(shù),在教學(xué)中有著不可取代的地位,同時(shí)在生活中也有著廣泛的應(yīng)用。

      指數(shù)函數(shù)并不是在歷史上直接出現(xiàn)的,而是在對(duì)數(shù)函數(shù)出現(xiàn)之后。歷史上由于天文學(xué)等方面的計(jì)算量太大,為了找到簡便的計(jì)算方法而發(fā)明了對(duì)數(shù)函數(shù),針對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)求反函數(shù),進(jìn)而得到指數(shù)函數(shù),這一點(diǎn)與現(xiàn)在教材中的順序是相反的?,F(xiàn)如今指數(shù)函數(shù)已經(jīng)在教材中為人們所學(xué)習(xí),但都是就指數(shù)函數(shù)的一些基礎(chǔ)性學(xué)習(xí),而關(guān)于指數(shù)函數(shù)的研究卻遠(yuǎn)不止于此。指數(shù)函數(shù)已在高等數(shù)學(xué)、微積分學(xué)、微分方程等高等數(shù)學(xué)中有了較深入的研究,同時(shí),指數(shù)函數(shù)也在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,如在疾病控制與統(tǒng)計(jì)、生物學(xué)、物理學(xué)、國民經(jīng)濟(jì)等方面都有應(yīng)用。下面進(jìn)行分類例析:

      一、在生活中的應(yīng)用

      例1.保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏溫度的不同而不同,假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù),若牛奶放在0℃的冰箱中,保鮮時(shí)間是192 h,而在22℃的廚房中則是42 h,(1)寫出保鮮時(shí)間y(h)關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x(℃)的函數(shù)解析式;(2)利用(1)中結(jié)論,指出在30℃和16℃的保鮮時(shí)間(精確到1h);

      解析:(1)設(shè)此函數(shù)為y=kax,則它過(0,192)(22,42)兩點(diǎn),代入(0,192)可確定出k=192,再代入(22,42)點(diǎn)即42=192×a22,從而得到a=(7/32)(1/22),所以y=192(7/32)(x/22)。(2)令x=30,利用計(jì)算器算出y=20,令x=16,計(jì)算得到y(tǒng)=64,用(1)中結(jié)論,指出在30°C的保鮮時(shí)間為20 h;16°C的保鮮時(shí)間為64 h。(精確到1 h)

      二、在疾病控制與統(tǒng)計(jì)方面的應(yīng)用

      例2.心臟病人數(shù)呈上升趨勢(shì),經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析,從2000年到2010年的10年間,每兩年上升2%,2009年和2010年兩年共發(fā)病815人。如果不加控制仍按這個(gè)比例發(fā)展下去,從2011年到2014年將有多少人發(fā)病?

      解:設(shè)從2009年起第x個(gè)兩年心臟病發(fā)病人數(shù)為y人,a為第一個(gè)兩年間的發(fā)病人數(shù),依題意得:y=a(1+2%)x-1,顯然a=815即y=815(1+2%)x-1(x∈N*)。2011年到2014年總計(jì)發(fā)病人數(shù)為815(1+2%)+815(1+2%)2≈1680(人)。

      三、在生物學(xué)上的應(yīng)用

      例3.菌在培養(yǎng)過程中每15分鐘分裂一次(由一個(gè)分裂成2個(gè)),這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4096個(gè)需經(jīng) 小時(shí)。

      解:設(shè)分裂x次后的細(xì)菌數(shù)為y,依題意得:y=2x,當(dāng)這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4096個(gè)時(shí),y=4096,即4096=2x,所以解得x=12,經(jīng)過12次分裂。又每15分鐘分裂一次,所以需經(jīng)過15×12/60=3(小時(shí))。

      四、在物理學(xué)上的應(yīng)用

      例4.死亡生物組織內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí),用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到碳14了。

      (1)死亡生物組織內(nèi)的碳14經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后,用一般的放射性探測(cè)器能測(cè)到碳14嗎?

      (2)大約經(jīng)過多少萬年后,用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到碳14了?

      解:(1)死亡生物組織內(nèi)的碳14的剩余量P與時(shí)間t的函數(shù)解析式為P=,當(dāng)時(shí)間經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后,死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量為P==()9≈0.002

      答:當(dāng)時(shí)間經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后,死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量約為死亡前的,所以還能用一般的放射性探測(cè)器測(cè)到碳14的存在。

      (2)設(shè)大約經(jīng)過t萬年后,用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到碳14,那么<0.001,解得t>5.7。

      五、在存款利率中的應(yīng)用

      某家庭打算用10年的時(shí)間存儲(chǔ)20萬元購置一輛轎車,為此每年需要存入銀行數(shù)額相同的??睿昀?.5%,按復(fù)利計(jì)算,問每年應(yīng)存入銀行多少錢?

      解:設(shè)每年應(yīng)存入x元,由題意得:

      [(1+3.5%)9+(1+3.5%)8+(1+3.5%)7+(1+3.5%)6+(1+3.5%)5+(1+3.5%)4+(1+3.5%)3+(1+3.5%)2+(1+3.5%)]x=20000.

      指數(shù)函數(shù)作為一個(gè)重要的函數(shù),它在生活中的應(yīng)用是極其廣泛的。希望通過本論文能對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解更加深入,為以后的學(xué)習(xí)、生活打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

      編輯 王夢(mèng)玉

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