指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用

鄧峰 汪蘭

摘 要：正指數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，它不僅是一種重要的初等函數(shù)，同時(shí)，它在生活、生產(chǎn)等實(shí)際活動(dòng)中也應(yīng)用廣泛。如在疾病控制與統(tǒng)計(jì)、生物學(xué)、物理學(xué)、國民經(jīng)濟(jì)活動(dòng)、存款利率、人口預(yù)測(cè)、工業(yè)生產(chǎn)等問題上都可以運(yùn)用其進(jìn)行解決。

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù)；疾病控制與統(tǒng)計(jì)；生物學(xué)；物理學(xué)

隨著時(shí)代的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)也在不斷創(chuàng)新，其中作為基礎(chǔ)也是必不可少的數(shù)學(xué)有了長足的進(jìn)步。而指數(shù)函數(shù)作為數(shù)學(xué)里的一頁也有了前所未有的發(fā)展。作為函數(shù)中基本初等函數(shù)的指數(shù)函數(shù)，在教學(xué)中有著不可取代的地位，同時(shí)在生活中也有著廣泛的應(yīng)用。

指數(shù)函數(shù)并不是在歷史上直接出現(xiàn)的，而是在對(duì)數(shù)函數(shù)出現(xiàn)之后。歷史上由于天文學(xué)等方面的計(jì)算量太大，為了找到簡便的計(jì)算方法而發(fā)明了對(duì)數(shù)函數(shù)，針對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)求反函數(shù)，進(jìn)而得到指數(shù)函數(shù)，這一點(diǎn)與現(xiàn)在教材中的順序是相反的?，F(xiàn)如今指數(shù)函數(shù)已經(jīng)在教材中為人們所學(xué)習(xí)，但都是就指數(shù)函數(shù)的一些基礎(chǔ)性學(xué)習(xí)，而關(guān)于指數(shù)函數(shù)的研究卻遠(yuǎn)不止于此。指數(shù)函數(shù)已在高等數(shù)學(xué)、微積分學(xué)、微分方程等高等數(shù)學(xué)中有了較深入的研究，同時(shí)，指數(shù)函數(shù)也在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如在疾病控制與統(tǒng)計(jì)、生物學(xué)、物理學(xué)、國民經(jīng)濟(jì)等方面都有應(yīng)用。下面進(jìn)行分類例析：

一、在生活中的應(yīng)用

例1.保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏溫度的不同而不同，假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間是192 h，而在22℃的廚房中則是42 h，（1）寫出保鮮時(shí)間y（h）關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x（℃）的函數(shù)解析式；（2）利用（1）中結(jié)論，指出在30℃和16℃的保鮮時(shí)間（精確到1h）；

解析：（1）設(shè)此函數(shù)為y=kax，則它過（0，192）（22，42）兩點(diǎn)，代入（0，192）可確定出k=192，再代入（22，42）點(diǎn)即42=192×a22，從而得到a=（7/32）（1/22），所以y=192（7/32）（x/22）。（2）令x=30，利用計(jì)算器算出y=20，令x=16，計(jì)算得到y(tǒng)=64，用（1）中結(jié)論，指出在30°C的保鮮時(shí)間為20 h；16°C的保鮮時(shí)間為64 h。（精確到1 h）

二、在疾病控制與統(tǒng)計(jì)方面的應(yīng)用

例2.心臟病人數(shù)呈上升趨勢(shì)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，從2000年到2010年的10年間，每兩年上升2%，2009年和2010年兩年共發(fā)病815人。如果不加控制仍按這個(gè)比例發(fā)展下去，從2011年到2014年將有多少人發(fā)病？

解：設(shè)從2009年起第x個(gè)兩年心臟病發(fā)病人數(shù)為y人，a為第一個(gè)兩年間的發(fā)病人數(shù)，依題意得：y=a（1+2%）x-1，顯然a=815即y=815（1+2%）x-1（x∈N*）。2011年到2014年總計(jì)發(fā)病人數(shù)為815（1+2%）+815（1+2%）2≈1680（人）。

三、在生物學(xué)上的應(yīng)用

例3.菌在培養(yǎng)過程中每15分鐘分裂一次（由一個(gè)分裂成2個(gè)），這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4096個(gè)需經(jīng) 小時(shí)。

解：設(shè)分裂x次后的細(xì)菌數(shù)為y，依題意得：y=2x，當(dāng)這種細(xì)菌由1個(gè)繁殖成4096個(gè)時(shí)，y=4096，即4096=2x，所以解得x=12，經(jīng)過12次分裂。又每15分鐘分裂一次，所以需經(jīng)過15×12/60=3（小時(shí)）。

四、在物理學(xué)上的應(yīng)用

例4.死亡生物組織內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到碳14了。

（1）死亡生物組織內(nèi)的碳14經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后，用一般的放射性探測(cè)器能測(cè)到碳14嗎？

（2）大約經(jīng)過多少萬年后，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到碳14了？

解：（1）死亡生物組織內(nèi)的碳14的剩余量P與時(shí)間t的函數(shù)解析式為P=，當(dāng)時(shí)間經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后，死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量為P==（）9≈0.002

答：當(dāng)時(shí)間經(jīng)過九個(gè)“半衰期”后，死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量約為死亡前的，所以還能用一般的放射性探測(cè)器測(cè)到碳14的存在。

（2）設(shè)大約經(jīng)過t萬年后，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到碳14，那么<0.001，解得t>5.7。

五、在存款利率中的應(yīng)用

某家庭打算用10年的時(shí)間存儲(chǔ)20萬元購置一輛轎車，為此每年需要存入銀行數(shù)額相同的?？睿昀?.5%，按復(fù)利計(jì)算，問每年應(yīng)存入銀行多少錢？

解：設(shè)每年應(yīng)存入x元，由題意得：

[（1+3.5%）9+（1+3.5%）8+（1+3.5%）7+（1+3.5%）6+（1+3.5%）5+（1+3.5%）4+（1+3.5%）3+（1+3.5%）2+（1+3.5%）]x=20000.

指數(shù)函數(shù)作為一個(gè)重要的函數(shù)，它在生活中的應(yīng)用是極其廣泛的。希望通過本論文能對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解更加深入，為以后的學(xué)習(xí)、生活打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

編輯 王夢(mèng)玉