張志攀，陽平華

（1.軍械工程學(xué)院，石家莊 050003；2.廣西崇左軍分區(qū)，廣西 崇左 532200）

一類非線性軍備競賽博弈的動(dòng)力學(xué)研究

張志攀1，2，陽平華1

（1.軍械工程學(xué)院，石家莊 050003；2.廣西崇左軍分區(qū)，廣西 崇左 532200）

針對多國軍備競賽問題，基于混沌動(dòng)力學(xué)理論，并考慮到非線性因素對軍備競賽的影響，改進(jìn)了理查森軍備競賽模型，建立了三國非線性軍備競賽的動(dòng)力學(xué)模型，通過Matlab數(shù)值仿真表明，各博弈方的預(yù)期函數(shù)影響軍備競賽的穩(wěn)定性，通過調(diào)整國家的不同預(yù)期函數(shù)變量，能夠使軍備競賽從混沌逐步趨于穩(wěn)定，這一結(jié)果將為國際軍控研究提供一定的參考。

軍備競賽，理查森模型，混沌，動(dòng)力學(xué)

0 引言

當(dāng)今世界并不太平，國家間的軍備競賽隨處可見，在中東，以色列、伊朗、沙特都有稱霸中東的企圖，力圖通過大量采購軍火來確保自己的軍事優(yōu)勢；在南亞，巴基斯坦與印度處于全天候地對抗?fàn)顟B(tài)，在核試驗(yàn)、常規(guī)武器采購等方面你追我趕；在東亞，朝鮮執(zhí)意發(fā)展自己的核力量，與美、日、韓三國針鋒相對，毫不退讓。雖然國際社會(huì)對控制軍備競賽作出各種努力，但是收效卻不是十分明顯。軍備競賽的研究興起于冷戰(zhàn)時(shí)期，由于對美蘇兩個(gè)超級(jí)大國軍備競賽的擔(dān)憂，學(xué)者們試圖從理論角度證明軍備競賽的可控性。在軍備競賽的博弈中，國家是理性的局中人，為了使自身的利益最大化，它必須通過觀察對手的情況并結(jié)合自身實(shí)際，做出自己的策略選擇。早期軍備競賽模型的研究對象為兩個(gè)國家，通過建立微分方程來反應(yīng)國家軍備競賽中策略的相互影響關(guān)系，如理查森模型。但是，現(xiàn)實(shí)世界中軍備競賽往往不止限于兩個(gè)國家，而是在多個(gè)國家之間發(fā)生。

近來年，一些學(xué)者對經(jīng)典軍備競賽模型進(jìn)行了改進(jìn)，并圍繞軍備競賽的穩(wěn)定性問題展開了討論，形成了3種不同的觀點(diǎn)［1］：①認(rèn)為軍備競賽存在穩(wěn)定性，代表人物為Richardson；②認(rèn)為軍備數(shù)量呈非線性增長，最終將導(dǎo)致軍備競賽失穩(wěn)，代表人物為MacGuire；③認(rèn)為軍備競賽的穩(wěn)定性僅限于局部地區(qū)，代表人物為Brito。同時(shí)國內(nèi)許多學(xué)者也致力于軍備競賽穩(wěn)定性的研究，駱樺［2］對超級(jí)大國主導(dǎo)下的軍備競賽穩(wěn)定性進(jìn)行研究，得到了單極世界軍備競賽的穩(wěn)定條件。劉光華［3］結(jié)合有限理性的博弈特點(diǎn)，建立了兩國軍備競賽的動(dòng)力系統(tǒng)模型。本文在相關(guān)文獻(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，通過改進(jìn)經(jīng)典模型中的影響因子，建立了非線性的三國軍備競賽博弈模型。

1 理查森軍備競賽模型介紹

理查森軍備競賽模型［4］是研究軍備競賽的主要模型之一，它是一種描述性的模型，即沒有目標(biāo)函數(shù)，也沒有最大化假設(shè)，通過建立微分方程，描述在兩個(gè)國家間武器變化的模型。設(shè)A、B兩國軍備是同質(zhì)的，其數(shù)量分別用x（t）、y（t）表示，國家的軍備增長比率與3個(gè)因素有關(guān)：①敵對國家的軍備情況對本國軍備增長的刺激作用；②本國已有的軍備情況對本國軍備增長的抑制作用；③由敵我雙方情況演變而成的其他復(fù)雜因素也會(huì)影響本國軍備數(shù)量，則兩國軍備競賽的微分方程組可表示為：

其中，k，α，l，β＞0，且為常數(shù)。當(dāng)兩國軍備數(shù)量不再變化，可得到反應(yīng)方程，即本國的軍備數(shù)量為另一國的函數(shù)：

當(dāng)kl-αβ＞0，g（t）≡g，h（t）≡h時(shí)，均衡解為：

2 改進(jìn)的理查森軍備競賽模型研究

理查森軍備競賽模型研究對象是兩個(gè)國家，且國家間的相互關(guān)系是線性的，但現(xiàn)實(shí)中軍備競賽常常在多個(gè)國家出現(xiàn)，并且他們之間存在非線性的關(guān)系，軍備并不是簡單地軍備數(shù)量上的競爭，更是軍備質(zhì)量、科研水平、持續(xù)發(fā)展?jié)摿ι系母偁?，理查森軍備競賽模型僅僅建立的線性競爭模型顯得過于簡單。各國之所以能夠進(jìn)行軍備競賽，源于國家經(jīng)濟(jì)的迅速增長，軍備增長與經(jīng)濟(jì)增長存在明顯的趨同關(guān)系［5-6］。為此，對理查森軍備競賽模型進(jìn)行了改進(jìn)來研究多國非線性軍備競賽的問題。以三國軍備競賽為例，假設(shè)A、B、C三國軍備數(shù)量分別用x（t）、y（t）、z（t）表示，且三國之間是獨(dú)立的理性個(gè)體，不與任何國家結(jié)盟，由于不同信念國家軍備競賽的模型不同，關(guān)系較為復(fù)雜，這里僅研究信念相同國家的軍備競賽情況，即A、B、C三國在考慮軍備競賽時(shí)其模型是相似的。我們認(rèn)為，軍備競賽依然是受三個(gè)方面的制約：對方實(shí)力，我方實(shí)力，其他復(fù)雜因素。考慮軍備質(zhì)量與數(shù)量間的倍增關(guān)系，設(shè)敵國軍備數(shù)量對本國軍備競賽的促進(jìn)作用是非線性二次函數(shù)關(guān)系，敵我雙方復(fù)雜因素對軍備競賽的影響既與本國軍備數(shù)量有關(guān)，也與敵對國家軍備數(shù)量相關(guān)，也是非線性二次函數(shù)關(guān)系。二次函數(shù)的特點(diǎn)與經(jīng)濟(jì)成本增長規(guī)律一致［7］，同時(shí)又由于經(jīng)濟(jì)增長與軍備競賽的趨同關(guān)系，所以二次函數(shù)模型符合國家間軍備增長的規(guī)律。因此，三國軍備競賽的微分方程組為：

式中a1，a2，a3分別為對方軍備數(shù)量對國家的刺激系數(shù)，b1，b2，b3分別為本國軍備數(shù)量對自身軍備擴(kuò)張的抑制系數(shù)，（c1，d1，f1），（c2，d2，f2），（c3，d3，f3）分別為其他復(fù)雜因數(shù)對軍備競賽的混合影響系數(shù)，且。由a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3，d1，d2，d3，f1，f2，f3＞0二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)函數(shù)位于對稱軸右側(cè)時(shí)，函數(shù)值是隨自變量單調(diào)遞增的；當(dāng)函數(shù)位于對稱軸左側(cè)時(shí)，函數(shù)值是隨自變量單調(diào)遞減的。x，y，z∈［0，1］，表示三國標(biāo)準(zhǔn)化后的軍備數(shù)量。

對于方程（2），其反應(yīng)方程為：

對于方程（3），其反應(yīng)方程為：

對于方程（4），其反應(yīng)方程為：

由反應(yīng)方程可以看出，三國的軍備水平是相互依賴的，其某一時(shí)期的軍備數(shù)量與其他兩個(gè)國家密切相關(guān)，一個(gè)國家是否增加軍備數(shù)量，必須充分考慮其他國家的軍備水平。國家之間的決策是一個(gè)動(dòng)態(tài)的決策過程，其對下一時(shí)期的決策會(huì)有一個(gè)預(yù)期。由于國家自身發(fā)展水平的不一樣，其策略預(yù)期函數(shù)均不相同。

實(shí)力弱小的國家往往只能按部就班確定自己軍備數(shù)量，其表示為：

實(shí)力中等的國家則依據(jù)這一時(shí)期的自己軍備數(shù)量與反應(yīng)方程的差值自動(dòng)調(diào)整下一時(shí)期軍備數(shù)量，若高于反應(yīng)方程值，則再下一輪軍備調(diào)整需減少軍備的增長數(shù)量，反之，則增加軍備增長的數(shù)量，其表示為：

實(shí)力較強(qiáng)的國家則依據(jù)軍備數(shù)量增長的速率自動(dòng)調(diào)整下一時(shí)期軍備數(shù)量，如果這一時(shí)期軍備數(shù)量增長率為正，則減少下一時(shí)期的軍備數(shù)量，反之，則增加下一時(shí)期的軍備數(shù)量，其表示為：

將式（5）代入式（8）得：

將式（6）代入式（9）得：

將式（4）代入式（10）得：

3 軍備競賽模型的動(dòng)力學(xué)研究

如果將3個(gè)國家以及它們之間的關(guān)系看成一個(gè)系統(tǒng)，那么軍備競賽行為隨時(shí)間發(fā)生變化就使得這三國構(gòu)成了一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)。軍備競賽的動(dòng)力學(xué)行為就是偏離平衡態(tài)而發(fā)生變化的過程，因此，首先必須要確定動(dòng)力系統(tǒng)方程組的穩(wěn)定狀態(tài)。通過由式（11）～式（13）組成的動(dòng)力系統(tǒng)方程組求解雅可比矩陣［8］：

取a1=a2=a3=1，b1=0.08，b2=0.07，b3=0.06，c1=3.02，c2=3.04，c3=3.06，d1=d2=d3，f1=-4，f2=-4.2，f3=4.4。令x（t+1）=x（t），y（t+1）=y（t），z（t+1）=z（t），取弱國x的軍備數(shù)量初值為0.2，中等國家y的軍備數(shù)量初值為0.5，強(qiáng)國z的軍備數(shù)量初值為0.8，且x，y，z均大于零，則納什均衡點(diǎn)為：

在均衡點(diǎn)處，其雅可比矩陣為：

其特征方程為：

其中：

對于判定差分方程組系統(tǒng)的穩(wěn)定性，有如下判定定理。

定理1［9］設(shè)齊次線性常系數(shù)差分方程組為：

則該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件為：A的所有特征值在復(fù)平面的單位圓內(nèi)。

表1 多項(xiàng)式系數(shù)關(guān)系表

其中

依次類推，直到一行只有3個(gè)元素為止，則p（λ）所有零點(diǎn)在復(fù)平面單位圓內(nèi)的充分必要條件是

條件（15）即為Routh-Hurwitz判據(jù)，當(dāng)特征方程（14）滿足條件（15）時(shí)，則由方程（11）～方程（13）組成的差分方程系統(tǒng)在不動(dòng)點(diǎn)（x*，y*，z*）處是穩(wěn)定的。其穩(wěn)定區(qū)域如圖1所示。

圖1 三國軍備競賽在不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域

圖2 ξ=-0.3時(shí)三國軍備競賽隨?變化的分叉圖

由圖1可以看出，當(dāng)-0.176≤ξ＜0時(shí)，無論?取何值，三國博弈處于穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)-0.337＜ξ＜-0.176，三國軍備競賽的穩(wěn)定狀態(tài)與?有關(guān)。如圖2所示，即表示當(dāng)ξ=-0.3時(shí)，三國軍備競賽隨?變化的分叉圖。

由圖2可以看出，當(dāng)ξ=-0.3，?＜-0.31時(shí)，三國軍備競賽處于二倍周期分叉狀態(tài)；當(dāng)?≥-0.31三國軍備競賽穩(wěn)定在不動(dòng)點(diǎn)處。

由圖3可以看出，當(dāng)?=-0.1，ξ≥-0.32時(shí)，三國軍備競賽穩(wěn)定在不動(dòng)點(diǎn)；當(dāng)ξ＜-0.32時(shí)，三國軍備競賽處于不穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)ξ＜-0.54三國軍備競賽處于混沌狀態(tài)。

圖3 ?=-0.1時(shí)三國軍備競賽隨ξ變化的分叉圖

圖4 混沌狀態(tài)的吸引子

圖4表示當(dāng)?=-0.1，ξ=-0.57時(shí)，三國軍備競賽處于混沌狀態(tài)時(shí)的吸引子，此時(shí)軍備競賽處于極端的不穩(wěn)定狀態(tài)，各國為了取得最佳的利益，不斷調(diào)整自己的裝備數(shù)量，這也將造成其他國家的不安全感，并引發(fā)新一輪的軍備競賽，使地區(qū)局勢動(dòng)蕩。圖5～圖7即為當(dāng)國家x將軍備數(shù)量從0.8改變?yōu)?.800 01時(shí)，三國軍備數(shù)量的變化情況。

圖5 國家x軍備數(shù)量隨時(shí)間變化情況

圖6 國家y軍備數(shù)量隨時(shí)間變化情況

圖7 國家z軍備數(shù)量隨時(shí)間變化情況

4 結(jié)論

軍備競賽中，各國的策略依據(jù)其他國家的軍備情況而制定，而本國的做出的策略選擇又將對下一時(shí)期其他國家的軍備策略產(chǎn)生影響。軍備競賽的不穩(wěn)定性，與各國采取不同的預(yù)期策略密切相關(guān)。本次研究發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)整各國策略函數(shù)的預(yù)期取值，能夠使三國軍備競賽從不穩(wěn)定狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，各國均沒有改變他們策略的動(dòng)機(jī)而使自身利益受損，這將有利于緩和地區(qū)局勢，促進(jìn)國際軍控的發(fā)展和世界和平。

［1］魏偉.軍備競賽與裁軍的博弈分析［J］.軍事經(jīng)濟(jì)研究，2007，28（1）：18-20.

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Study on Dynamics of a Nonlinear Arms Race Game

ZHANG Zhi-pan1，2，YANG Ping-hua1
（1.Academy of Ordnance Engineering，Shijiazhuang 050003，China；
2.Chongzuo Military Subarea of Guangxi Military Region，Chongzuo 532200，China）

In allusion to the problem of multi-nation arms race，based on chaotic dynamical theory，and considering that the nonlinear factor affect arms race，the text adopted the quadratic equation to improved Richardson arms race model，founded a nonlinear three-nation arms race dynamical model.With Matlab we simulate a type of arms race and analyze results among different variables.The simulation result show that the anticipated function of game players affect stability of arms race.By adiusting variables of different anticipated functions，the state of arms race among nations take a stable turn from chaotic.The result will provide scientific indication for study on international arms control.

arms race，richardson model，chaotic，dynamics

E0-059

A

1002-0640（2015）03-0175-04

2014-01-18

2014-03-19

張志攀（1984- ）,男，四川成都人，碩士研究生。研究方向：博弈論及其軍事應(yīng)用。