四川省宣漢縣中小學(xué)教學(xué)研究室 趙緒昌 (郵編：636150)

數(shù)學(xué)活動設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注“六性”

四川省宣漢縣中小學(xué)教學(xué)研究室 趙緒昌 (郵編：636150)

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué).數(shù)學(xué)教學(xué)效率的高低在很大程度上取決于數(shù)學(xué)活動水平的高低，數(shù)學(xué)活動設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注目標(biāo)性、思維性、主體性、引導(dǎo)性、探索性、交流性，等等，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)效益.

數(shù)學(xué)教學(xué)；活動設(shè)計(jì)；關(guān)注“六性”；案例分析

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本質(zhì)是一種活動，是人類運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法，觀察、解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題或?qū)σ延械臄?shù)學(xué)結(jié)論不斷抽象、概括形成新的結(jié)論和新的應(yīng)用的數(shù)學(xué)活動，這種“活動”既包括外部的“物理活動”，也包括內(nèi)部的“思維活動”.從發(fā)生的觀點(diǎn)來看，外部活動是原初的，內(nèi)部活動起源于外部活動，是外部活動內(nèi)化的結(jié)果.內(nèi)部活動又通過外部活動而外化.這兩種活動可以相互影響，共同對個體的認(rèn)知和體驗(yàn)起到相互促進(jìn)的作用.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動是學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”、“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí)過程.數(shù)學(xué)活動可分為三類：一是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的活動，二是應(yīng)用數(shù)學(xué)的活動，三是數(shù)學(xué)交流的活動.它包含了和數(shù)學(xué)有關(guān)的一切活動，如數(shù)學(xué)概念的形成過程，數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)和發(fā)展過程，數(shù)學(xué)結(jié)論、方法的應(yīng)用過程，等等.數(shù)學(xué)教學(xué)效率的高低在很大程度上取決于數(shù)學(xué)活動水平的高低.有效的數(shù)學(xué)活動至少應(yīng)該具備以下兩個特征：(1)活動應(yīng)具有挑戰(zhàn)性——創(chuàng)設(shè)有效的問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生的思維受到適度挑戰(zhàn).(2)活動過程中，學(xué)生都有一個明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)——現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是什么問題？教師應(yīng)隨時觀察學(xué)生在思考什么？思維上有無障礙？如何引導(dǎo)？在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動時，涉及到兩個重要環(huán)節(jié)，即一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)情境和可供學(xué)生進(jìn)行有效活動的序列問題.數(shù)學(xué)活動的形式應(yīng)該根據(jù)內(nèi)容與實(shí)效來確定，可以是實(shí)驗(yàn)觀察、動手操作、展示交流等不同形式或多種形式的結(jié)合.學(xué)生通過這樣的數(shù)學(xué)活動，獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗(yàn)，并從數(shù)學(xué)活動中體味數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對數(shù)學(xué)價(jià)值的理解，進(jìn)而提高學(xué)生的思考力、判斷力和表達(dá)力.隨著數(shù)學(xué)新課程的深入實(shí)施，廣大的數(shù)學(xué)教師在課程理念方面已有一定的認(rèn)識，比較重視改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，重視數(shù)學(xué)交流、合作學(xué)習(xí)等數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，并積累了較豐富的數(shù)學(xué)新課程實(shí)施經(jīng)驗(yàn).但是，當(dāng)前數(shù)學(xué)活動教學(xué)在很大程度上仍然停留在“為活動而活動”的表層上，數(shù)學(xué)活動展開不夠充分，數(shù)學(xué)的本質(zhì)凸顯不夠，數(shù)學(xué)教學(xué)缺乏創(chuàng)造性和數(shù)學(xué)性，學(xué)生內(nèi)在的情感和思維沒有被真正激活，這極大地影響了主體的主動建構(gòu).究其原因，不少教師對數(shù)學(xué)活動的理解還存在偏差，認(rèn)為數(shù)學(xué)活動只是動手操作，不重視“數(shù)學(xué)化”的過程，缺乏對數(shù)學(xué)活動的形式及其作用的理性認(rèn)識，不能準(zhǔn)確地了解學(xué)生的真實(shí)思維活動，較多的只是憑自己的經(jīng)驗(yàn)、直覺，甚至是主觀臆斷選擇數(shù)學(xué)活動，不知道數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該在何處活動、何時活動、怎樣活動、活動應(yīng)該達(dá)到什么目的，因而在實(shí)施數(shù)學(xué)活動教學(xué)時無所適從，不能科學(xué)地把握教學(xué)的進(jìn)程與節(jié)奏.本文舉例說明數(shù)學(xué)活動設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注“六性”.

1 目標(biāo)性

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動的出發(fā)點(diǎn)，也是歸宿.教學(xué)活動應(yīng)該以有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)為依歸.活動是教師引領(lǐng)學(xué)生達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的重要載體和手段，是學(xué)生走向目標(biāo)的重要路徑.沒有目標(biāo)的活動是盲目的，偏離目標(biāo)的活動是低效的.在教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)和安排的各種活動都必須有明確的目標(biāo)，每一個活動都應(yīng)該以達(dá)成教學(xué)目標(biāo)為導(dǎo)向.教學(xué)內(nèi)容是什么，教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么，活動的設(shè)計(jì)能夠達(dá)到怎樣的目標(biāo)，是我們著手?jǐn)?shù)學(xué)活動設(shè)計(jì)時必須關(guān)注的問題.

案例1 “有理數(shù)的加法法則”的教學(xué)片斷

在教學(xué)“有理數(shù)的加法法則”時，設(shè)計(jì)如下的問題情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索活動.

若規(guī)定足球比賽中贏球?yàn)椤罢?，輸球?yàn)椤柏?fù)”，那么主客場兩場比賽的過程和結(jié)果有各種不同的情形.例如，如果主場比賽贏了3球，客場比賽輸了2球，那么兩場比賽凈勝1球.借助已有的數(shù)學(xué)知識和生活經(jīng)驗(yàn)，上述過程和結(jié)果可以表示為：(+3)+(-2)=+1.

問題1 你能說出這樣的比賽可能出現(xiàn)哪些不同的情形，能用數(shù)學(xué)式子表示嗎？

問題2 觀察各種不同的算式，你能從中得到啟發(fā)，歸納出兩個有理數(shù)相加的法則嗎？

問題3 “兩個相反數(shù)相加的和為0”與“異號兩數(shù)相加的法則”有什么關(guān)系？

問題4 有理數(shù)加法與小學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)的加法有什么聯(lián)系與區(qū)別？

對問題1，學(xué)生通過討論，可列出兩個有理數(shù)相加的各種不同的算式.在這個過程中，學(xué)生還可以感受到分類的思想.

通過問題2，引導(dǎo)學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)——贏、輸之間的關(guān)系(先贏后輸、先輸后贏、贏了再贏、輸了再輸)，在探索、交流的基礎(chǔ)上，共同歸納出有理數(shù)加法的法則.在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、分析、比較、探索、歸納的過程.

通過問題3，引導(dǎo)學(xué)生感受“特殊”與“一般”的關(guān)系.

通過問題4，引導(dǎo)學(xué)生把新知識納入到原有的知識體系中.同時，幫助學(xué)生形成進(jìn)行有理數(shù)加法運(yùn)算的良好習(xí)慣——先判斷和的符號，再進(jìn)行計(jì)算.

這樣，通過一系列的探索活動，學(xué)生不僅能主動地獲得知識——有理數(shù)加法法則，而且能在獲得知識的過程中感受分類、歸納、特殊與一般等基本數(shù)學(xué)思想，使“數(shù)學(xué)思考”、“問題解決”目標(biāo)與“知識技能”目標(biāo)有機(jī)地融合.這樣的數(shù)學(xué)活動有目標(biāo)、有意義、有價(jià)值.

2 思維性

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)活動，數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)是思維活動，沒有數(shù)學(xué)思維的活動不是真正意義上的數(shù)學(xué)活動，沒有一定思維深度的數(shù)學(xué)活動不是好的數(shù)學(xué)活動.判斷學(xué)生是否經(jīng)歷了深層次數(shù)學(xué)活動的標(biāo)準(zhǔn)是有沒有思維層次的遞進(jìn).數(shù)學(xué)活動不僅僅是指探究性、具體化的活動，更重要的是指學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)探索和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動.比如數(shù)學(xué)的理解過程，它包括了學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及解題活動的過程，我們不能把這種活動的過程僅僅理解為一種形式，認(rèn)為它是數(shù)學(xué)內(nèi)容的載體和實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的手段，必須注重學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)思維參與，突出“手”、“腦”并用，注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng).畢竟，在這些數(shù)學(xué)活動過程中，沒有高層次思維的參與就談不上“數(shù)學(xué)理解”.因此，數(shù)學(xué)活動的設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注思維性.

案例2 “認(rèn)識三角形”的教學(xué)片斷

“認(rèn)識三角形”一課的主要內(nèi)容是三角形的邊、角的概念及表示，三角形的分類以及“三角形的三邊關(guān)系”.關(guān)于這些概念、表示及分類，一般是教師對照圖形進(jìn)行介紹，學(xué)生說說、議議，一般不用探究；而對于“三角形的三邊關(guān)系”(a-b

2.1 搭火柴棒

讓同桌的兩名同學(xué)合作準(zhǔn)備5根小木棒，長度分別為3cm、4cm、5cm、6cm和9cm，任意取出3根小木棒首尾相接搭三角形，看能搭成幾個三角形？2.2 交流成果

先請一位同學(xué)交流一下自己的嘗試結(jié)果，再請1～2位同學(xué)補(bǔ)充，可得：3cm、4cm、5cm，3cm、4cm、6cm，4cm、5cm、6cm，4cm、6cm、9cm和5cm、6cm、9cm.

2.3 交流結(jié)論

師：根據(jù)上述情形，哪位同學(xué)能說出構(gòu)成三角形的三邊必須滿足什么條件嗎?

由兩位同學(xué)回答后，歸納總結(jié)：三角形任意兩邊的和大于第三邊.

師：你能將上述文字語言轉(zhuǎn)換為符號語言嗎?

生：設(shè)三角形三邊的長度分別為a，b，c，則a+b>c，b+c>a，a+c>b；

2.4 驗(yàn)證結(jié)論

師：請思考，在三角形中為什么一定有a+b>c？

圖1

教師畫出示意圖形(如圖1)，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化：a+b=BC+CA,c=BA;再請學(xué)生思考：為什么一定有BC+CA>BA?

學(xué)生聯(lián)想舊知“兩點(diǎn)之間線段最短”.另兩個式子，同理可得.

2.5 延伸拓展

從“兩邊之和大于第三邊”過渡到“兩邊之差小于第三邊”的探究.

師：請大家想想，剛才得到了兩邊之和大于第三邊，你能聯(lián)想到什么？你還想知道什么?

生：我想到兩邊之差.

師：“兩邊之差”和第三邊的關(guān)系會是怎樣的?如何獲得“兩邊之差”呢?

讓學(xué)生觀察上面三個式子，容易想到移項(xiàng)：將b+c>a移項(xiàng)，得a-c

這樣圍繞“三角形的三邊關(guān)系”的公式進(jìn)行了一次探究活動用時約15分鐘，它是由同桌同學(xué)借助五個火柴棒，通過自己擺弄、嘗試，感覺到：有的能搭成、有的不能搭成，這是一個數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程，學(xué)生從中獲得了一些感性認(rèn)識，再通過同伴的交流、合作，概括出“兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論且符號化，又通過“為什么成立?”將感性認(rèn)識上升至理性認(rèn)識.其中，這個對“三角形兩邊之和”的探究自然而順暢，從探究的交流結(jié)論開始學(xué)生有些困難，但在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，學(xué)生能主動結(jié)合舊知去思考、探究！通過類比思想，自己發(fā)現(xiàn)了“兩邊之和”、“兩邊之差”的規(guī)律，再一次感受成功.通過追問——滿足什么條件嗎?你能聯(lián)想到什么?你還想知道什么?構(gòu)成學(xué)生探究的突破.這種不斷深入的探究活動，用時十幾分鐘，不僅讓學(xué)生親身經(jīng)歷了結(jié)論的形成過程，感受成功的快樂，而且有助于學(xué)生掌握探究的方法，訓(xùn)練學(xué)生的思維.

3 主體性

數(shù)學(xué)活動是學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的活動.學(xué)生的學(xué)習(xí)不是一個被動接受知識強(qiáng)化儲存的過程，而是用原有的知識處理各項(xiàng)新的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過同化和順應(yīng)等心理活動和變化，不斷的構(gòu)建和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.因此，我們在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動設(shè)計(jì)時，要著眼于學(xué)習(xí)者的主體地位，讓學(xué)生對活動享有絕對的參與權(quán)、選擇權(quán)，以激發(fā)其學(xué)習(xí)動機(jī)和責(zé)任感，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，促進(jìn)學(xué)生對知識意義的主動建構(gòu).同時，要依據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)和不同學(xué)段學(xué)生的思維特點(diǎn)，不僅要注意學(xué)生淺層次的感性參與，即通過簡單的思維和簡單的活動方式參與的課堂活動，如教師設(shè)疑學(xué)生答問，圍繞設(shè)問展開小組討論等.更要關(guān)注學(xué)生較高層次的理性參與，即學(xué)生在活動中獨(dú)立質(zhì)疑，歸納總結(jié)，運(yùn)用已知解答或推論出新知，運(yùn)用相關(guān)知識提出新設(shè)想，提出有理有據(jù)的質(zhì)疑或不同見解，等等，這樣的活動體現(xiàn)的是學(xué)生的主體地位，注重的是學(xué)生的思維過程和能力的開發(fā)，活動指向的是學(xué)生的持續(xù)發(fā)展和終身發(fā)展.

案例3 “完全平方公式”的教學(xué)片斷

3.1 探索活動

(1)前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法，你能說說運(yùn)算法則嗎？運(yùn)算的依據(jù)是什么？

(2)(x+b)(x+d)可以利用公式直接寫出結(jié)果，它是(a+b)(c+d)在a=c=x時的特例(先行組織者).在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為還有哪些特殊情形？你能得到什么？(完全放手讓學(xué)生探究，學(xué)生的結(jié)論多種多樣，包括完全平方公式和平方差公式.)

(3)完全平方公式有哪些特征？請你用自己的語言表述公式.

3.2 公式應(yīng)用：略.

3.3 幾何解釋

如果a、b表示線段的長，則a2、b2分別表示正方形的面積，你能根據(jù)公式形式，自己構(gòu)造圖形表示完全平方公式嗎？

3.4 課堂小結(jié)

(1)請你說說公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及應(yīng)用時應(yīng)注意的問題.

(2)請你總結(jié)一下這節(jié)課討論問題的基本過程.(從一般到特殊，考察特例.)

(3)能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？

完全平方公式是多項(xiàng)式乘法(a+b)(c+d)在c=a，d=b時的特例，多項(xiàng)式乘法是完全平方公式的知識生長點(diǎn).教師引導(dǎo)學(xué)生在多項(xiàng)式乘法基礎(chǔ)上探究特例，切合知識的發(fā)生發(fā)展過程和內(nèi)在的邏輯線索，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.課堂小結(jié)時引導(dǎo)學(xué)生反思該課公式的探索過程，有利于學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗(yàn)；鼓勵學(xué)生繼續(xù)探究特例，有的學(xué)生提出推廣次數(shù)，研究(a+b)3,(a+b)4……有的學(xué)生提出推廣字母個數(shù)，研究(a+b+c)2，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.這些數(shù)學(xué)活動的設(shè)計(jì)很好地向?qū)W生滲透了從一般到特殊、歸納的思想，教給學(xué)生數(shù)學(xué)研究的一個重要的“基本套路”——考察特例.

探索公式時學(xué)生自己尋找特例，對公式進(jìn)行幾何解釋時自己構(gòu)造圖形，課堂小結(jié)時自己提出研究的問題.雖然探究活動耗時多，學(xué)生練習(xí)的量有所減少，但學(xué)生探究的空間大，是真探究，學(xué)生靠自己探究出公式，學(xué)生自己提出好的問題和研究思路.下課了學(xué)生還沉浸在濃厚的研究氛圍之中，學(xué)生的成就感得到了充分的滿足，學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣得到了充分的激發(fā).

本課充分挖掘知識內(nèi)容所蘊(yùn)含的發(fā)展價(jià)值，成功實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)的育人價(jià)值，充分體現(xiàn)了以學(xué)生發(fā)展為本的教學(xué)理念，達(dá)到了授之以“育”的教學(xué)效果，數(shù)學(xué)活動關(guān)注了主體性，是生本立意的教學(xué)活動.

4 引導(dǎo)性

數(shù)學(xué)活動是指在教師的指導(dǎo)下，學(xué)習(xí)者充分發(fā)揮其主體作用，以活動為形式，通過一定的數(shù)學(xué)情境來體驗(yàn)其中的數(shù)學(xué)知識，獲得直接經(jīng)驗(yàn)的過程.因?yàn)橛行У臄?shù)學(xué)活動意味著教師需要喚醒、引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性來促進(jìn)和激勵學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，不斷引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求，這是數(shù)學(xué)活動有效進(jìn)行的動力.由此可見，教師在教學(xué)活動中的角色極為重要.這種重要性主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)活動必須按照引導(dǎo)的方式組織教學(xué)，把活動轉(zhuǎn)化為一系列問題，循循善誘，駕馭整個課堂活動的進(jìn)程和方向，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動有目標(biāo)、有方向、有收獲.

案例4 “分式”的教學(xué)，在學(xué)生歸納總結(jié)出分式的概念后，設(shè)計(jì)這樣的活動：

(1)選擇一個你喜歡的x的值，求分式的值；

(2)當(dāng)x取什么數(shù)時，分式有意義？

(3)當(dāng)x取什么數(shù)時，分式的值是零？

活動(1)的目的是讓學(xué)生在活動中體驗(yàn)到這里的字母可以取正數(shù)，也可以取負(fù)數(shù)；可以取整數(shù)，也可以取分?jǐn)?shù)；同時通過這個活動，讓學(xué)生體驗(yàn)分式中的字母能取的數(shù)是有一定的限制的，如這里的x不能取1，從而使問題(2)和(3)的解決順理成章.

然而，沒有教師的必要引導(dǎo)，學(xué)生很難給出“0”或“負(fù)數(shù)”的例子，如果就學(xué)生給出的幾個簡單的正整數(shù)，匆匆讓活動結(jié)束，那么這個活動的價(jià)值就無法體現(xiàn)，活動也等于虛設(shè).這時候，教師的必要引導(dǎo)，就顯得格外重要.如教師可以這樣引導(dǎo)：還有很多數(shù)字在我們的身邊，而我們卻沒有察覺到，你能聯(lián)系我們提出的問題“你喜歡的x的值，再說一些不同的數(shù)嗎？”

在解決了前面的問題之后，如何讓學(xué)生在活動中體驗(yàn)“x≠1”并保持問題的探索性，就需要教師設(shè)置一些問題引導(dǎo)學(xué)生討論，增加師生互動.

比如可以設(shè)問：老師也喜歡一個數(shù)，因?yàn)樗俏业男疫\(yùn)數(shù)，你們能猜出來嗎？

(學(xué)生猜想，教師注意課堂的變化.當(dāng)學(xué)生猜不出時，可以揭示答案：我喜歡的是“1”，因?yàn)槲页錾?月.這樣的回答，引起學(xué)生的思維沖突，以利于下一步問題的解決.)

生：x不能取1，

師：如果x取1，結(jié)果會怎么樣呢？

生：會使分式無意義.

師：要使分式有意義，x應(yīng)滿足什么條件？

同時多媒體出示：

(2)當(dāng)x取什么數(shù)時，分式有意義？

(3)當(dāng)x取什么數(shù)時，分式的值是零？

雖然只是幾句簡單的引導(dǎo)語，但已經(jīng)體現(xiàn)了活動的目的，學(xué)生在活動中體驗(yàn)到了分式中字母的取值可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù)，但使分式有意義是前提條件，解決了本課的難點(diǎn).

5 探索性

數(shù)學(xué)教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動時，所選擇的問題及安排的數(shù)學(xué)活動不但要適合于學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維水平，也要考慮到促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向下一個數(shù)學(xué)思維階段發(fā)展，既要考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力水平的限制，又要考慮到數(shù)學(xué)思維發(fā)展的潛力.從這樣的角度去分析，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該不斷深入了解學(xué)生真實(shí)的思維活動，善于引起學(xué)生觀念上的不平衡，采取有效的教學(xué)對策，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平不斷上層次.一個有效的策略，就是加大數(shù)學(xué)活動的探索性成分，引導(dǎo)學(xué)生對已有數(shù)學(xué)知識做進(jìn)一步整理和改組，適當(dāng)加大數(shù)學(xué)知識難度和滲透科學(xué)認(rèn)識的教學(xué)，重視學(xué)生對科學(xué)方法、科學(xué)價(jià)值的掌握和理解的導(dǎo)引教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生對整理知識和重組知識能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能從知識材料間的問題和矛盾中不斷探索發(fā)現(xiàn)和解決問題，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識的深化和發(fā)展.

案例5 “切線長定理”的教學(xué)片斷

教師設(shè)計(jì)如下數(shù)學(xué)活動：

活動1 分別畫出已知圓的一條切線；兩條相交的切線.

活動2 教師講解切線長概念，并強(qiáng)調(diào)辨析切線與切線長的區(qū)別.

活動3 如圖2，利用圖形的軸對稱性，說明圖中PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？

活動4 得出猜想，驗(yàn)證，形成定理并命名為切線長定理.

這樣的活動設(shè)計(jì)，學(xué)生自始至終都是由教師牽著走，學(xué)生心里自然會產(chǎn)生以下疑問：學(xué)習(xí)了切線之后為什么要畫兩條切線，有什么目的？為什么要給“這條線段長”下定義，有什么用處？為什么要比較“PA與PB，∠APO與∠BPO”的關(guān)系？這樣的數(shù)學(xué)活動，雖說學(xué)生也經(jīng)歷了“觀察——猜想——驗(yàn)證——形成定理”的過程，但是，這一過程完全是在教師的“預(yù)設(shè)”中，教師預(yù)先布置好路線，確定好目標(biāo)，學(xué)生要做的只是“按圖索驥”，并非由學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)知識的過程，更不是以知識的發(fā)生發(fā)展為線索展開探索活動.

古希臘數(shù)學(xué)研究幾何學(xué)的線索主要有兩條，一條是研究圖形本身的性質(zhì)，另一條思路即是構(gòu)圖，通過構(gòu)圖研究圖形之間的關(guān)系及性質(zhì).我試著揣摩當(dāng)時發(fā)現(xiàn)這個定理的數(shù)學(xué)家所處的情境，當(dāng)他通過畫圓的一條切線研究了切線的性質(zhì)及判定，很容易利用構(gòu)圖思想，構(gòu)造出圓的兩條相交的切線有哪些特殊的性質(zhì)，當(dāng)這位數(shù)學(xué)家通過觀察、猜想、驗(yàn)證得出線段PA=PB，便試著用文字語言來描述這個定理，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)用文字語言描述PA、PB比較麻煩時，并給這條線段長下了個定義叫“切線長”，順勢將這個定理命名為“切線長定理”.所以，在教學(xué)的過程中，我們的活動設(shè)計(jì)應(yīng)回歸到數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)，從這個定理是怎么研究出來的設(shè)計(jì)教學(xué)，這樣才能真正體現(xiàn)探索性.基于以上的思考，設(shè)計(jì)以下數(shù)學(xué)活動：

圖2

圖3

活動1 前面我們學(xué)習(xí)了切線的性質(zhì)以及切線的判定方法，幾何的研究過程實(shí)質(zhì)是一個構(gòu)圖的過程，我們能構(gòu)造出圓的兩條相交的切線么？

活動2 在你構(gòu)造的圖形中(如圖3)，你有什么發(fā)現(xiàn)？請寫出你的猜想，并加以驗(yàn)證.

活動3 用文字語言表達(dá)你的發(fā)現(xiàn).

活動4 當(dāng)學(xué)生難以或用比較繁的語言表述線段PA時，教師介紹切線長定義，并辨析“切線長”與“切線”，順勢將此定理命名為“切線長定理”.

這樣的設(shè)計(jì)立足于學(xué)生的學(xué)，以學(xué)生的主體探索為中心來展開教學(xué)，自然流暢，教師通過構(gòu)圖思想引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，并學(xué)會自己或通過合作交流解決問題.定理的教學(xué)過程不僅要讓學(xué)生經(jīng)過“觀察、實(shí)驗(yàn)——猜想——驗(yàn)證”的過程，更重要的是，學(xué)生應(yīng)自主的發(fā)現(xiàn)問題并學(xué)會探索，教師不能代替學(xué)生找問題，整個活動的流程應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)像數(shù)學(xué)家一樣去探索數(shù)學(xué)的過程.

6 交流性

我國《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在闡述“解決問題”時指出“學(xué)會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果”.問題解決的四個重要組成部分是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，數(shù)學(xué)交流可以促進(jìn)問題解決的有效達(dá)成.按照斯滕伯格的理論，數(shù)學(xué)思維分為分析性思維、創(chuàng)造性思維和實(shí)踐性思維.有的學(xué)生善于分析性思維，他們在通常的學(xué)業(yè)測試中會取得較好的成績；有的學(xué)生善于創(chuàng)造性思維，他們在提出問題和方法的突破上會有所長；有的學(xué)生善于實(shí)踐性思維，在數(shù)學(xué)定理的認(rèn)識中會找尋示例來促進(jìn)理解.在學(xué)生的相互交流中，三種不同的方式都會出現(xiàn)，彼此啟發(fā)或彌補(bǔ)，從而使得數(shù)學(xué)思維活動兼顧三種思維的培養(yǎng).因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要重視學(xué)生數(shù)學(xué)交流活動，給學(xué)生相互交流、相互理解的機(jī)會，讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)語言解釋數(shù)學(xué)概念和現(xiàn)象，表述問題的推理論證過程，說明數(shù)學(xué)結(jié)論的合理性，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的條理性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例6 “探索多邊形的內(nèi)角和”的教學(xué)片斷

多邊形的內(nèi)角和問題是通過添加輔助線將其轉(zhuǎn)化為三角形的問題得以解決的，這個問題對于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)性思維能力具有積極的意義.考慮到學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動：

(1)教師首先讓各小組內(nèi)的每名學(xué)生針對圖4中的多邊形，自己獨(dú)立思考、自主添加輔助線，推導(dǎo)出n邊形的內(nèi)角和公式.

圖4

(2)當(dāng)每名學(xué)生都用自己的計(jì)算方法求出n邊形的內(nèi)角和后，再讓學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行交流，說說自己添加輔助線的方法和計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而相互比較、分享他人的成果(右圖5—圖7是學(xué)生得到的幾種填加輔助線的方法).

圖5

圖6

圖7

(3)各小組間交流、匯總.

經(jīng)過全班合作，共同概括，最后發(fā)現(xiàn)：雖然添加輔助線的方法不同，但基本思路是一致的(即通過分割多邊形，把多邊形內(nèi)角和的問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和的問題)，無論按照哪種分割方法去計(jì)算，其結(jié)果都是一樣的.最后，學(xué)生經(jīng)過思考、計(jì)算、交流、歸納，得到了結(jié)論：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°.

不難看出，該活動從易到難，具體地給出了數(shù)學(xué)活動的內(nèi)容，并始終注意讓學(xué)生自己思考，并要求學(xué)生在活動中，相互交流，探討和說明思考問題的方法以及思考的過程.這樣的活動，可使學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會探索，學(xué)會表達(dá)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力、理解力和表達(dá)力的提高.這種數(shù)學(xué)活動關(guān)注交流性，交流注重的是實(shí)質(zhì)而不是流于形式.

數(shù)學(xué)教學(xué)需要數(shù)學(xué)活動，結(jié)合具體內(nèi)容和學(xué)生情況設(shè)置合理的數(shù)學(xué)思維活動和數(shù)學(xué)實(shí)踐活動體現(xiàn)了教師的教學(xué)能力和專業(yè)素養(yǎng).我們只有不斷學(xué)習(xí)、不斷探索、不斷反思才能提高數(shù)學(xué)活動設(shè)計(jì)的實(shí)效性，從而提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效益.

2015-03-03)