☉上海市浦江高級(jí)中學(xué) 陸麗娜

重視“勾形”圖像特征啟發(fā)函數(shù)解題思維

☉上海市浦江高級(jí)中學(xué) 陸麗娜

本文所說的“勾形”是指呈勾狀的曲線形狀，是對(duì)一類函數(shù)圖像的通俗稱謂，旨在描述函數(shù)圖像類似于“勾形”時(shí)呈現(xiàn)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、端點(diǎn)等.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中非常重要又極其抽象的概念，函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用涵蓋整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，更是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，特別是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)多種局部單調(diào)性的相關(guān)問題，常常作為數(shù)學(xué)高考的壓軸題.若學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的相互聯(lián)系掌握不到位，習(xí)得的知識(shí)呈碎片型，則往往不能針對(duì)性地對(duì)知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用，解題無從下手，存在較大困難.之所以把本文提及的函數(shù)圖像比擬成“勾形”，源于它是學(xué)生學(xué)習(xí)、生活中最常見、樂見的形狀符號(hào)，且能直觀呈現(xiàn)函數(shù)圖像的類似特征.把抽象的函數(shù)知識(shí)與具體的生活圖形進(jìn)行結(jié)合，能獲得學(xué)生心理上的認(rèn)同，在此基礎(chǔ)上逐步加深對(duì)性質(zhì)的理解，對(duì)特征的把握，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)問題的辨識(shí)能力和分析能力，并通過這個(gè)過程逐步發(fā)展對(duì)方法的概括能力，提高其思維的活躍性及綜合應(yīng)用水平.筆者對(duì)近幾年高考試題進(jìn)行梳理分析，愈加感受到這類函數(shù)圖像的重要性，本文以2015年數(shù)學(xué)高考真題為例，介紹此類出現(xiàn)頻率極高的圖像呈“勾形”的函數(shù)問題理解的切入點(diǎn)及解題常用的方法技巧.

一、勾底兩頭出最值

求函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B，x∈［a，b］的最值是歷年高考的熱點(diǎn)，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度|b-a|≥T時(shí)，函數(shù)的最大值、最小值分別為|A|+B，-|A|+B.當(dāng)|b-a|＜T，則應(yīng)充分考慮圖像的單調(diào)性.

例1搖（2015年北京卷理科第15題）已知函數(shù)f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（ⅠⅠ）求f（x）在區(qū)間［-π，0］上的最小值.

例2搖（2015年天津卷理科第15題）已知函數(shù)f（x）=

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

在歷年考試中，此類三角函數(shù)問題考查的圖像多具有“勾形”特征，探究是否存在“勾底”（說明：正勾時(shí)，勾底為函數(shù)的極小值；倒勾時(shí)，“勾底”為函數(shù)的極大值），即能否成立，即可判斷函數(shù)在非端點(diǎn)處是否取得一個(gè)最值；比較“勾形”兩個(gè)端點(diǎn)的高低，便能輕松求得函數(shù)的另一個(gè)最值.學(xué)生在解題中用非單調(diào)的“勾形”去辨析函數(shù)圖像，不僅可以準(zhǔn)確把握?qǐng)D像特征，還可以避免兩類常見錯(cuò)誤：（1）把函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的最值問題當(dāng)成在R上的最值問題求解；（2）把非單調(diào)函數(shù)的最值問題當(dāng)成單調(diào)函數(shù)直接代入兩個(gè)端點(diǎn)求解.

除了以上類型的函數(shù)外，凡是圖像具有“勾形”特征的函數(shù)都可以用此方法求解，很常見的如二次函數(shù)y= ax2+bx+c（a≠0），V型函數(shù)y=a|x+b|（a≠0），對(duì)勾函數(shù)y=等.

二、趨勢(shì)最值定大小

含參不等式的恒成立問題能把函數(shù)、不等式、三角等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來，覆蓋知識(shí)面廣，解題方法靈活，涵蓋高中數(shù)學(xué)幾種重要的思想方法：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，對(duì)學(xué)生思維能力有很大挑戰(zhàn)，因此，備受命題者的青睞.合理轉(zhuǎn)化成函數(shù)，通過函數(shù)的最值或圖像的變換趨勢(shì)及位置關(guān)系進(jìn)行求解是解決此類問題的主要方法.恒成立問題從數(shù)看，是值的大小關(guān)系；從形看，是圖的上下關(guān)系.觀察“勾形”特征，找定點(diǎn)、看趨勢(shì)、求最值、比大小，必要時(shí)進(jìn)行分類辨析.

例4（2015年全國(guó)卷新課標(biāo)ⅠⅠ理科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=emx+x2-mx.

（Ⅰ）證明：f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

（ⅠⅠ）若對(duì)于任意x1，x2∈［-1，1］，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

解析：（Ⅰ）f′（x）=memx+2x-m，f′′（x）=m2emx+2＞0恒成立，所以f′（x）在R上單調(diào)遞增.

又因?yàn)閒′（0）=0，所以x∈（-∞，0），f′（x）＜0；x∈（0，+∞），f′（x）＞0.所以x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）是減函數(shù)；x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）是增函數(shù).

（ⅠⅠ）x∈［-1，1］，f（x）在［-1，0］上遞減，在［0，1］上遞增.故要使條件成立，只需f（x）max-f（x）min≤e-1即可.

考慮函數(shù)y=ex-x，可知其在（-∞，0）上遞減，在（0， +∞）上遞增.

當(dāng)x=1時(shí)，y=e-1；x=-1時(shí)，y=e-1+1，并且e-1+1＜e-1，如圖2所示.故存在x0＜-1，使得x=x0時(shí)，y=e-1.

此題涉及的兩個(gè)函數(shù)都具有“勾形”特征，且在勾底有最小值，在端點(diǎn)有最大值.y=ex-x的最大值能直接通過比較數(shù)值得出.f（x）=emx+x2-mx的最大值需要分類討論，令端點(diǎn)兩個(gè)值都能使不等式成立是避免討論的常用方法.抓住“勾形”的特征，能輕松辨析得出令y=ex-x=e-1的另一個(gè)實(shí)數(shù)x0＜-1.因此，“勾形”不僅方便學(xué)生認(rèn)識(shí)區(qū)間內(nèi)已有的圖像特點(diǎn)，也更容易理解并表示區(qū)間外圖像上點(diǎn)的變化趨勢(shì).

例5（2015年山東卷理科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）= ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（Ⅰ）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍.

解析：（Ⅰ）略.

因?yàn)閒（0）=0，可知函數(shù)過定點(diǎn)（0，0）.

設(shè)y=2ax2+ax-a+1，其對(duì)稱軸圖像過定點(diǎn)

圖3

圖4

圖5

如圖3，a<0，函數(shù)f（x）在（0，x0）上遞增，在（x0，+∞）上遞減，所以舍去.

如圖4函數(shù)f（x）在（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，所以舍去.

即當(dāng)x0≤0時(shí)，滿足題設(shè)條件.

綜上可知，a∈［0，1］.

（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

解析：（Ⅰ）略.

當(dāng)x∈（0，1），g′（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增.

因?yàn)間（0）=0，所以x∈（0，1），g（x）＞0恒成立，即f（x）＞

求k的最大值，只需考慮k＞2的情況.

所以k的最大值是2.

抓住“勾形”的特征可以加強(qiáng)對(duì)函數(shù)圖像的辨析能力.例5中，由f′（x）可知，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上可能單調(diào)遞增，可能先減后增呈現(xiàn)“正勾”或先增后減呈現(xiàn)“倒勾”上遞增.特征，因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過原點(diǎn)，所以在（0，+∞）上呈現(xiàn)“勾形”的變化趨勢(shì)不能使f（x）≥0恒成立，例6中函數(shù)h（x）也是同樣.可見，對(duì)圖像有具體的感知，解題便能找到切入點(diǎn)，分類討論就能有路可循，條理清晰，得出結(jié)論也是輕而易舉.

不等式在區(qū)間D上恒成立問題是不等式有解問題的一種特殊情況，即不等式的解集為D.觀察函數(shù)的最值和圖像的變換趨勢(shì)，也能如法炮制求解不等式有解、不等式恒不成立等問題.

三、對(duì)稱圖形剪一半

函數(shù)中的對(duì)稱主要有兩類：一是函數(shù)圖像自身具有對(duì)稱性，如圖像是一個(gè)關(guān)于直線x=a對(duì)稱的“勾形”或圖像呈現(xiàn)兩個(gè)對(duì)稱“勾形”樣式的函數(shù)，在高考數(shù)學(xué)中很常見，前者如二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），V型函數(shù)y= a|x+b|（a≠0），后者如y=ax3+bx+c（ab＜ 0），y=ax2+b|x|+c（ab＜0）；二是兩個(gè)函數(shù)圖像有軸對(duì)稱或中心對(duì)稱的關(guān)系.抓住對(duì)稱性對(duì)“勾形”圖像進(jìn)行分析，剪半考慮，化繁為簡(jiǎn)，可作為理解函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)切入點(diǎn)，繼而合理轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確高效解題.

例7（2015年天津卷理科第7題）已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2|x-m|-1（m是實(shí)數(shù)）為偶函數(shù)，記a=f（log0.53），b= f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關(guān)系為（）.

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a

解析：y軸為其對(duì)稱軸，所以m=0，［0，+∞）是遞增區(qū)間，因此可令a=f（-log23）=f（log23），求得選項(xiàng)為C.

解析：y=g（x）是由y=f（x）的圖像作關(guān)于（1，0）的中心對(duì)稱后，再上（下）平移|b|個(gè)單位得到，如圖6所示.由圖像的對(duì)稱性可知，在左右相切與中間段重合之間，y=f（x）與y=g（x）有四個(gè)交點(diǎn)，即y=f（x）-g（x）有四個(gè)零點(diǎn).

圖6

四、零點(diǎn)個(gè)數(shù)看相交

函數(shù)零點(diǎn)反映了函數(shù)與x軸的相交情況，是函數(shù)的一個(gè)重要特性.根據(jù)“勾形”的端點(diǎn)和勾底，可以輕松判斷出此類連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；當(dāng)正面分析函數(shù)性質(zhì)、直接刻畫函數(shù)圖像存在困難時(shí)，可把零點(diǎn)個(gè)數(shù)化歸成兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單輔助函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)并通過數(shù)形結(jié)合的方法求解.

（Ⅰ）當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（ⅠⅠ）用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h（x）= min{f（x），g（x）}（x＞0），討論h（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解析：（Ⅰ）f′（x）=3x2+a，令f′（x）=0，可知a＜0，得x=

（ⅠⅠ）從函數(shù)圖像可知，當(dāng)a≥0時(shí)，y=f（x）在（0，+∞）上遞增，h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是一個(gè)；

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

分類討論是解決問題的一種邏輯思維，也是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法，涉及的數(shù)學(xué)問題在高考中占有一席之地，常常是學(xué)生的失分點(diǎn).因此，學(xué)生要有直觀的感知，才能在分類解析中保持清醒的頭腦，做到不重不漏.“勾形”中的關(guān)鍵點(diǎn)是分類的依據(jù)，因此，學(xué)生在對(duì)不同情況的“勾形”有具體的深刻的印象的基礎(chǔ)上才能辨識(shí)出區(qū)分不同“勾形”的關(guān)鍵點(diǎn)并展開討論.

在立足以上四個(gè)方法對(duì)函數(shù)圖像及性質(zhì)進(jìn)行全面把握和綜合應(yīng)用的同時(shí)，對(duì)帶參函數(shù)圖像上特殊定點(diǎn)的探究非常重要.如例4中導(dǎo)函數(shù)f′（x）經(jīng)過定點(diǎn)（0，0）是證明單調(diào)區(qū)間的直接有效條件；例5中函數(shù)圖像經(jīng)過定點(diǎn)（0，0）是直觀判定“勾形”圖像能否滿足條件的重要前提；函數(shù)y=2ax2+ax-a+1過定點(diǎn)（-1，1）是準(zhǔn)確直接刻畫拋物線的捷徑；例9中函數(shù)f（x）的圖像以定點(diǎn)為對(duì)稱中心是判斷切點(diǎn)和分類解析“勾形”的關(guān)鍵.帶參函數(shù)的主要特征是變，難點(diǎn)也是變，因此在變化中尋求不變是解決問題的切入點(diǎn).函數(shù)圖像經(jīng)過的定點(diǎn)是其“不變”的性質(zhì)之一，“勾形”的圖像特征也是諸多非單調(diào)函數(shù)的共同屬性.

高考不僅考查學(xué)生的學(xué)科知識(shí)和基本技能，而且對(duì)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的掌握，基本規(guī)律及方法的理解和應(yīng)用提出更高的要求.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們能深刻體會(huì)到單調(diào)函數(shù)的基礎(chǔ)性、普遍性和重要性，而高考涉及的函數(shù)往往呈現(xiàn)局部單調(diào)性的特點(diǎn)，多為定義域內(nèi)的非單調(diào)函數(shù)，給學(xué)生的理解增加難度.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》說要把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).因此，從生活符號(hào)中尋找共性，善于把握?qǐng)D像特征，從數(shù)學(xué)角度加以描述，用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表示，讓學(xué)生最終達(dá)到基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)，理解能力的提高，應(yīng)用技能的增強(qiáng)和思維方式的優(yōu)化.