武彩萍,劉雪琴,王麗明

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

模糊選擇函數(shù)合理性指標(biāo)與正規(guī)性指標(biāo)的研究

武彩萍,劉雪琴,王麗明

(太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

Georgescu定義了模糊選擇函數(shù)的G-合理性指標(biāo)、M-合理性指標(biāo)、G-正規(guī)性指標(biāo)以及M-正規(guī)性指標(biāo),并在取小t-模下討論了它們之間的關(guān)系。在任意t-模下,對(duì)這些合理性指標(biāo)以及正規(guī)性指標(biāo)之間的關(guān)系做進(jìn)一步討論,從而將Georgescu的相關(guān)結(jié)論做了進(jìn)一步的推廣。

模糊選擇函數(shù);合理性指標(biāo);正規(guī)性指標(biāo)

選擇函數(shù)的概念起源于經(jīng)濟(jì)學(xué),它主要描述消費(fèi)者在權(quán)衡自己的收入與商品的價(jià)格后的消費(fèi)行為,合理性與正規(guī)性是選擇函數(shù)研究的重點(diǎn)問題之一。1966年,Richter[1]提出了選擇函數(shù)合理性的概念,即若存在一個(gè)偏好關(guān)系,使得選擇函數(shù)通過該關(guān)系來刻畫,則稱該選擇函數(shù)被這個(gè)關(guān)系理性化。在此基礎(chǔ)上,Sen[2]于1971年提出并研究了選擇函數(shù)的正規(guī)性(即選擇函數(shù)被顯示偏好關(guān)系合理化)。1983年,Suzumura[3]提出了普通選擇函數(shù)的G-合理性、M-合理性、G-正規(guī)性以及M-正規(guī)性的定義,并討論了四者之間的關(guān)系。

隨著模糊集概念的提出,選擇函數(shù)的有關(guān)概念隨之也被模糊化。1995年,Banerjee[4]給出了模糊選擇函數(shù)的一般定義,并率先提出了模糊選擇函數(shù)的合理性問題。隨后,Wu et al[5]進(jìn)一步研究了模糊選擇函數(shù)的各種合理性條件間的關(guān)系。2003年,Georgescu[6]定義了一個(gè)定義域和值域均為模糊集的模糊選擇函數(shù),提出了Georgescu模糊選擇函數(shù)的G-合理性、M-合理性、G-正規(guī)性以及M-正規(guī)性的概念,并且研究了它們之間的關(guān)系。

但是,一個(gè)模糊選擇函數(shù)未必完全滿足或完全不滿足某種合理性。因此,Georgescu[6-7]定義了M-合理性指標(biāo)、G-合理性指標(biāo)、M-正規(guī)性指標(biāo)以及G-正規(guī)性指標(biāo),并在選擇函數(shù)滿足H1,H2條件下討論了這些指標(biāo)之間的大小關(guān)系。然而,Georgescu的結(jié)論大多是在取小t-模下取得的。有鑒于此,本文將在一般t-模下,對(duì)上述模糊選擇函數(shù)的合理性指標(biāo)以及正規(guī)性指標(biāo)做進(jìn)一步研究。

1 預(yù)備知識(shí)

本文分別用*、→和?表示t-模、由t-模導(dǎo)出的蘊(yùn)涵和等價(jià),有關(guān)它們的定義和性質(zhì)詳見文[7-10].下面我們假設(shè)*是連續(xù)的,記取小t-模為

引理1 ?a,b,c∈[0,1],以下性質(zhì)成立:

1)a*b≤c?a≤b→c;

2)a*(a→b)=a∧b;

3)a*b≤a;a*b≤b;

4)b≤a→b;

5)a≤b?a→b=1;

6) 1→a=a;

7)a*(b∨c)=(a*b)∨(a*c);

8)a≤b?b→c≤a→c且c→a≤c→b;

9)a→(b→c)=b→(a→c)=(a*b)→c;

10) (a→b)*(b→c)≤a→c;

11) (a?b)*(b?c)≤a?c.

引理2 任給{ai}i∈I,{bi}i∈I∈[0,1],a∈[0,1],以下性質(zhì)成立:

定義1[10]設(shè)X為論域,若Q:X×X→[0,1],則稱Q是X上的模糊關(guān)系。全體X上的模糊關(guān)系記為F.若對(duì)?x，y∈X,Q(x,y)∨Q(y,x)=1,則稱Q是強(qiáng)完全的。

定義2[6]設(shè)Q1,Q2,Q是X上的模糊關(guān)系,定義Q的強(qiáng)完全指標(biāo)為:

Q1包含于Q2的指標(biāo)為:

Q1與Q2的相似性指標(biāo)為:

2 模糊選擇函數(shù)的合理性

設(shè)X是一個(gè)非空有限集,B是由X上一些非空模糊子集構(gòu)成的集合。

定義3[6]映射C:B→B,若對(duì)?S∈B,C(S)?S,則稱C是(X,B)上的模糊選擇函數(shù)。

定義4[6]設(shè)C是一個(gè)模糊選擇函數(shù),?x,y∈X,定義顯示偏好關(guān)系R為:

設(shè)Q是X上的一個(gè)模糊關(guān)系。對(duì)于任意S∈B,記:

定義5[6]設(shè)C是一個(gè)模糊選擇函數(shù),

1) 若存在模糊關(guān)系Q,使得?S∈B,C(S)=G(S,Q),則稱C是G-合理的;

2) 若存在模糊關(guān)系Q,使得?S∈B,C(S)=M(S,Q),則稱C是M-合理的。

定義6[6]設(shè)C是一個(gè)模糊選擇函數(shù),R為模糊顯示偏好關(guān)系,

1) 若?S∈B,C(S)=G(S,R),則稱C是G-正規(guī)的;

2) 若?S∈B,C(S)=M(S,R),則稱C是M-正規(guī)的。

Georgescu在文獻(xiàn)[6]中提出了兩個(gè)假設(shè)性條件,并且得到了一些合理、正規(guī)的相關(guān)結(jié)論。

H1∶?S∈B,C(S)都是正規(guī)模糊集,即，存在x∈X,滿足C(S)(x)=1.

H2∶B包含X的所有非空普通子集。

引理3 若模糊選擇函數(shù)C滿足H1和H2條件,則R是強(qiáng)完全的。

命題1 對(duì)于任意S∈B,有

1) G(S,Q)?M(S,Q);

2) 若Q是強(qiáng)完全的,則G(S,Q)=M(S,Q).

命題2 1)若模糊選擇函數(shù)C是M-合理的,則C是G-合理的;2)若模糊選擇函數(shù)C是G-合理的,則R?Q.

3 模糊選擇函數(shù)的合理性指標(biāo)

在文獻(xiàn)[6]中,Georgescu給出了合理性指標(biāo)和正規(guī)性指標(biāo)的定義,并得出了一些結(jié)論。

定義7 設(shè)R是模糊選擇函數(shù)C的顯示偏好關(guān)系,定義:

稱RatG(C)(RatM(C))為模糊選擇函數(shù)C的G-合理(M-合理)性指標(biāo),NormG(C)(NormM(C))為模糊選擇函數(shù)C的G-正規(guī)(M-正規(guī))性指標(biāo)。

命題3 設(shè)C是模糊選擇函數(shù),下列結(jié)論成立:

NormG(C)≤RatG(C),NormM(C)≤RatM(C).

命題4 若*為取小t-模,C是模糊選擇函數(shù),且滿足H1和H2條件,則:

1)RatM(C)≤RatG(C);

2)NormM(C)≤NormG(C);

3)RatG(C)=NormG(C).

定義8 設(shè)C1,C2是模糊選擇函數(shù),我們定義相似性指標(biāo)E(C1,C2)為:

對(duì)上述合理性指標(biāo)與正規(guī)性指標(biāo)進(jìn)行進(jìn)一步研究,我們得出下列結(jié)論。

引理4 對(duì)于模糊選擇函數(shù)C1,C2,C3,下列結(jié)論成立:

1) C1=C2當(dāng)且僅當(dāng)E(C1,C2)=1;

2) E(C1,C2)=E(C2,C1);

3) E(C1,C2)*E(C2,C3)≤E(C1,C3).

證明 1),2)顯然。

3)由引理1,引理2得:

定理1 若Q是X上的模糊偏好關(guān)系,則

證明 ?S∈B,?x∈X,由引理1,引理2得:

由引理1得:

由命題1知:?S∈B,?x∈X,

故由引理1得:

于是,?S∈B,?x∈X,

從而,

注1 顯然,定理1是命題1中2)的程度描述。

定理2 若C是模糊選擇函數(shù),則RatM(C)≤RatG(C).

證明 設(shè)Q為X上任意的一個(gè)模糊偏好關(guān)系,我們定義在X上的另一個(gè)模糊偏好關(guān)系Q′:?x,y∈X,Q′(x,y)=Q(y,x)→Q(x,y).

由引理1得:?S∈B,?x∈X,

因此,

于是,

由于Q為X上任意的一個(gè)模糊偏好關(guān)系,故

注2 定理2對(duì)任意t-模均成立,是命題4結(jié)論1)的推廣,也是命題2中1)的程度描述。

定理3 若C是模糊選擇函數(shù),R是C的模糊顯示偏好關(guān)系,則

SC(R)*NormM(C)≤NormG(C),

SC(R)*NormG(C)≤NormM(C).

證明 ?S∈B,由定理1,引理4得:

SC(R)*NormM(C)≤

類似可證,Sc(R)*NormG(C)≤NormM(C).

推論1 若C是模糊選擇函數(shù),且滿足H1和H2條件,則NormM(C)=NormG(C).

證明 由引理3可知在H1和H2條件下R是強(qiáng)完全的,即Sc(R)=1,故由定理3可得:

NormM(C)=NormG(C).

注3 命題4結(jié)論2)證明了在取小t-模下,NormM(C)≤NormG(C);而本文證明了在任意t-模下NormM(C)=NormG(C)成立,得出了更為一般化的結(jié)論。

定理4 若C是(X,B)上的一個(gè)模糊選擇函數(shù),R是C的模糊顯示偏好關(guān)系,Q是X上的一個(gè)模糊偏好關(guān)系,則E(C,G(·,Q))≤I(R,Q).

證明 ?x,y∈X,由引理1,引理2得:

又由引理1可得:

因此,

即

注4 定理4實(shí)為命題2中2)的程度化描述。

推論2 若C是模糊選擇函數(shù),且滿足H1和H2條件,Q是X上的一個(gè)模糊偏好關(guān)系,則對(duì)于任意的x∈X有

證明 由引理1、引理3、定理4得:

定理5 若C是模糊選擇函數(shù),且滿足H1和H2條件,R是C的模糊顯示偏好關(guān)系,Q是X上的一個(gè)模糊偏好關(guān)系,則

由推論2、引理1得:

?x,y∈X,由引理1得:

故由引理3可得,

因而

即

定理6 若C是(X,B)上的一個(gè)模糊選擇函數(shù),且滿足H1和H2條件,R是C的模糊顯示偏好關(guān)系,Q是X上的一個(gè)模糊偏好關(guān)系,則

證明 ?Q∈R,由引理2、定理4、定理5得:

因此,由引理2得:

4 結(jié)束語(yǔ)

本文系統(tǒng)地研究了模糊選擇函數(shù)的兩種合理性指標(biāo)與兩種正規(guī)性指標(biāo)之間的關(guān)系。首先,對(duì)模糊情況下與合理性、正規(guī)性有關(guān)的一些結(jié)論做了相應(yīng)的程度化推廣,如定理1、定理2、定理4.其次,將文獻(xiàn)[6]中的一些結(jié)論推廣為一般t-模,如定理2、定理3、推論1.最后,得出了一些與合理性指標(biāo)有關(guān)的新結(jié)論,如定理5、定理6.

[1] Richter M K.Revealed preference theory[J].Econometrica,1966,34:635-645.

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[8] Roubens M.Some properties of choice functions based on valued binary relations[J].European Journal of Operations Research,1989,40:309-321.

[9] Hajek P.Mathematics of Fuzzy Logic[M].Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1998.

[10] Wang X Z,Ruan D,Kerre E E.Mathematics of Fuzziness-Basic Issues[M].Berlin:Springer-Verlag,2007.

(編輯：張紅霞)

A Study on the Rationality Indicators and Normality Indicators of Fuzzy Choice Functions

WU Caiping,LIU Xueqin,WANG Liming

(CollegeofMathematics,TaiyuanUniversityofTechnology,Taiyuan030024,China)

Georgescu defined the G-rationality,M-rationality,G-normality,M-normality indicators of fuzzy choice functions,and investigated the connections between them under the Minimum t-norm.In this paper,we discuss the relationships between these rationality indicators and normality indicators under a general t-norm.As a consequence,the results made by Georgescu are extended.

fuzzy choice function;rationality indicator;normality indicator

2014-04-11

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目：基于模糊信息?；椒ǖ鸟詈闲投酁?zāi)種綜合風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型的研究(41101507);山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013011004-1)

武彩萍(1967-),女,山西平遙人,副教授,碩導(dǎo),主要從事模糊決策研究,(E-mail)wucaiping2010@163.com

1007-9432(2015)01-0119-05

O159

A

10.16355/j.cnki.issn1007-9432tyut.2015.01.024