基于準梯形永磁體的多相分數(shù)槽集中整距繞組永磁電動機齒槽轉(zhuǎn)矩抑制

康惠林 周理兵 王 晉 彭 溪

(強電磁場工程與新技術(shù)國家重點實驗室(華中科技大學(xué))武漢 430074)

0 引言

多相分數(shù)槽集中繞組永磁電動機容錯性能好、效率高，得到了廣泛研究和應(yīng)用［1-5］。多相分數(shù)槽集中整距繞組永磁電動機繞組系數(shù)為1［6，7］，有利于通過注入諧波電流提高功率密度，其特性值得深入研究。該電動機特性之一是存在齒槽轉(zhuǎn)矩，導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩波動、振動和噪聲，需要設(shè)法削弱。齒槽轉(zhuǎn)矩的抑制方法很多，如斜槽和斜極、輔助槽、極弧系數(shù)優(yōu)化以及磁極偏移、槽口寬優(yōu)化、永磁體分段等［8，9］。多相分數(shù)槽集中繞組永磁電動機還可通過優(yōu)選槽極配合及優(yōu)化永磁體形狀以抑制齒槽轉(zhuǎn)矩［10-12］。由于槽口分布不均勻，多相分數(shù)槽集中整距繞組永磁電動機齒槽轉(zhuǎn)矩頻率只含相數(shù)整數(shù)倍的分量［6］，這一定程度上抑制了齒槽轉(zhuǎn)矩。由于槽極配合數(shù)目有限，可進一步研究通過永磁體形狀優(yōu)化抑制齒槽轉(zhuǎn)矩。

優(yōu)化永磁體形狀抑制電動機齒槽轉(zhuǎn)矩時，應(yīng)遵循既抑制齒槽轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動，又基本不降低平均轉(zhuǎn)矩的原則。文獻［11］通過在五相分數(shù)槽集中繞組電動機永磁體上開多個倒梯形小槽的方式抑制齒槽轉(zhuǎn)矩，同時平均轉(zhuǎn)矩為不開小槽時的98%。文獻［12］分析了五相分數(shù)槽集中繞組電動機在采用徑向厚度沿圓周方向呈馬鞍形分布永磁體時的轉(zhuǎn)矩性能。馬鞍形永磁體由正弦永磁體及第3 次諧波合成得到。該文發(fā)現(xiàn)永磁體第3 次諧波分量為基波分量的1/6時得到最大平均轉(zhuǎn)矩，同時齒槽轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動得到抑制。然而，文獻［12］并未進一步分析永磁體形狀變化對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。文獻［13］指出五相電動機可采用由正弦永磁體及第3，5 次諧波合成得到的準梯形永磁體進一步提高電動機平均轉(zhuǎn)矩，同時齒槽轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動可得到抑制。為得到最大的平均轉(zhuǎn)矩，文獻［13］確定了永磁體諧波分量與永磁體邊沿厚度的關(guān)系，但也未深入分析永磁體形狀對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。

在文獻［13］的基礎(chǔ)上，本文分析準梯形永磁體邊沿厚度對多相分數(shù)槽集中整距繞組永磁電動機齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。由于永磁體諧波分量的幅值依邊沿厚度而定，確定準梯形永磁體形狀時只需確定邊沿厚度。此外，由于解析法反映電動機尺寸參數(shù)與電磁參數(shù)的關(guān)系，計算速度快，利于電動機初始設(shè)計和優(yōu)化［2］，本文采用解析法計算齒槽轉(zhuǎn)矩并確定齒槽轉(zhuǎn)矩最小時對應(yīng)的永磁體形狀。齒槽轉(zhuǎn)矩解析計算模型主要包括側(cè)向力、復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率、子域和精確子域模型［14］。本文采用的復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率模型概念清晰，建模方便。由于忽略保角變換引起的氣隙磁通密度計算路徑的畸變，采用該模型得到的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值偏大，但這不影響分析電動機參數(shù)與齒槽轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系，進而指導(dǎo)齒槽轉(zhuǎn)矩的抑制［15］。此外，由于極坐標下準梯形永磁體形狀不規(guī)則，與空氣的邊界條件變得復(fù)雜，無法采用單一解析式表示電動機無槽氣隙磁場，此時可采用微分永磁體法計算無槽氣隙磁場［16］。

本文以一臺20 槽22 極外轉(zhuǎn)子五相永磁電動機為例，首先對多相分數(shù)槽集中整距繞組永磁電動機定子和準梯形永磁體進行說明，其次采用微分永磁體法和復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率模型計算不同準梯形永磁體邊沿厚度情況下的電動機齒槽轉(zhuǎn)矩，進而得到最優(yōu)準梯形永磁體形狀。齒槽轉(zhuǎn)矩解析結(jié)果得到了有限元結(jié)果的驗證。最后通過測量采用最優(yōu)準梯形永磁體樣機的齒槽轉(zhuǎn)矩，驗證了解析法及其結(jié)論的有效性。

1 多相分數(shù)槽集中整距繞組電動機

圖1所示電動機為采用準梯形永磁體的20 槽22 極外轉(zhuǎn)子五相分數(shù)槽集中整距電動機。

圖1 20 槽20 極分數(shù)槽集中整距繞組永磁電動機Fig.1 The 20-slot 22-pole fractional-slot concentrated full-pitch winding permanent magnet machine

1.1 定子

分數(shù)槽集中整距電動機的定子可采用不含小齒和含小齒兩種結(jié)構(gòu)［6］，圖1所示的含小齒結(jié)構(gòu)可提高電動機的容錯性能。如圖1所示，定子含10 個定子單元。每個單元中，小齒寬機械弧度為π/(mp)(m 為相數(shù)，p 為極對數(shù))。該特征保證了相鄰2 個大齒中心線距離θt等于極距，因此繞組系數(shù)為1。此外，小槽由小齒將大槽一分為二而得，因此可將2 個連續(xù)小槽看成1 個大槽，即認為圖1所示定子含20 個槽。

1.2 準梯形永磁體

如圖1所示，準梯形永磁體的徑向厚度Hv(θ)(θ∈［0，π］為永磁體的空間位置)可分為邊沿厚度He和可變厚度兩部分?？勺儾糠钟烧壹暗?，5 次諧波分量合成。Hv(θ)的最大值為Hm，假設(shè)

則永磁體徑向厚度可表示為

式中h1、h3和h5分別為永磁體徑向厚度可變部分基波、第3 次和第5 次諧波的幅值系數(shù)。為保證電動機最小有效氣隙長度不變，h1、h3和h5滿足

此外，為獲得最大平均轉(zhuǎn)矩，h1、h3和h5將隨邊沿厚度變化而改變［13］。表1 為k 值對應(yīng)的20 槽22 極外轉(zhuǎn)子五相分數(shù)槽集中整距電動機(電動機參數(shù)如表2所示)的h1、h3和h5。顯然，只要k 值確定，準梯形永磁體的形狀就已確定。k=1時，永磁體形狀不再是準梯形，而是常規(guī)的瓦片狀。

表1 與k 值對應(yīng)的h1、h3和h5Tab.1 h1、h3and h5values corresponding to k

2 最優(yōu)準梯形永磁體

最優(yōu)準梯形永磁體的確定原則是采用該永磁體的電動機產(chǎn)生最小齒槽轉(zhuǎn)矩。如前所述，h1、h3和h5的值隨k 而定。因此，只要分析電動機齒槽轉(zhuǎn)矩與k 的關(guān)系，并得到最小齒槽轉(zhuǎn)矩對應(yīng)的k，最優(yōu)準梯形永磁體就能確定。此外，相對于有限元法，采用解析法分析齒槽轉(zhuǎn)矩時無需反復(fù)建模、計算速度快。本節(jié)采用復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率模型計算不同k 對應(yīng)的齒槽轉(zhuǎn)矩，進而確定齒槽轉(zhuǎn)矩最小時對應(yīng)的k 和最優(yōu)永磁體。復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率模型首先計算電動機無槽氣隙磁場，再通過復(fù)變量保角變換求得氣隙的復(fù)數(shù)相對氣隙磁導(dǎo)函數(shù)，然后與電動機無槽時的氣隙磁場相乘得到計及定子開槽影響的徑向和切向氣隙磁通密度，進而采用麥克斯韋張量法計算得到齒槽轉(zhuǎn)矩。

2.1 無槽氣隙磁通密度

如前所述，采用準梯形永磁體的電動機氣隙不規(guī)則，可用微分永磁體法準確計算無槽氣隙磁通密度［16］。圖2為微分永磁體的結(jié)構(gòu)圖，為便于比較，圖中只給出半個圓周范圍內(nèi)的氣隙磁通密度。圖中準梯形永磁體被微分為N 塊寬度相同的永磁體，θj為第j塊微分永磁體的空間位置。當(dāng)N 足夠大時，可認為第j 塊微分永磁體形狀規(guī)則，且θj為常數(shù)。給定電動機尺寸和永磁體磁化方向時，按文獻［16］中式(27)～式(54)，先計算單個微分永磁體產(chǎn)生的氣隙磁場，再疊加得到單個永磁體產(chǎn)生的氣隙磁場，繼而得到轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的氣隙磁場徑向和切向分量。計算氣隙磁通密度時第j 塊微分永磁體半徑可表示為

式中Rr為外轉(zhuǎn)子電動機的轉(zhuǎn)子內(nèi)徑或內(nèi)轉(zhuǎn)子電動機的轉(zhuǎn)子外徑。

圖2 微分永磁體Fig.2 Segmented permanent magnets

圖3為k=0 和k=1時20 槽22 極外轉(zhuǎn)子五相分數(shù)槽集中整距電動機無槽氣隙磁通密度的解析計算結(jié)果?？梢?，相對于k=1時的常規(guī)永磁體，準梯形永磁體改變了電動機的氣隙磁導(dǎo)，無槽氣隙磁通密度徑向分量的波形頂部寬度變小且出現(xiàn)紋波，切向分量的峰值減小且出現(xiàn)紋波。無槽氣隙磁通密度分布隨k 變化而改變，將影響電動機的齒槽轉(zhuǎn)矩，也使通過改變永磁體形狀削弱齒槽轉(zhuǎn)矩成為可能。

圖3 k=0 和k=1時的無槽氣隙磁通密度Fig.3 Radical and tangential slotless flux density in cases of k=0 and k=1

2.2 復(fù)數(shù)相對氣隙磁導(dǎo)率

復(fù)數(shù)相對氣隙磁導(dǎo)率可通過復(fù)變量保角變換求得［15］。分數(shù)槽集中整距電動機復(fù)數(shù)相對氣隙磁導(dǎo)率以定子單元跨距為周期分布，可先計算定子單元內(nèi)每個齒距的值，再合成得到定子單元跨距的值。此外，對于外轉(zhuǎn)子電動機，z 平面到ω 平面保角變換表達式應(yīng)由文獻［15］中的式(6)修正為

20 槽22 極外轉(zhuǎn)子五相分數(shù)槽集中整距電動機氣隙中心處復(fù)數(shù)相對氣隙磁導(dǎo)率的實部和虛部如圖4所示。由于齒槽分布和槽口大小不均勻，復(fù)數(shù)相對氣隙磁導(dǎo)率的實部與虛部圖形都不對稱。

圖4 復(fù)數(shù)相對氣隙磁導(dǎo)率的實部與虛部波形Fig.4 Real and imaginary part waveforms of the complex relative air-gap permanence

2.3 齒槽轉(zhuǎn)矩與最優(yōu)準梯形永磁體的確定

如果已知無槽氣隙磁通密度徑向和切向分量Bslr和Bslα以及復(fù)數(shù)相對氣隙磁導(dǎo)率實部與虛部λr和λα，則有槽氣隙磁通密度徑向和切向分量Bsr和Bsα分別為［15］

圖5為k=0時20 槽22 極外轉(zhuǎn)子五相分數(shù)槽集中整距電動機半個圓周范圍內(nèi)有槽氣隙磁通密度徑向和切向分量的解析和有限元計算結(jié)果對比?？梢?，徑向分量誤差可忽略，而切向分量在離散區(qū)域(虛線框)存在較大誤差。引起誤差的原因主要是在計算復(fù)數(shù)相對氣隙磁導(dǎo)率時，忽略了槽開口保角變換引起的磁通密度計算路徑的畸變，造成有槽氣隙磁通密度尤其是切向分量的誤差［14，15］。

由麥克斯韋張量法，齒槽轉(zhuǎn)矩可表示為

式中:l 為鐵心有效長度;r 為計算無槽氣隙磁通密度時采用的半徑;μ0為真空磁導(dǎo)率;α 為圓周切向位置。

圖5 k=0時的開槽氣隙磁通密度Fig.5 Radical and tangential slotted flux density in case of k=0

圖6為k=0時20 槽22 極外轉(zhuǎn)子五相分數(shù)槽集中整距電動機齒槽轉(zhuǎn)矩的解析和有限元計算結(jié)果。可見，齒槽轉(zhuǎn)矩波形、頻率的解析計算結(jié)果與有限元結(jié)果吻合，但由于氣隙磁通密度計算誤差，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值比有限元結(jié)果大。

圖6 k=0時的齒槽轉(zhuǎn)矩Fig.6 Cogging torques of the machine in case of k=0

圖7為電動機齒槽轉(zhuǎn)矩峰值與k 關(guān)系的解析和有限元結(jié)果。由圖7a 可見，解析結(jié)果在全局范圍內(nèi)均比有限元結(jié)果大，且當(dāng)k 以0.1 的步長從0.4 遞增到1時，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值的解析值分別對應(yīng)有限元值的134%、156%、164%、194%、197%、201%和204%。顯然，兩類齒槽轉(zhuǎn)矩計算結(jié)果之間的差值隨著k 的增加而增大。這是因為隨著k 增加，無槽氣隙磁通密度的切向分量增加，磁通密度計算路徑畸變造成的有槽氣隙磁通密度切向分量誤差越大。

然而，復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率解析模型雖不能在全局范圍內(nèi)準確計算齒槽轉(zhuǎn)矩，但揭示了永磁體形狀變化對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響規(guī)律，是永磁體形狀優(yōu)化分析的有效手段。由圖7a 可知，k=0.5時電動機具有最小的齒槽轉(zhuǎn)矩。進一步地，圖7b 為k=0.45，0.46，…，0.55情況下電動機齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的解析結(jié)果。可見，k=0.49 和k=0.5時齒槽轉(zhuǎn)矩峰值最小且數(shù)值相當(dāng)。考慮永磁體加工難度，20 槽22 極外轉(zhuǎn)子五相分數(shù)槽集中整距電動機應(yīng)采用k=0.5 的準梯形永磁體。

圖7 齒槽轉(zhuǎn)矩峰值與k 的關(guān)系曲線Fig.7 Variation of peak cogging torque with k

當(dāng)k=0.5時，電動機齒槽轉(zhuǎn)矩峰峰值的有限元計算結(jié)果為0.37 N˙m，為額定轉(zhuǎn)矩的0.41%，對電動機轉(zhuǎn)矩性能影響很小。因此，優(yōu)化的準梯形永磁體對提升電動機轉(zhuǎn)矩性能有重要作用，該作用在文獻［13］中有專門分析，本文不做詳述。

對于不同相數(shù)和電動機尺寸的表貼式永磁電動機，均可采用上述解析方法進行尋優(yōu)計算，進而確定最優(yōu)的永磁體形狀。

3 實驗驗證

圖8為采用準梯形永磁體的20 槽22 極外轉(zhuǎn)子五相分數(shù)槽集中整距樣機轉(zhuǎn)子。樣機的主要設(shè)計參數(shù)如表2 所示。根據(jù)解析和有限元優(yōu)化結(jié)果，準梯形永磁體設(shè)計為k=0.5。

測量永磁電動機齒槽轉(zhuǎn)矩的方法中，文獻［17］提出的電子稱法測量結(jié)果接近有限元計算值，但對實驗設(shè)備要求較高，本文采用砝碼法進行測量［18］。圖9為采用砝碼法測量齒槽轉(zhuǎn)矩的測試臺架。圖中支桿應(yīng)采用剛度高的材料，且與電動機軸緊密卡合?？潭劝遄钚》侄葹?.5°，測量角度范圍為0°～6.5°，對應(yīng)2 個齒槽轉(zhuǎn)矩周期。測量時，若齒槽轉(zhuǎn)矩隨支桿轉(zhuǎn)角增加而減小，則應(yīng)將稱重袋掛接在支桿的另一端。測得第i 點的砝碼轉(zhuǎn)矩Tmi，且認為摩擦轉(zhuǎn)矩Tf為恒定值，則Tf等于所有Tmi的平均值。此時第i 點的齒槽轉(zhuǎn)矩為

圖8 電動機轉(zhuǎn)子與永磁體Fig.8 Rotor and the permanent magnets

表2 樣機主要設(shè)計參數(shù)Tab.2 Main design parameters of prototype machine

圖9 齒槽轉(zhuǎn)矩測試臺架Fig.9 Set-up of cogging torque measurement

測量得到的電動機齒槽轉(zhuǎn)矩如圖10所示，圖中還給出了k=0.5時電動機齒槽轉(zhuǎn)矩2 個周期的解析和有限元計算結(jié)果。為便于比較，實驗得到的14 個數(shù)據(jù)采用虛線連接。由圖10可知，相對于有限元結(jié)果，實測齒槽轉(zhuǎn)矩峰值更大，大部分數(shù)值存在偏差，但具有較好的吻合度。數(shù)值偏差的原因是測量時需人工判斷正確的砝碼重量、測量器材準確度和電動機加工準確度不足。此外，實測齒槽轉(zhuǎn)矩的變化周期與解析和有限元結(jié)果一致。

圖10 k=0.5時的齒槽轉(zhuǎn)矩Fig.10 Cogging torques of the machine in case of k=0.5

實測齒槽轉(zhuǎn)矩的峰峰值為0.5 N˙m，為額定轉(zhuǎn)矩的0.56%。因此，采用優(yōu)化的準梯形永磁體可有效抑制電動機齒槽轉(zhuǎn)矩及其負面影響。

4 結(jié)論

本文分析了基于準梯形永磁體的多相分數(shù)槽集中整距繞組永磁電動機齒槽轉(zhuǎn)矩抑制，研究了準梯形永磁體邊沿厚度對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，得到了最小齒槽轉(zhuǎn)矩對應(yīng)的永磁體邊沿厚度和永磁體形狀。為提高優(yōu)化速度，可采用微分永磁體法和復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率模型計算不同邊沿厚度時的齒槽轉(zhuǎn)矩，并確定最優(yōu)準梯形永磁體形狀。以一臺20 槽22 極外轉(zhuǎn)子五相分數(shù)槽集中整距樣機為例，解析結(jié)果發(fā)現(xiàn)采用準梯形永磁體的電動機齒槽轉(zhuǎn)矩比采用普通永磁體(k=1)時更小，且齒槽轉(zhuǎn)矩最小時邊沿厚度為最大厚度的0.5 倍。齒槽轉(zhuǎn)矩的解析結(jié)果得到了有限元驗證。樣機實測結(jié)果表明，采用最優(yōu)準梯形永磁體時齒槽轉(zhuǎn)矩及其影響得到有效抑制。準梯形永磁體適用于其他尺寸的多相永磁電動機。此外，復(fù)數(shù)磁導(dǎo)率模型能揭示永磁體參數(shù)對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響規(guī)律，是調(diào)整永磁電動機參數(shù)抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的有效分析方法。

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