黃 帥，王正武，周振宇

（長沙理工大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南長沙 410004）

道路交通網(wǎng)絡(luò)作為城市交通活動(dòng)的載體，是國民經(jīng)濟(jì)和城市運(yùn)行的主動(dòng)脈，是確保城市生命線系統(tǒng)正常運(yùn)轉(zhuǎn)的子系統(tǒng)。然而，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)節(jié)點(diǎn)（邊）受到內(nèi)部、外部因素的干擾而失效或故障后，這些失效節(jié)點(diǎn)（邊）會(huì)通過節(jié)點(diǎn)和邊的耦合關(guān)系引起其周邊的節(jié)點(diǎn)和邊的失效，這種連鎖效應(yīng)可能導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生崩潰，這種現(xiàn)象被稱為級聯(lián)失效。級聯(lián)失效雖然不經(jīng)常發(fā)生，但其后果非常嚴(yán)重［1］。因此，預(yù)防道路交通網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效具有重要意義。

目前，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的預(yù)防與控制措施研究集中在3個(gè)方面：①節(jié)點(diǎn)容量優(yōu)化。李勇［2］等人提出了基于級聯(lián)失效的戰(zhàn)域保障網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)容量優(yōu)化模型。劉漳輝［3］等人探討了如何選取非線性負(fù)荷－容量模型的參數(shù)，以達(dá)到最大化網(wǎng)絡(luò)魯棒性和最小化網(wǎng)絡(luò)投入代價(jià)的目的。彭晶波［4］等人提出了一種針對無線網(wǎng)絡(luò)的單節(jié)點(diǎn)容量最大化方法，尋找一個(gè)最優(yōu)的歸一化信號幅度γopt，以獲得最大化的節(jié)點(diǎn)容量C。②邊增加或刪除。Motter［5］等人認(rèn)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)受到初始攻擊后，可以通過刪除一部分低（高）負(fù)載節(jié)點(diǎn)（邊）來控制級聯(lián)失效的傳播。在此基礎(chǔ)上，Zhao［6］等人獲得了最優(yōu)刪除策略。相反地，Hayashi［7］等人提出了增加邊的級聯(lián)失效控制策略。③均勻負(fù)載等其他方法。Schafer［8］等人提出了一種增加網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效抗毀性的設(shè)計(jì)方法，并通過減少網(wǎng)絡(luò)總負(fù)載來提高網(wǎng)絡(luò)抗毀性。Motter［9］等人認(rèn)為，網(wǎng)絡(luò)的抗毀魯棒性與節(jié)點(diǎn)介數(shù)分布相關(guān)，介數(shù)分布越同質(zhì)，其魯棒性越強(qiáng)；可通過保護(hù)介數(shù)較大的節(jié)點(diǎn)或均勻負(fù)載分布來預(yù)防級聯(lián)失效。趙暉［10］提出了通過導(dǎo)航策略來預(yù)防輸運(yùn)網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效。這3種方法中，節(jié)點(diǎn)容量優(yōu)化和邊增加或刪除是通過對網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)（邊）重要度的測算、排序，找到網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（邊）。然后再對關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（邊）采取保護(hù)策略，從而達(dá)到預(yù)防級聯(lián)失效的目的。這2種方法針對性較強(qiáng)，能夠有效利用有限的資源，較大程度地改善了路網(wǎng)通行能力。而均勻負(fù)載則是通過研究網(wǎng)絡(luò)中負(fù)載和容量的分布特點(diǎn)以及節(jié)點(diǎn)之間的路由規(guī)則和負(fù)載分配原則，控制整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的“承載極限”來達(dá)到預(yù)防級聯(lián)失效的目的。該方法資源消耗較大，但能更為徹底地改善整個(gè)路網(wǎng)的通行能力。

擴(kuò)大節(jié)點(diǎn)容量預(yù)防級聯(lián)失效的現(xiàn)有研究［11］表明：在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)一定的條件下，節(jié)點(diǎn)容量越大，級聯(lián)失效抗毀性越強(qiáng)，這為通過交叉口擴(kuò)容來預(yù)防道路交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效提供了理論基礎(chǔ)。現(xiàn)有的預(yù)防復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的節(jié)點(diǎn)容量擴(kuò)大措施還只是定性地認(rèn)為擴(kuò)容有利于預(yù)防級聯(lián)失效，但還沒有解決2個(gè)關(guān)鍵問題：①通過擴(kuò)容哪些交叉口來預(yù)防級聯(lián)失效；②交叉口擴(kuò)容多少更有利于減輕級聯(lián)失效的后果。本研究擬構(gòu)建交叉口擴(kuò)容的優(yōu)化算法予以解決。

1 道路交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型

道路交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效模型采用負(fù)荷－容量模型［9］，該模型可描述為：

1）初始狀態(tài)：路網(wǎng)中的路段（交叉口）都處于正常狀態(tài)，即各路段（交叉口）的初始流量均小于實(shí)際容量。

2）初始攻擊：刪除某個(gè)路段（交叉口）。

3）流量分配：路段（交叉口）的刪除將導(dǎo)致出行網(wǎng)絡(luò)的OD流在道路網(wǎng)絡(luò)中重新分配，路段（交叉口）流量發(fā)生變化。

4）計(jì)算飽和度并判斷：路段（交叉口）流量的變化導(dǎo)致其交通狀態(tài)也發(fā)生變化。如果所有路段（交叉口）飽和度均小于1，則停止；否則，轉(zhuǎn)5）。

5）更新路網(wǎng)：將飽和度大于1的過載路段（交叉口）刪除，更新路網(wǎng)，并轉(zhuǎn)模型。該模型：邊的容量采用文獻(xiàn)［12］的變化規(guī)律，即

式中：Cj（τ）為節(jié)點(diǎn)j在τ時(shí)間步的容量（假設(shè)交叉口容量是相交道路最大容量的0.9倍）；qj（τ）為節(jié)點(diǎn)j在τ時(shí)間步的流入量，即qj（τ）＝∑iqij（τ）。

6）失效節(jié)點(diǎn)的判斷依據(jù)：以節(jié)點(diǎn)飽和度來描述節(jié)點(diǎn)是否失效。節(jié)點(diǎn)飽和度定義為節(jié)點(diǎn)各關(guān)聯(lián)路段進(jìn)口道的負(fù)荷系數(shù)加權(quán)值，即

式中：λ為整個(gè)節(jié)點(diǎn)的飽和度；n為節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)路段進(jìn)口系數(shù)；qi為第i條關(guān)聯(lián)路段進(jìn)口道的負(fù)荷系數(shù)（當(dāng)量交通和通行能力之比），即該關(guān)聯(lián)路段進(jìn)口道的飽和度；Qi為第i條關(guān)聯(lián)路段進(jìn)口道的交通量。

7）采用阻塞程度指標(biāo)J［13］描述級聯(lián)失效的后果，即

式中：qij（τ）為路段（i，j）在τ時(shí)刻的流量，pcu／s；tij（τ）為路段（i，j）在τ時(shí)刻的阻抗，s；qij（0）為初始交通分配后路段（i，j）的流量，pcu／s；tij（0）為初始交通分配后路段（i，j）阻抗，s。

路段阻抗采用BPR等函數(shù)。流量分配可采用用戶最優(yōu)和系統(tǒng)最優(yōu)等交通分配算法。

2 考慮級聯(lián)失效的交叉口擴(kuò)容策略

根據(jù)擴(kuò)容后道路交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)來判斷應(yīng)該擴(kuò)容哪些交叉口，根據(jù)擴(kuò)容后的阻塞程度指標(biāo)來確定交叉口適合的擴(kuò)容量［4］。提出的擴(kuò)容算法為：

1）初始化。給定道路交通網(wǎng)絡(luò)模型，將出行OD對在道路網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行分配，記錄此時(shí)的阻塞程度指標(biāo)J（0）。

2）攻擊。攻擊路網(wǎng)中的一個(gè)或多個(gè)節(jié)點(diǎn)。

3）調(diào)用級聯(lián)失效流程，判斷級聯(lián)失效后果J1。如果沒有引起級聯(lián)失效，不需擴(kuò)容，結(jié)束算法；否則，轉(zhuǎn)4）（采用擴(kuò)容策略來防止級聯(lián)失效）。

4）擴(kuò)容。

①在攻擊后的網(wǎng)絡(luò)中，選擇飽和度最大的交叉口I1擴(kuò)容K1倍。調(diào)用級聯(lián)失效流程，計(jì)算級聯(lián)失效后果，判斷擴(kuò)容K1倍的效果；繼續(xù)擴(kuò)大擴(kuò)容倍數(shù)至K2＝K1×P，調(diào)用級聯(lián)失效流程，并判斷擴(kuò)容K2的效果；繼續(xù)擴(kuò)容，直至前、后效果不明顯。

②在擴(kuò)容Ke倍后，比較Je和J1。如果效果明顯，則交叉口I1擴(kuò)容Ke倍，并更新網(wǎng)絡(luò)；否則，交叉口I1不擴(kuò)容。

③對更新網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行評價(jià)。如果沒有引起大規(guī)模的級聯(lián)失效，則結(jié)束算法；否則，到①中選擇飽和度最大的、未擴(kuò)容的交叉口I2擴(kuò)容K1倍。

算法中，P為交叉口擴(kuò)容倍數(shù)的增長因子，初始取值范圍為1.5＞P＞1；K1為交叉口的初始擴(kuò)容倍數(shù)，初始取值范圍為2＞K1＞1；Ke為交叉口的最佳擴(kuò)容倍數(shù)；Je為交叉口擴(kuò)容最佳倍數(shù)Ke后的路網(wǎng)阻塞程度指標(biāo)。試算時(shí)，取值間隔視具體情況而定，以路網(wǎng)有明顯改善為準(zhǔn)。攻擊可以是單個(gè)節(jié)點(diǎn)（邊）的攻擊、也可以是多個(gè)節(jié)點(diǎn)（邊）的攻擊。本研究的擴(kuò)容量通過試算法優(yōu)化確定，同時(shí)未考慮擴(kuò)容的約束；如果要考慮擴(kuò)容量的約束，則在①中限制最大擴(kuò)容倍數(shù)即可。算法中，若交叉口Ii擴(kuò)容Ke倍（Ke較大）后，Je不收斂或震蕩，考慮資源有限，則結(jié)束算法，擴(kuò)容其他交叉口Ik，并與Ii進(jìn)行比較。若同樣擴(kuò)大Ke倍，擴(kuò)大交叉口Ii的效果好于Ik的，則擴(kuò)容交叉口Ii；反之，則擴(kuò)大交叉口Ik。

3 仿真試驗(yàn)

以長沙市雨花區(qū)主干路網(wǎng)為例，開展試驗(yàn)研究。該路網(wǎng)共有22條邊，15個(gè)節(jié)點(diǎn)，路網(wǎng)如圖1所示，節(jié)點(diǎn)容量見表1。設(shè)出行網(wǎng)絡(luò)共有8個(gè)OD對，出行網(wǎng)絡(luò)OD見表2。各路段容量和自由流阻抗見表3。

圖1 路網(wǎng)示意Fig.1 Road network

表1 各初始節(jié)點(diǎn)容量Table 1 Initial capacity of each node

表2 初始OD流量Table 2 Initial OD flow

表3 各路段容量和自由流阻抗Table 3 Each link capacity and the free flow impedance

案例中，交通分配采用UE準(zhǔn)則，初始路網(wǎng)的阻塞程度指標(biāo)為J（0）＝1.109。節(jié)點(diǎn)2被攻擊失效后，將引起級聯(lián)失效，其阻塞程度指標(biāo)J（1）＝1.593，節(jié)點(diǎn)2失效后各節(jié)點(diǎn)的飽和度見表4。

表4 節(jié)點(diǎn)2失效后各節(jié)點(diǎn)的飽和度Table 4 Each node saturation degree after node 2failed

對飽和度最大的節(jié)點(diǎn)14擴(kuò)容，取K1＝1.5，P＝1.1，擴(kuò)容后阻塞程度的變化如圖2所示。

從圖2中可以看出，當(dāng)Ke＝2.92時(shí)，阻塞程度指標(biāo)J收斂。此時(shí)，J（3）＝1.160，各節(jié)點(diǎn)飽和度見表5。

圖2 節(jié)點(diǎn)14擴(kuò)容后阻塞程度變化的趨勢Fig.2 Changes in trends in the degree of obstruction after expansion of node 14

表5 節(jié)點(diǎn)14擴(kuò)容Ke后各節(jié)點(diǎn)飽和度和阻塞程度指標(biāo)Table 5 Each node saturation degree and obstruction index after expansion Keof node 14

從表5中可以看出，仍有8個(gè)節(jié)點(diǎn)擁堵，還需要繼續(xù)擴(kuò)容。對節(jié)點(diǎn)4行擴(kuò)容，擴(kuò)容后阻塞程度的變化如圖3所示。

圖3 節(jié)點(diǎn)4擴(kuò)容后阻塞程度變化的趨勢Fig.3 Changes in the degree of the obstruction after expansion of node 4

從圖3中可以看出，當(dāng)Ke′＝1.99時(shí)，阻塞程度指標(biāo)J收斂。此時(shí)，J′（3）＝1.06，各節(jié)點(diǎn)飽和度見表6。

此時(shí)，路網(wǎng)只有2個(gè)節(jié)點(diǎn)有輕微的擁堵，不再出現(xiàn)級聯(lián)失效，結(jié)束算法。

若對路網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)14擴(kuò)容2.92倍，對節(jié)點(diǎn)4擴(kuò)容1.99倍，能有效預(yù)防節(jié)點(diǎn)2遭受攻擊時(shí)引起的級聯(lián)失效。同樣，若對路網(wǎng)其他節(jié)點(diǎn)或多個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行攻擊，也可以采用該擴(kuò)容策略來預(yù)防級聯(lián)失效的發(fā)生。

表6 節(jié)點(diǎn)4擴(kuò)容Ke后各節(jié)點(diǎn)飽和度和阻塞程度指標(biāo)Table 6 Each node saturation degree and obstruction index after expansion Keof node 4

4 結(jié)論

針對道路交通網(wǎng)絡(luò)的特性，結(jié)合負(fù)荷－容量級聯(lián)失效模型，提出了一種預(yù)防級聯(lián)失效的交叉口擴(kuò)容策略，即在特定攻擊下，通過優(yōu)化擴(kuò)容最擁擠交叉口來避免道路交通網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效。這種級聯(lián)失效的預(yù)防策略是特定攻擊下的預(yù)防策略。如何制定隨機(jī)攻擊下道路交通網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的預(yù)防策略是下階段的研究重點(diǎn)。

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