不完全信息四人幫模型的建設(shè)工程競(jìng)標(biāo)合作均衡分析＊

李海霞，王祖和，修瑛昌，王根霞

（山東科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，山東，青島 266590）

1 引 言

博弈論作為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)分支，主要應(yīng)用于分析競(jìng)爭(zhēng)形勢(shì)，競(jìng)爭(zhēng)結(jié)果往往不僅是個(gè)人選擇和機(jī)會(huì)的結(jié)果，還依賴于其他參與者的決策．因此競(jìng)爭(zhēng)結(jié)果是由所有參與者的行為決定的，每個(gè)競(jìng)爭(zhēng)參與者都試圖得到其他參與者選擇信息，再做出自己的最佳策略．建設(shè)工程投標(biāo)報(bào)價(jià)決策中，投標(biāo)者競(jìng)爭(zhēng)的關(guān)鍵是智勝對(duì)手，引入博弈論的精髓在于博弈中的一個(gè)理智決策者必須以考慮其他參與者的反應(yīng)為基礎(chǔ)來確定自身最理智的投標(biāo)報(bào)價(jià)方案．因此博弈論適用于研究投標(biāo)報(bào)價(jià)決策問題．

研究結(jié)果表明［1］，在完全信息條件下，只要是有限次的博弈重復(fù)，不論重復(fù)的次數(shù)是多少，都能出現(xiàn)唯一的子博弈精煉納什均衡，即所有參與者在每次博弈中都選擇靜態(tài)策略（假設(shè)存在唯一靜態(tài)博弈的精煉納什均衡），也即參與人在有限次重復(fù)博弈條件下不會(huì)選擇合作．但在實(shí)際投標(biāo)活動(dòng)中經(jīng)常存在投標(biāo)者之間相互串標(biāo)，導(dǎo)致投標(biāo)價(jià)大幅提高或者出現(xiàn)競(jìng)爭(zhēng)者以低于其成本中標(biāo)的結(jié)果．可見應(yīng)用完全信息條件下靜態(tài)博弈來研究投標(biāo)者的報(bào)價(jià)決策有一定的局限性，不完全符合實(shí)際狀況．

基于博弈論的投標(biāo)報(bào)價(jià)模型的基本假設(shè)是所有投標(biāo)者的決策都是針對(duì)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手決策行為直接反映并且所有投標(biāo)者的決策都是其最優(yōu)報(bào)價(jià)決策［2］．在求解最優(yōu)報(bào)價(jià)過程中，通常對(duì)成本分布函數(shù)的分布做種種假設(shè)［3］，在實(shí)際中要想獲取競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的成本分布函數(shù)非常困難．因此通過基于博弈論的投標(biāo)報(bào)價(jià)策略來預(yù)測(cè)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的報(bào)價(jià)決策困難很大．鑒于此，通過基于博弈論原理來研究投標(biāo)過程中競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手之間的合作均衡規(guī)律．

2 競(jìng)標(biāo)博弈模型的構(gòu)建

2．1 精煉貝葉斯納什均衡

博弈論中先行動(dòng)者為了不讓后行動(dòng)者利用其行為結(jié)果，在行動(dòng)之前都會(huì)設(shè)法傳遞對(duì)自己最有利的信息，避免將對(duì)自己不利的信息傳遞出去．因此投標(biāo)者之間的競(jìng)爭(zhēng)決策是信息不完全的動(dòng)態(tài)博弈過程．研究結(jié)果已經(jīng)證明“四人幫”聲譽(yù)模型（Kreps，Mailgram，Robbers and Wilson Reputation model，1982，簡(jiǎn)稱KMRW）可以有效的解決信息不完全條件下的重復(fù)博弈問題［4－5］，可以利用信息不完全有限次重復(fù)博弈的“四人幫”聲譽(yù)模型來研究建設(shè)工程投標(biāo)報(bào)價(jià)中投標(biāo)者之間是如何建立競(jìng)爭(zhēng)與合作的均衡關(guān)系．

若設(shè)定投標(biāo)者1具有大于0的概率q是不理智的，即在競(jìng)標(biāo)報(bào)價(jià)過程中會(huì)出現(xiàn)不論對(duì)方報(bào)價(jià)如何決策，投標(biāo)者1都有可能出現(xiàn)不理智的任何報(bào)價(jià)策略；投標(biāo)者2對(duì)投標(biāo)者1的這一不理智概率q是已知的，已知的方法是通過使用貝葉斯法則觀察投標(biāo)者1的行為中獲取的．在一般的“四人幫”模型中，對(duì)所有參與者的屬性的推斷均體現(xiàn)在他的信譽(yù)之中［6］．舉例而言，如果在向銀行貸款的過程中一個(gè)企業(yè)向來有按時(shí)還貸的良好信譽(yù)，當(dāng)在建立企業(yè)與銀行之間的信貸博弈模型并考慮劃分企業(yè)的屬性時(shí)，銀行對(duì)該企業(yè)向來能做到按時(shí)還款這種屬性賦予一個(gè)正的條件概率．

精煉貝葉斯均衡是一個(gè)先驗(yàn)戰(zhàn)略組合m＊（t）＝（m1＊（t1），．．．，mn＊（tn））和一個(gè)貝葉斯后驗(yàn)概率組合q＝（q1，…，qn）的組合，需要滿足以下條件：

1）對(duì)于每一個(gè)參與者i，在所有的信息集A里邊，∈argmax

2．2 模型的基本假設(shè)

1）假設(shè)投標(biāo)者有理智和非理智兩種屬性，每個(gè)投標(biāo)者在投標(biāo)前均清楚自己的屬性，而不清楚對(duì)手的屬性，但嚴(yán)格意義上來講這種信息不完全條件實(shí)際上是相仿的信息不完全條件，所以投標(biāo)者會(huì)對(duì)對(duì)手可能的屬性有一個(gè)主觀判斷．

2）在投標(biāo)中，投標(biāo)者與招標(biāo)人之間不存在約束力關(guān)系，即各自獨(dú)立作出各方的決策．

3）投標(biāo)者的總利潤(rùn)是所有時(shí)段博弈利潤(rùn)貼現(xiàn)后的現(xiàn)值之和．

4）業(yè)主沒有對(duì)于哪一個(gè)投標(biāo)者有特殊偏愛，即所有投標(biāo)者面臨的風(fēng)險(xiǎn)是等量的．

5）本文中假設(shè)的中標(biāo)方式是最低價(jià)中標(biāo)方式．

2．3 模型的博弈要素分析

1）參與人

目前雙人博弈已經(jīng)具備了比較成熟的理論和算法，而對(duì)于參與者人數(shù)n＞2的多人博弈而言，計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于雙人博弈，求解過程更為困難．鑒于此，為計(jì)算簡(jiǎn)便本文將實(shí)際問題中的大于三人的博弈轉(zhuǎn)化為雙人博弈來處理，也即將所研究的一個(gè)投標(biāo)者定義為博弈者1，然后利用Friedman投標(biāo)報(bào)價(jià)模型中的平均對(duì)手法則將其余n－1個(gè)投標(biāo)者進(jìn)行虛擬等值定義為博弈者2．

2）投標(biāo)策略及利潤(rùn)函數(shù)

為了減少計(jì)算量，設(shè)定投標(biāo)者的投標(biāo)策略集合為高投標(biāo)價(jià)或低投標(biāo)價(jià)，投標(biāo)者在兩種策略下的利潤(rùn)組合如表1所示．

表1 投標(biāo)者競(jìng)標(biāo)利潤(rùn)組合表

3 競(jìng)標(biāo)博弈模型精煉貝葉斯納什均衡的求解

3．1 投標(biāo)者之一為完全理智的情形

1）兩投標(biāo)者競(jìng)標(biāo)的博弈順序

首先假設(shè)投標(biāo)者1有具有非理智屬性的條件概率為q，對(duì)應(yīng)的理智屬性條件概率為1－q．為計(jì)算簡(jiǎn)單，假設(shè)投標(biāo)者2是完全理智的．理智屬性的投標(biāo)者1（以下簡(jiǎn)稱Z1）可以任意選擇“高投標(biāo)價(jià)”或“低投標(biāo)價(jià)”．在對(duì)模型進(jìn)行分析時(shí)，假設(shè)非理智屬性投標(biāo)者1（以下簡(jiǎn)稱FZ1）只有一種戰(zhàn)略：勢(shì)不兩立戰(zhàn)略．這種假設(shè)下一旦他偏離了“勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略，就立即暴露出他是理智的．有了這個(gè)假設(shè)，就可以集中精力對(duì)理智屬性投標(biāo)者2（以下簡(jiǎn)稱Z2）的戰(zhàn)略選擇進(jìn)行分析．對(duì)于FZ1，他的戰(zhàn)略是：開始選擇“高投標(biāo)價(jià)”，此后在y時(shí)段選擇Z2在y－1時(shí)段的選擇（即選擇Z2上次的投標(biāo)策略）．

在上述假設(shè)條件下，“四人幫”聲譽(yù)模型下兩投標(biāo)者競(jìng)標(biāo)有如下的博弈順序：

①投標(biāo)者1知道自己的屬性，投標(biāo)者2只知道投標(biāo)者1屬于理智和非理智屬性的概率．

②得到第一時(shí)段博弈結(jié)果之后，進(jìn)入第二時(shí)段博弈；得到第二時(shí)段博弈結(jié)果之后，進(jìn)入第三時(shí)段博弈．如此重復(fù)博弈Y次．

③所有時(shí)段博弈的利潤(rùn)的現(xiàn)值之和作為兩個(gè)投標(biāo)者在博弈中的總利潤(rùn)（本文假設(shè)現(xiàn)值系數(shù)θ＝1）．

完全信息條件下重復(fù)博弈中兩個(gè)投標(biāo)者的屬性都是“理智的”，每個(gè)投標(biāo)者在開始時(shí)段博弈中的選擇都是合作的“高投標(biāo)價(jià)”行為．此時(shí)意味著2個(gè)投標(biāo)者都有著合作的信譽(yù)，他們都采取一種 “勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略：選擇合作一直到競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手在y時(shí)段選擇“低投標(biāo)價(jià)”（對(duì)抗）為止，然后從y＋1時(shí)段開始一直到Y(jié)都選擇“低投標(biāo)價(jià)”（對(duì)抗）．勢(shì)不兩立戰(zhàn)略代表著一種“對(duì)對(duì)手的背信棄義行為絕不原諒”的原則．隨著對(duì)手的第一次選擇“低投標(biāo)價(jià)”的背叛使得這種合作的信譽(yù)終止．但是在“四人幫”模型中，投標(biāo)者1因“理智”屬性的概率是1－q，就存在概率非理智概率q去采取“勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略，即開始選擇“高投標(biāo)價(jià)”（合作），以后己方采取的方案就是對(duì)方上次所選擇的方案．這樣合作的可能就出現(xiàn)在重復(fù)博弈中．至少在開始的第一時(shí)段投標(biāo)者1的合作信譽(yù)可以通過條件概率q表現(xiàn)出來，因?yàn)闂l件概率為q的非理智屬性投標(biāo)者1開始的選擇高投標(biāo)價(jià)體現(xiàn)了合作愿望．

2）博弈重復(fù)兩次的情形

用L代表“低投標(biāo)價(jià)”，即L可以表示對(duì)抗的行為；用H代表“高投標(biāo)價(jià)”，即H表示合作行為．現(xiàn)在從最后一個(gè)時(shí)段（y＝2）開始逆向倒退進(jìn)行討論．在最后博弈時(shí)段，因?yàn)長(zhǎng)嚴(yán)優(yōu)于H，所以Z2和Z1都會(huì)選擇L報(bào)價(jià)．而這時(shí)FZ1的選擇依賴于Z2在第一時(shí)段的選擇，不妨設(shè)選R（R可以是L或H）．退到第一時(shí)段，根據(jù)假設(shè)，因?yàn)镕Z1采取“勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略，所以FZ1開始應(yīng)選擇H（“高投標(biāo)價(jià)”）；Z1必然選擇他的嚴(yán)格占優(yōu)戰(zhàn)略L，而且他這時(shí)的選擇不會(huì)影響Z2在第二時(shí)段的選擇．這樣，討論的中心問題就集中到Z2在第一時(shí)段的選擇R到底是L還是H上．因?yàn)樗倪x擇直接影響到FZ1在第二時(shí)段的選擇．兩時(shí)段博弈進(jìn)行情況如表2所示．對(duì)于第1時(shí)段博弈收益結(jié)果可以由圖1所示的擴(kuò)展式中表述．

表2 博弈重復(fù)2次報(bào)價(jià)組合（Y＝2）

圖1 階段博弈收益擴(kuò)展式

如果Z2選擇R＝H，也就是選擇合作行為，這時(shí)他的期望利潤(rùn)為

由于Z2在第一時(shí)段選擇了H，因而在第二時(shí)段中，F(xiàn)Z1和Z1以及Z2的選擇依次是H、L、L．因此，在第二時(shí)段中，Z2的期望利潤(rùn)為

這樣，由于前面設(shè)定θ＝1，兩時(shí)段博弈Z2總的期望利潤(rùn)就是

類似地，如果Z2在第1時(shí)段選擇R＝L，也就是選擇對(duì)抗行為，這時(shí)他的期望利潤(rùn)為

這樣，Z2在兩時(shí)段博弈的總期望利潤(rùn)就是

因此，當(dāng)不等式

Z2在重復(fù)博弈的開始時(shí)段（第一時(shí)段）將會(huì)選擇R＝H．這表明，如果非理智屬性的投標(biāo)者1的條件概率q≥G2LL－G2LH／G2HH－G2LH，Z2將會(huì)在第一時(shí)段博弈選擇H，也就是選擇合作行為．這也即說明，Z2選擇合作時(shí)段的數(shù)量只與條件概率q有關(guān)．

在前文的討論中，只對(duì)投標(biāo)者1的屬性進(jìn)行了兩種假設(shè)，投標(biāo)者2只有一種屬性，屬于單邊非對(duì)稱信息假設(shè)．這樣建立的合作均衡不屬于精煉貝葉斯納什均衡．這是因?yàn)?，如果Z2在y＝Y(jié)－1時(shí)段不選擇H，到了最后時(shí)段（y＝Y(jié)），F(xiàn)Z1跟著也不會(huì)選擇H．這樣，y＝Y(jié)－2與y＝Y(jié)－1組成的兩時(shí)段博弈，Z2在y＝Y(jié)－2時(shí)段也不會(huì)選擇H．依次類推，沒有任何一個(gè)時(shí)段上理智的Z2選擇H，Z1也不會(huì)選擇嚴(yán)劣戰(zhàn)略H．唯一的精煉貝葉斯納什均衡是時(shí)段博弈納什均衡（L，L），即（低投標(biāo)價(jià)，低投標(biāo)價(jià)）重復(fù)Y－1次，這與在完全信息情況基本一樣，區(qū)別只有Z1在第1時(shí)段選擇了H．即信息完全和單邊非對(duì)稱信息不完全的有限次重復(fù)博弈條件下兩投標(biāo)者之間的競(jìng)標(biāo)出現(xiàn)合作行為的概率為0．

3．2 兩投標(biāo)者都具有大于零的概率是非理智的情形

前面討論的投標(biāo)者1具有非理智概率q而投標(biāo)者2完全理智的情形，本節(jié)討論投標(biāo)者1和投標(biāo)者2均具有非理智概率q的情形，即本節(jié)討論非理智投標(biāo)者2的期望利潤(rùn)．根據(jù)參考文獻(xiàn)［7］，在兩投標(biāo)者信息不完全有限次重復(fù)博弈中，非理智屬性投標(biāo)者選擇的戰(zhàn)略為“勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略改換為“苛刻戰(zhàn)略”，但最后產(chǎn)生的均衡是一樣的．為了論證方便，也將非理智投標(biāo)者選擇的戰(zhàn)略由“勢(shì)不兩立”戰(zhàn)略改換為“苛刻戰(zhàn)略”，即“開始第一時(shí)段選擇H（合作），合作直到對(duì)手選擇L（對(duì)抗），然后一直以牙還牙選擇L．”

所以如果對(duì)手是FZ1，F(xiàn)Z2的期望利潤(rùn)是G2HH×Y，兩方均不會(huì)做出背叛選擇（因?yàn)榉抢碇菍傩酝稑?biāo)者選擇“苛刻戰(zhàn)略”，在y＝1時(shí)段，只會(huì)選擇H）．即一直處于合作狀態(tài)．

如果對(duì)手Z1在y＝1時(shí)段選擇L，F(xiàn)Z2在y＝1時(shí)段選擇H，從y＝2時(shí)段開始，兩個(gè)投標(biāo)者都將選擇L，直到最后一個(gè)時(shí)段（y＝Y(jié)）．這是一個(gè)均衡：從y＝2時(shí)段開始，F(xiàn)Z2選擇L是根據(jù)“苛刻戰(zhàn)略”報(bào)復(fù)Z1；Z1的最優(yōu)選擇總是嚴(yán)優(yōu)戰(zhàn)略L．這種情況下FZ2的期望利潤(rùn)是：

考慮到投標(biāo)者1屬于兩種屬性的條件概率分別為q與1－q，這樣FZ2從這一戰(zhàn)略得到的期望利潤(rùn)應(yīng)為：

考慮投標(biāo)者2，如果他在第一時(shí)段（y＝1）上選擇L，會(huì)暴露他是理智屬性．這時(shí)投標(biāo)者2的期望利潤(rùn)為：

比較式（8）與式（9）的結(jié)果，對(duì)于投標(biāo)者2，第二戰(zhàn)略優(yōu)于第一戰(zhàn)略的條件為：

這個(gè)不等式結(jié)果表明 ，只要Y大于式（10）右邊取整后的Y＊，則可以說明從一開始就選擇L（對(duì)抗）不是投標(biāo)者2的最優(yōu)戰(zhàn)略．由上式可以看出，q越小，Y＊取值越大．也就是說，對(duì)手理智的概率與選擇合作的可能性具有正相關(guān)性．不論q多么小，總存在一個(gè)Y＊，使得對(duì)所有的Y＞Y＊，投標(biāo)者2在y＝1時(shí)段選擇L不是最優(yōu)戰(zhàn)略，最優(yōu)戰(zhàn)略為選擇高報(bào)價(jià)（合作戰(zhàn)略）．根據(jù)對(duì)稱性原理，類似的結(jié)論對(duì)投標(biāo)者1也成立．這個(gè)結(jié)果表明，對(duì)于非理智投標(biāo)者，即便存在微小的非理智概率，如果跟對(duì)手達(dá)到足夠多的重復(fù)博弈次數(shù)Y，合作成為最優(yōu)戰(zhàn)略．

4 結(jié) 論

應(yīng)用信息不完全條件下有限次重復(fù)博弈的“四人幫”聲譽(yù)模型原理，建立建設(shè)工程投標(biāo)報(bào)價(jià)中兩投標(biāo)者進(jìn)行競(jìng)標(biāo)的重復(fù)博弈模型，并求解及分析報(bào)價(jià)模型的精煉貝葉斯納什均衡，得到如下結(jié)論．

1）信息完全有限次重復(fù)博弈條件下兩投標(biāo)者之間的競(jìng)標(biāo)出現(xiàn)合作行為的概率為0，而信息不完全有限次重復(fù)博弈條件下兩投標(biāo)者之間的競(jìng)標(biāo)存在合作的均衡規(guī)律．

2）兩投標(biāo)者在有限次重復(fù)博弈競(jìng)標(biāo)中，如果每一個(gè)投標(biāo)者都具有非理智的概率q＞0，不論q多小，只要進(jìn)行了足夠多的博弈重復(fù)次數(shù)，就會(huì)出現(xiàn)合作均衡的局面，并且對(duì)抗非合作時(shí)段的總數(shù)與博弈重復(fù)的次數(shù)無關(guān)，而只與這種非理智的概率有關(guān)．

3）對(duì)于一方投標(biāo)者，競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的理智概率決定了選擇與其合作的可能性．不理智的概率越小，合作的時(shí)段越會(huì)提前．

［1］熊炳忠，馬柏林．基于貝葉斯MCMC算法的美式期權(quán)定價(jià)［J］．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2013，30（2）：55－54．

［2］左西子，趙人可，彭朝暉，等．具有不完全信息的內(nèi)部交易動(dòng)態(tài)博弈［J］．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2014，31（2）：49－54．

［3］孫修勇．合作博弈視角分析社會(huì)財(cái)富分配［J］．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2013，30（3）：75－80．

［4］焦銀禾．建設(shè)工程招投標(biāo)及博弈論應(yīng)用［M］．北京：中國(guó)鐵道出版社，2009：147－182．

［5］李光久．博弈論基礎(chǔ)教程［M］．北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2004：168－191．

［6］喻剛．建筑工程項(xiàng)目投標(biāo)報(bào)價(jià)決策研究［D］．天津：天津大學(xué)管理學(xué)院，2008．

［7］蒲永?。畱?yīng)用博弈論［M］．重慶：重慶大學(xué)出版社，2014．