陳群

確定實系數(shù)二次方程實根分布問題中參數(shù)的取值范圍是高中數(shù)學的重點和難點，也是歷年高考考查的熱點，它涉及的數(shù)學思想方法較多，綜合性較強。解決此類問題的主要思路是：從對應函數(shù)的開口方向、特殊點的函數(shù)值的正負、對稱軸的位置、判別式與0的關系等幾個角度綜合考慮后構建充要條件，從而求出參數(shù)的取值范圍。現(xiàn)結合實例介紹幾種題型及其求解策略，供大家參考。

為敘述方便，現(xiàn)約定：當實系數(shù)二次方程ax?+bx+c=0（a≠O）有兩個實根時，這兩個實根分別為x1、x2。

類型一：方程的兩個實根均小于常數(shù)k

此種類型的求解策略是：令f（X）=ax?+bx+

例1 已知關于x的方程（1+a）X?-3ax+4a=O的所有根均小于1，求實數(shù)a的取值范圍。

解：若l+a=O，即a=-l，則方程（l+a）x?-3ar+4a=0即為3x-4 =0，其根為，不滿足題意，所以a≠-1。

令

由題意可知：

解得。

因此實數(shù)a的取值范圍為。

變式：已知|a|=1，且方程ax?-2x-b+5=0有兩個負實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍。

解：令

由題意可知：

解得5評析：上述變式相當于方程的兩個實根均小于0，因此構建充要條件的方式不變。

類型二：方程的兩個實根均大于常數(shù)k

此種類型的求解策略是：令c，則

例2 已知一元二次方程mx?-（m+1）x+3=O的兩個實根都大于-1，求實數(shù)m的取值范圍。

解：令

由題意可知：

解得m<-2或，因此實數(shù)m的取值范圍為。

變式：已知一元二次方程（m-l）X?+2（m+l）x-m=0有兩個正根，求實數(shù)m的取值范圍。

解：令

由題意可知：

解得O

評析：例5及其兩個變式實質(zhì)上代表了“解在區(qū)間內(nèi)”與“在區(qū)間內(nèi)有解”這兩類極易混淆的問題，而兩個變式的區(qū)別是前者對稱軸確定，后者對稱軸待定，當然變式1也可以借鑒變式2的解法，在此不作贅述，請讀者自己嘗試。

類型六：兩根分別在區(qū)間（-∞，k1）與（k2，+∞）（k1此種類型的求解策略是：令c，則切忌把充要條件寫成因為具有兩層含義：一是f（k1）與f（k2）同號，二是f（k1）與f（k2）均與a異號，綜合起來就是區(qū)間（k1，k2）是以兩根為端點的區(qū)間的子區(qū)間，但f（k1）f（k2）>O僅僅說明f（k1）與f（k2）同號。

例6 已知一元二次方程（m+2）=O的一個根小于0，另一個根大于1，求實數(shù)m的取值范圍。

解：令

由題意可知：

解得m<-2或m>0，因此實數(shù)m的取值范圍為{m|m<-2或m>O}。

評析：若把條件改為“方程的兩個實根在區(qū)間[O，1]之外”，則解答時應綜合考慮類型一、類型二、類型六這三種情況。

變式1：已知一元二次方程的一個根在（-l，1）內(nèi)，另一個根大于3，求實數(shù)m的取值范圍。

解：令

由題意可知：

解得

因此實數(shù)m的取值范圍為。

變式2：已知方程有一個根小于2，其余三個根大于-l，求實數(shù)a的取值范圍。

解：令

若x=0是原方程的一個根，則可推得a=0，顯然不合題意，所以原方程有四個非零解，同時使得一元二次方程f（t）=0必有兩個正根，由此進一步得知原方程的四個根是兩對相反數(shù)。又原方程有一個根小于2，則其必有一根大于2，故方程，f（t）=O必有一根大于4。

由于原方程的另外兩根均大于-l，且這兩個根互為相反數(shù)，所以這兩根分別在（-1，O）與（O，1）內(nèi)，故方程f（t）=0的另外一根在區(qū)間（O，1）內(nèi)。

因此可列出相應的充要條件

解得

因此實數(shù)“的取值范圍為。

評析：對于一元二次方程，令，若該方程的一個根在區(qū)間內(nèi)，另一個根大于，結合類型三與類型四，可列出充要條件若該方程的一個根小于k1，另一個根在區(qū)間內(nèi)，結合類型三與類型四，可列出充要條件若該方程的一個根在區(qū)間（k1，k2）內(nèi)，另一個根大于k2，結合類型四，可列出充要條件若該方程的一個根小于k1另一個根在區(qū)間（k1，k2）內(nèi)，結合類型四，可列出充要條件若該方程的一個根在區(qū)間內(nèi)，另一個根在區(qū)間（k3，k4）內(nèi)（k2