霍佳震， 李貴萍， 段永瑞

(同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200092)

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部分延遲訂購(gòu)的易變質(zhì)品聯(lián)合定價(jià)與生產(chǎn)策略

霍佳震， 李貴萍， 段永瑞

(同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200092)

構(gòu)建了一個(gè)需求同時(shí)依賴于銷售價(jià)格和庫(kù)存水平，生產(chǎn)率和變質(zhì)率均為常數(shù)，允許缺貨且缺貨量部分延遲訂購(gòu)的易變質(zhì)品聯(lián)合定價(jià)與生產(chǎn)控制模型。首先證明了在銷售價(jià)格給定的情況下，系統(tǒng)的總利潤(rùn)函數(shù)是關(guān)于生產(chǎn)計(jì)劃的嚴(yán)格凹函數(shù)，平均利潤(rùn)函數(shù)是嚴(yán)格的偽凹函數(shù)，即存在唯一的最優(yōu)解，并給出其充分條件。接著給出問(wèn)題的一個(gè)數(shù)值求解算法。最后通過(guò)算例，展示了模型及相關(guān)算法的應(yīng)用，并對(duì)相關(guān)參數(shù)進(jìn)行了靈敏度分析，結(jié)果顯示：當(dāng)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本、缺貨成本和機(jī)會(huì)成本增加時(shí)，系統(tǒng)的平均利潤(rùn)將下降；生產(chǎn)成本和延遲訂購(gòu)阻力系數(shù)對(duì)最優(yōu)定價(jià)和生產(chǎn)策略以及平均利潤(rùn)的影響較大。

供應(yīng)鏈管理；聯(lián)合定價(jià)與生產(chǎn)策略；非線性規(guī)劃；易變質(zhì)品；部分延遲訂購(gòu)

0 引言

在庫(kù)存控制模型中，需求模型的構(gòu)建是重中之重。構(gòu)建的需求模型能否有效地反映現(xiàn)實(shí)情況，是考查所構(gòu)建的庫(kù)存模型準(zhǔn)確與否和所提出的最優(yōu)控制策略是否有效的重要指標(biāo)。如Lau和Lau[1]所述，在很多情況下，需求上的微小變化可能會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)庫(kù)存決策上很大的不同。因此，不同的需求模型所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略也會(huì)有很大差異。事實(shí)上，影響需求的因素多種多樣，有服務(wù)水平、廣告投入、產(chǎn)品質(zhì)量、品牌、價(jià)格、時(shí)間、營(yíng)銷策略等等。經(jīng)典的確定性庫(kù)存模型多假設(shè)產(chǎn)品的需求率為常數(shù)或與時(shí)間變化相關(guān)。然而，我們注意到，現(xiàn)實(shí)生活中有一類商品的需求受庫(kù)存水平的影響，如日常生活中常見(jiàn)的果蔬、面包等，以及節(jié)日的禮品(如端午的粽子、中秋的月餅等)和快銷時(shí)尚品(如ZARA、優(yōu)衣庫(kù)等時(shí)裝品牌)等生命周期較短的易變質(zhì)品，較高的庫(kù)存水平能夠帶來(lái)較大的需求。針對(duì)這一現(xiàn)象，Levin等[2]提出“需求受庫(kù)存水平影響”的觀點(diǎn)。此后，很多學(xué)者研究了此類物品的庫(kù)存優(yōu)化問(wèn)題。Chung等[3]研究了當(dāng)商品的需求受庫(kù)存水平線性影響、變質(zhì)率為常數(shù)，缺貨量完全延遲訂購(gòu)和完全損失兩種情況下的庫(kù)存系統(tǒng)，分別給出系統(tǒng)存在唯一最優(yōu)解的充分必要條件。Teng等[4]構(gòu)建了需求率與庫(kù)存水平相關(guān)，變質(zhì)率為常數(shù)，不允許缺貨且期末庫(kù)存水平不為零的EOQ模型。Hou[5]在需求與庫(kù)存水平線性相關(guān)，變質(zhì)率為常數(shù)，允許缺貨且短缺量完全延遲訂購(gòu)的假設(shè)基礎(chǔ)上，建立了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)考慮通貨膨脹與資金時(shí)間成本的易變質(zhì)品庫(kù)存模型。Duan等[6]假設(shè)需求依賴于庫(kù)存水平，變質(zhì)率為常數(shù)，按照持有庫(kù)存是否有利，在不同的條件下分別構(gòu)建了不允許缺貨和允許缺貨且缺貨量部分延遲訂購(gòu)情況下的易變質(zhì)品庫(kù)存模型。Urban[7]給出了一個(gè)需求依賴于庫(kù)存水平的相關(guān)文獻(xiàn)綜述。

眾所周知，產(chǎn)品的需求在很大程度上受到銷售價(jià)格的影響，通常價(jià)格越高，需求會(huì)越??；反之，則越大。在日常生活中，我們常常觀察發(fā)現(xiàn)，物品的大量擺放往往跟產(chǎn)品的促銷和降價(jià)相關(guān)聯(lián)。比如，面對(duì)各大超市或賣場(chǎng)的促銷活動(dòng)，以及農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)上整車的蔬菜和水果的販賣，消費(fèi)者的第一反應(yīng)就是便宜，因此會(huì)招來(lái)大量顧客前來(lái)詢問(wèn)或購(gòu)買。因此，同時(shí)考慮物品的庫(kù)存水平和銷售價(jià)格對(duì)需求的影響具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。Urban和Baker[8]假設(shè)產(chǎn)品需求與價(jià)格、時(shí)間和庫(kù)存水平同時(shí)相關(guān)，在不考慮系統(tǒng)缺貨的情況下，構(gòu)建了相關(guān)庫(kù)存模型。Datta和Paul[9]分析了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)需求同時(shí)受庫(kù)存水平和銷售價(jià)格影響且不允許缺貨的庫(kù)存系統(tǒng)。Hou和Lin[10]考慮通貨膨脹和貨幣的時(shí)間價(jià)值，假設(shè)產(chǎn)品的變質(zhì)服從指數(shù)分布，需求同時(shí)受庫(kù)存水平和價(jià)格的影響，缺貨量完全延遲訂購(gòu)，構(gòu)建了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)的庫(kù)存模型。You和Hsieh[11]考慮企業(yè)在有限的計(jì)劃時(shí)域內(nèi)銷售季節(jié)性產(chǎn)品的情況，假設(shè)需求與庫(kù)存水平和產(chǎn)品價(jià)格同時(shí)相關(guān)，并且在有限的時(shí)域內(nèi)允許多次價(jià)格變化，構(gòu)建了一個(gè)不允許缺貨的聯(lián)合定價(jià)和庫(kù)存控制模型。沿襲經(jīng)典EOQ模型的假設(shè)，以上模型均采用缺貨時(shí)短缺量要么完全損失要么完全延遲訂購(gòu)的假設(shè)。如此假設(shè)的優(yōu)點(diǎn)是可以簡(jiǎn)化模型，著重分析關(guān)鍵因素對(duì)最優(yōu)策略的影響；缺點(diǎn)是忽略了一些現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象，沒(méi)有很好地反應(yīng)真實(shí)的庫(kù)存系統(tǒng)。現(xiàn)實(shí)中，當(dāng)缺貨發(fā)生時(shí)通常有一些顧客愿意等待直到下一次補(bǔ)貨到達(dá)，而另外一些顧客因?yàn)椴辉敢獾却ふ覄e的商家購(gòu)買，即“部分延遲訂購(gòu)”。然而，當(dāng)考慮部分延遲訂購(gòu)的情況時(shí)，庫(kù)存系統(tǒng)的成本構(gòu)成中將增加由延遲訂購(gòu)的需求部分引起的缺貨成本和因損失銷售部分帶來(lái)的機(jī)會(huì)成本，從而增加模型構(gòu)建的復(fù)雜性以及在最優(yōu)解的存在性及唯一性等數(shù)學(xué)證明上的困難性。

在產(chǎn)品價(jià)格保持不變的情況下，考慮到顧客大多不愿意等待的這種心理狀態(tài)，Abad[12]提出缺貨時(shí)的部分延遲訂購(gòu)率與顧客等待時(shí)間負(fù)相關(guān)的觀點(diǎn)，同時(shí)給出了兩種不同形式的部分延遲訂購(gòu)率：一種是等待時(shí)間的負(fù)指數(shù)函數(shù)K0e-K1τ；另一種是等待時(shí)間線性函數(shù)的倒數(shù)K0/(1+τK1)，其中τ為等待時(shí)間，且滿足τ>0,00。后來(lái)，很多學(xué)者在研究庫(kù)存策略時(shí)采用這兩種部分延遲訂購(gòu)率。Abad[13]考慮了一個(gè)同時(shí)決定產(chǎn)品定價(jià)和訂購(gòu)策略的庫(kù)存模型，假設(shè)需求是關(guān)于銷售價(jià)格的減函數(shù)，物品的變質(zhì)率是與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)，允許缺貨且缺貨量部分延遲訂購(gòu)，部分延遲訂購(gòu)率是關(guān)于等待時(shí)間的減函數(shù)，但該模型忽略了缺貨成本和由喪失銷售而帶來(lái)的機(jī)會(huì)成本。Dye[14]進(jìn)一步考慮缺貨成本和機(jī)會(huì)成本，構(gòu)建了一個(gè)需求與價(jià)格相關(guān)、變質(zhì)率與時(shí)間相關(guān)、部分延遲訂購(gòu)率是等待時(shí)間線性函數(shù)的倒數(shù)情況下的聯(lián)合定價(jià)與庫(kù)存控制模型。Papachristos和Skouri[15]假設(shè)需求率是關(guān)于價(jià)格的連續(xù)非負(fù)遞減凸函數(shù)，變質(zhì)服從兩參數(shù)的Weibull分布，缺貨量部分延遲訂購(gòu)且延遲訂購(gòu)率是等待時(shí)間線性函數(shù)的倒數(shù)，在考慮數(shù)量折扣的基礎(chǔ)上建立庫(kù)存模型。Hsieh和Dye[16]考慮通貨膨脹的影響，假設(shè)需求與時(shí)間和價(jià)格同時(shí)相關(guān)并且允許對(duì)價(jià)格進(jìn)行周期性上下調(diào)整，常數(shù)變質(zhì)率，部分延遲訂購(gòu)率與顧客等待時(shí)間相關(guān)，構(gòu)建了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)易變質(zhì)品的定價(jià)和訂購(gòu)模型?？梢园l(fā)現(xiàn)，在這些考慮了缺貨量部分延遲訂購(gòu)的定價(jià)和庫(kù)存控制聯(lián)合決策模型中，均假設(shè)需求與價(jià)格或時(shí)間相關(guān)，卻忽略了庫(kù)存水平對(duì)需求的影響。然而如開(kāi)篇所述，對(duì)于某類易變質(zhì)品來(lái)說(shuō)除了價(jià)格對(duì)需求的影響以外，庫(kù)存水平的高低對(duì)其需求也有著重要的影響。因此將庫(kù)存水平對(duì)需求的影響考慮在內(nèi)會(huì)使模型更貼近現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)。

此外，可以發(fā)現(xiàn)上述相關(guān)研究均集中在關(guān)于產(chǎn)品訂購(gòu)的庫(kù)存控制問(wèn)題上，很少涉及到生產(chǎn)問(wèn)題。Abad[17]構(gòu)建了一個(gè)生產(chǎn)率與變質(zhì)率均為常數(shù)的易變質(zhì)品定價(jià)和生產(chǎn)聯(lián)合決策模型，其中考慮了缺貨量部分延遲訂購(gòu)的情況，但在其成本構(gòu)成中并未考慮缺貨成本和機(jī)會(huì)成本，同時(shí)需求僅與價(jià)格相關(guān)。Teng和Chang[18]也針對(duì)易變質(zhì)品提出了一個(gè)生產(chǎn)率和變質(zhì)率均為常數(shù)的聯(lián)合定價(jià)和生產(chǎn)模型，雖然假設(shè)產(chǎn)品的需求與庫(kù)存水平和價(jià)格同時(shí)相關(guān)，但系統(tǒng)不允許缺貨。綜上，鑒于理論研究的空缺和現(xiàn)實(shí)情況的需要，本文同時(shí)將需求受價(jià)格和庫(kù)存水平影響以及缺貨量部分延遲訂購(gòu)的情況考慮在內(nèi)，構(gòu)建了一個(gè)易變質(zhì)品的聯(lián)合定價(jià)與生產(chǎn)模型。模型假設(shè)產(chǎn)品以固定的生產(chǎn)率進(jìn)行生產(chǎn)，變質(zhì)服從指數(shù)分布，即變質(zhì)率為常數(shù)，需求與庫(kù)存水平和銷售價(jià)格同時(shí)相關(guān)，系統(tǒng)允許缺貨且部分延遲訂購(gòu)率是顧客等待時(shí)間的負(fù)指數(shù)函數(shù)。進(jìn)一步，證明了模型解的存在性，并提出相應(yīng)的數(shù)值求解算法，最后通過(guò)算例，展示了模型和算法的應(yīng)用，并對(duì)主要參數(shù)進(jìn)行了相關(guān)的靈敏度分析。

1 模型

這一部分包括三個(gè)小節(jié)，1.1小節(jié)主要介紹構(gòu)建模型時(shí)用到的相關(guān)假設(shè)和符號(hào)表示；1.2小節(jié)是關(guān)于聯(lián)合定價(jià)與生產(chǎn)模型的構(gòu)建；1.3小節(jié)是關(guān)于所構(gòu)建模型的最優(yōu)解分析。

1.1 假設(shè)與符號(hào)表示

(1)計(jì)劃時(shí)域無(wú)限且系統(tǒng)的訂貨提前期為零。

(2)I(t) 表示在t∈[0,T+λ]時(shí)刻的庫(kù)存水平。T(T≥0)表示在生產(chǎn)周期內(nèi)庫(kù)存水平為非負(fù)的時(shí)間段長(zhǎng)度；λ(λ≥0)表示庫(kù)存水平為負(fù)，即缺貨情況下的時(shí)間段長(zhǎng)度；γ和ψ表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)中間過(guò)渡的時(shí)間段，如圖1所示。其中，T和λ為決策變量。

(3)需求率是關(guān)于銷售價(jià)格p和即時(shí)庫(kù)存水平I(t)的函數(shù)，表示為：

其中，α(p)是關(guān)于銷售價(jià)格p的任意非負(fù)減函數(shù)；β(0<β<1)是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，表示受庫(kù)存水平影響的產(chǎn)品需求率參數(shù)。

(4)產(chǎn)品的變質(zhì)率為常數(shù)，表示為θ(0<θ<1)。

(5)產(chǎn)品的生產(chǎn)率K有限且為常數(shù)，滿足K>D(p,I(t))+θI(t)。

(6)系統(tǒng)允許缺貨且缺貨量部分延遲訂購(gòu)。部分延遲訂購(gòu)率與等待時(shí)間相關(guān)，滿足B(τ)=K0e-K1τ,0

(7)Q表示一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)的總生產(chǎn)量；A表示每個(gè)生產(chǎn)周期的生產(chǎn)準(zhǔn)備成本；cp表示單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，ch表示單位產(chǎn)品單位時(shí)間的庫(kù)存持有成本，cd表示單位變質(zhì)產(chǎn)品的處理成本，cs表示單位產(chǎn)品單位時(shí)間的缺貨成本；co表示損失單位銷售導(dǎo)致的機(jī)會(huì)成本；TP表示一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)庫(kù)存系統(tǒng)的總利潤(rùn)；AP表示單位時(shí)間的平均利潤(rùn)。

1.2 模型構(gòu)建

圖1所示為一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)系統(tǒng)的庫(kù)存水平隨時(shí)間的變化趨勢(shì)。假設(shè)生產(chǎn)從t=0時(shí)刻開(kāi)始，此時(shí)系統(tǒng)的庫(kù)存水平為I(0)=0。隨著生產(chǎn)的進(jìn)行，庫(kù)存在滿足當(dāng)時(shí)的需求和變質(zhì)后開(kāi)始累積，在t=γ時(shí)刻庫(kù)存水平達(dá)到最高，停止生產(chǎn)。接著，由于需求和變質(zhì)的共同作用，庫(kù)存水平逐漸下降，在t=T時(shí)刻庫(kù)存水平下降到0，即I(T)=0。此后，系統(tǒng)處于缺貨狀態(tài)，庫(kù)存水平為負(fù)并繼續(xù)下降，經(jīng)過(guò)時(shí)間段ψ，在t=T+ψ時(shí)刻，庫(kù)存缺貨水平達(dá)到最大。這時(shí)生產(chǎn)重新開(kāi)始，到t=T+λ時(shí)刻，累積的缺貨量以及現(xiàn)有的需求全部被滿足，庫(kù)存水平再次達(dá)到0，即I(T+λ)=0。

通過(guò)以上描述，庫(kù)存水平I(t)關(guān)于時(shí)間的變化可以用下列微分方程來(lái)描述，其中α和α(p)等價(jià)。

當(dāng)t∈[0,γ]，庫(kù)存水平I(t)滿足：

(1)

已知邊界條件I(0)=0，求解微分方程(1)得：

(2)

圖1 補(bǔ)貨周期內(nèi)庫(kù)存水平隨時(shí)間變化的趨勢(shì)圖

當(dāng)t∈[γ,T]，庫(kù)存水平I(t)滿足：

(3)

已知邊界條件I(T)=0，求解微分方程(3)得：

(4)

由(2)和(4)有：

求解得：

(5)

從T時(shí)刻開(kāi)始系統(tǒng)發(fā)生缺貨，假設(shè)對(duì)于未滿足的需求，采用“先到先得”的原則，即先到的需求在有貨時(shí)將先被滿足。如圖1所示，在時(shí)間段[T,T+ψ]內(nèi)沒(méi)有進(jìn)行生產(chǎn)，只有延遲訂購(gòu)的需求，所以當(dāng)t∈[T,T+ψ]時(shí)，等待時(shí)間為τ=(T+ψ)-t-I(t)/K。在t=T+ψ時(shí)刻生產(chǎn)重新開(kāi)始，所以當(dāng)t∈[T+ψ,T+λ]時(shí)，顧客的等待時(shí)間為τ=-I(t)/K。

因此，當(dāng)t∈[T,T+ψ]，庫(kù)存水平I(t)滿足：

(6)

已知邊界條件I(T)=0，求解微分方程(6)得：

(7)

由(7)可得：

(8)

當(dāng)t∈[T+ψ,T+λ]，庫(kù)存水平I(t)滿足：

(9)

以(8)式為邊界條件，得

(10)

將I(T+λ)=0代入(10)，有：

(11)

求解(11)得到：

(12)

此外，由于系統(tǒng)只在時(shí)間段[0,γ]和[T+ψ,T+λ]內(nèi)以常數(shù)生產(chǎn)率K進(jìn)行生產(chǎn)，因此，一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)系統(tǒng)的總生產(chǎn)量為：

Q=K[γ+(λ-ψ)]

(13)

綜上可知，系統(tǒng)利潤(rùn)的各構(gòu)成要素分別為：

(1)生產(chǎn)準(zhǔn)備成本=A

因此，系統(tǒng)一個(gè)周期內(nèi)的總利潤(rùn)為：

(14)

那么，系統(tǒng)的平均利潤(rùn)為：

(15)

1.3 最優(yōu)解分析

系統(tǒng)的目的是確定最優(yōu)的T、λ和p，使系統(tǒng)的平均利潤(rùn)AP(T,λ,p)達(dá)到最大?？芍到y(tǒng)的平均利潤(rùn)((15)式)存在最優(yōu)解的必要條件是：

(16)

(17)

(18)

首先討論銷售價(jià)格p預(yù)先給定的情況，該情況適用于生產(chǎn)者不能隨意制定產(chǎn)品價(jià)格的情形，比如生產(chǎn)者處于競(jìng)爭(zhēng)激烈的市場(chǎng)中時(shí)，產(chǎn)品的銷售價(jià)格是由市場(chǎng)決定的。此時(shí)分別用TP(T,λ|p)和AP(T,λ|p)表示(14)和(15)式給出的系統(tǒng)總利潤(rùn)和平均利潤(rùn)。有如下結(jié)論：

定理1 對(duì)于任意給定的銷售價(jià)格p，如果β(p-cp)-θ(cp+cd)-ch<0，那么TP(T,λ|p)((14)式)是關(guān)于T和λ的嚴(yán)格凹函數(shù)。

證明見(jiàn)附錄。

定理1中的條件β(p-cp)-θ(cp+cd)-ch<0等價(jià)于β(p-cp)<θ(cp+cd)+ch，從管理角度來(lái)看，其中β(p-cp)可理解為從持有單位庫(kù)存獲取的收益，而θ(cp+cd)+ch可看作是持有單位庫(kù)存需要付出的成本。因此，如果β(p-cp)-θ(cp+cd)-ch<0，說(shuō)明持有單位庫(kù)存帶來(lái)的收益要小于需要付出的成本，那么此時(shí)允許缺貨策略對(duì)系統(tǒng)將是有益的。因此，該條件是模型成立的前提。

定理2 如果TP(T,λ|p)((14)式)是關(guān)于T和λ的嚴(yán)格凹函數(shù)，那么AP(T,λ|p)((15)式)是關(guān)于T和λ的嚴(yán)格偽凹函數(shù)。

由定理1和定理2可知，對(duì)于任意給定的p，當(dāng)滿足β(p-cp)-θ(cp+cd)-ch<0時(shí)，平均利潤(rùn)AP(T,λ|p)((15)式)存在唯一的全局最大值，最大值點(diǎn)可以通過(guò)求解由(16)和(17)構(gòu)成的方程組得到。

接下來(lái)討論給定T和λ，銷售價(jià)格p為決策變量的情況。此時(shí)用AP(T,λ|p)表示(15)式所示的平均利潤(rùn)。由于函數(shù)的復(fù)雜性，很難從解析角度證明AP(p|T,λ)是關(guān)于p的凹函數(shù)，但由p>cp和β(p-cp)-θ(cp+cd)-ch<0可得，cp

雖然招標(biāo)投標(biāo)活動(dòng)程序完備，但因投標(biāo)單位數(shù)量過(guò)多造成一定的混亂，嚴(yán)重影響投標(biāo)秩序。對(duì)于一個(gè)投資不大、規(guī)模較小的建設(shè)項(xiàng)目來(lái)說(shuō)，多家單位競(jìng)爭(zhēng)致使中標(biāo)率低，有的甚至只有2%，這就造成了很多單位和個(gè)人在估計(jì)自己不中標(biāo)的情況下，抱著惡意競(jìng)標(biāo)、渾水摸魚、攪亂市場(chǎng)的心態(tài)參加投標(biāo)，給招標(biāo)投標(biāo)市場(chǎng)制造了一定的混亂。

為了求解系統(tǒng)最優(yōu)的聯(lián)合定價(jià)和生產(chǎn)策略，即確定最優(yōu)的T、λ和p，使系統(tǒng)的平均利潤(rùn)AP(T,λ,p)((15)式)最大化，根據(jù)以上分析與結(jié)論我們?cè)谙乱还?jié)給出了一個(gè)求解模型最優(yōu)解的數(shù)值算法。

2 算法

第1步 令p=pi并從i=1開(kāi)始，即令p=pi作為初始值，且cp

第2步 對(duì)于任意給定的p=pi，運(yùn)用MATLAB中的FSOLVE函數(shù)或牛頓法，求解由(16)和(17)構(gòu)成的方程組，將結(jié)果標(biāo)記為(Ti,λi)；

第3步 令(T,λ)=(Ti,λi)，用二分法求解(18)式，將求解結(jié)果標(biāo)記為pi+1；

第4步 分別計(jì)算AP(Ti,λi,pi)和AP(Ti,λi,pi+1)，標(biāo)記為AP1和APi+1并進(jìn)行比較。如果滿足AP(Ti,λi,pi)≥AP(Ti,λi,pi+1)，那么最優(yōu)解為(T*,λ*,p*)=(Ti,λi,pi)；否則，令i=i+1，返回第2步。

第5步 將最優(yōu)解(T*,λ*,p*)代入(13)式，可得到一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)量。

3 算例分析

這一部分主要展示所提出的模型和算法的具體數(shù)值應(yīng)用，以及一些主要參數(shù)的靈敏度分析，算法通過(guò)MATLAB來(lái)實(shí)現(xiàn)。

考慮一個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)，相關(guān)參數(shù)取值分別為：α(p)=1.6×108p-3件，β=0.4，θ=0.3，K=50000件，A=250元，cp=25元/件，ch=5元/件/天，cd=1元/件，cs=3元/件/天，co=3.5元/件，K0=0.9，K1=0.6。

表1 算例的迭代過(guò)程和計(jì)算結(jié)果

接下來(lái)研究相關(guān)參數(shù)的靈敏度，保持其它參數(shù)的取值不變，每次僅改變指定參數(shù)的取值。計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 相關(guān)參數(shù)的靈敏度分析

觀察表2，容易得到以下結(jié)論：

(1)隨著β的增大，最優(yōu)銷售價(jià)格p*、最優(yōu)庫(kù)存持有時(shí)間T*、最優(yōu)缺貨時(shí)間λ*以及系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)周期T*+λ*、最優(yōu)生產(chǎn)量Q*均逐漸增大，而平均利潤(rùn)AP*逐漸減小。這是因?yàn)楫?dāng)β增大時(shí)，單位庫(kù)存帶來(lái)的需求也將增加，所以需要生產(chǎn)更多的產(chǎn)品以提高庫(kù)存水平，即最優(yōu)生產(chǎn)量Q*將增大，因而最優(yōu)庫(kù)存持有時(shí)間T*也將增加，整個(gè)生產(chǎn)周期也隨之增大，從而導(dǎo)致平均利潤(rùn)下降。結(jié)果表明當(dāng)產(chǎn)品的需求受庫(kù)存水平影響較大時(shí)，管理者采用增加生產(chǎn)量、提高銷售價(jià)格的管理策略是有利的。

(2)隨著變質(zhì)率θ、庫(kù)存持有成本ch和變質(zhì)處理成本cd的增大，最優(yōu)銷售價(jià)格p*、最優(yōu)庫(kù)存持有時(shí)間T*、最優(yōu)缺貨時(shí)間λ*以及系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)周期T*+λ*、最優(yōu)生產(chǎn)量Q*均逐漸減小，而平均利潤(rùn)AP*逐漸增大。當(dāng)產(chǎn)品的變質(zhì)率、變質(zhì)處理成本或庫(kù)存持有成本較大時(shí)，越多的庫(kù)存將引起越大的變質(zhì)成本或庫(kù)存持有成本，因此需要減少產(chǎn)品的生產(chǎn)量，并通過(guò)降低銷售價(jià)格來(lái)增加需求量，使產(chǎn)品盡可能快的銷售出去，從而持有庫(kù)存的時(shí)間將縮短，平均利潤(rùn)將增大。也就是說(shuō)，當(dāng)持有產(chǎn)品的成本(包括變質(zhì)成本和持有成本)較大時(shí)，管理者應(yīng)采用減少庫(kù)存量同時(shí)降低銷售價(jià)格的策略。

(3)隨著生產(chǎn)準(zhǔn)備成本A的增大，最優(yōu)銷售價(jià)格p*和平均利潤(rùn)AP*逐漸增大，但最優(yōu)庫(kù)存持有時(shí)間T*、最優(yōu)缺貨時(shí)間λ*以及系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)周期T*+λ*和最優(yōu)生產(chǎn)量Q*均逐漸減小。當(dāng)生產(chǎn)準(zhǔn)備成本較大時(shí)，產(chǎn)品的銷售價(jià)格相應(yīng)也會(huì)增加，因此，需求將下降，從而需要減少生產(chǎn)量，縮短庫(kù)存持有時(shí)間。但可以看出最優(yōu)定價(jià)和生產(chǎn)策略以及平均利潤(rùn)對(duì)生產(chǎn)準(zhǔn)備成本的變化的敏感度較差。

(4)隨著生產(chǎn)成本cp的增大，最優(yōu)銷售價(jià)格p*逐漸增大，但最優(yōu)庫(kù)存持有時(shí)間T*、最優(yōu)缺貨時(shí)間λ*以及系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)周期T*+λ*、最優(yōu)生產(chǎn)量Q*和平均利潤(rùn)AP*均逐漸減小。與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)相一致，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本越高，其最優(yōu)銷售價(jià)格也越高，從而導(dǎo)致需求下降，最優(yōu)生產(chǎn)量減少，最優(yōu)生產(chǎn)周期縮短、系統(tǒng)的平均利潤(rùn)下降。需要特別注意的是，最優(yōu)定價(jià)和生產(chǎn)策略以及最優(yōu)平均利潤(rùn)對(duì)生產(chǎn)成本的變化非常敏感。

(5)隨著缺貨成本cs和機(jī)會(huì)成本co的增大，最優(yōu)庫(kù)存持有時(shí)間T*、最優(yōu)缺貨時(shí)間λ*、最優(yōu)生產(chǎn)周期T*+λ*、最優(yōu)生產(chǎn)量Q*均逐漸增大，但平均利潤(rùn)AP*逐漸減小。當(dāng)缺貨成本和機(jī)會(huì)成本較大時(shí)，系統(tǒng)需要通過(guò)生產(chǎn)較多的產(chǎn)品來(lái)將由缺貨帶來(lái)的損失降到最低。此外，最優(yōu)定價(jià)和生產(chǎn)策略以及平均利潤(rùn)對(duì)缺貨成本和機(jī)會(huì)成本的變化較敏感。

(6)隨著延遲訂購(gòu)阻力系數(shù)K1的增大，最優(yōu)庫(kù)存持有時(shí)間T*、最優(yōu)缺貨時(shí)間λ*、最優(yōu)生產(chǎn)周期T*++λ*、最優(yōu)生產(chǎn)量Q*均逐漸減小，但平均利潤(rùn)AP*逐漸增大。此外，延遲訂購(gòu)阻力系數(shù)的變化對(duì)最優(yōu)生產(chǎn)策略和平均利潤(rùn)的影響較大，而對(duì)最優(yōu)定價(jià)的影響很小。因此，對(duì)于延遲訂購(gòu)系數(shù)不同的產(chǎn)品或銷售群體，其對(duì)應(yīng)的定價(jià)和生產(chǎn)策略也將有很大差異，需要引起生產(chǎn)管理者的注意。

4 結(jié)論

對(duì)于生命周期較短的易變質(zhì)品來(lái)說(shuō)，如果蔬、面包、節(jié)日禮品和快銷時(shí)尚品等，其需求不僅受價(jià)格的影響而且與庫(kù)存水平相關(guān)。另外，對(duì)于此類商品，缺貨發(fā)生時(shí)有些顧客愿意接受延遲交付，而有些不愿意，即適用于“部分延遲訂購(gòu)”的情況。然而，已有文獻(xiàn)中卻沒(méi)有考慮過(guò)有關(guān)這一現(xiàn)象的生產(chǎn)系統(tǒng)。鑒于此，針對(duì)以上描述的系統(tǒng)，本文考慮了一個(gè)易變質(zhì)品的聯(lián)合定價(jià)與生產(chǎn)決策問(wèn)題，在理論上填補(bǔ)了這一空白。具體假設(shè)產(chǎn)品以固定的生產(chǎn)率進(jìn)行生產(chǎn)，以固定的變質(zhì)率發(fā)生變質(zhì)，需求同時(shí)受產(chǎn)品銷售價(jià)格和庫(kù)存水平的影響，系統(tǒng)允許缺貨，當(dāng)缺貨發(fā)生時(shí)短缺量部分延遲訂購(gòu)。進(jìn)一步在系統(tǒng)的成本結(jié)構(gòu)中增加了缺貨成本和因損失銷售而引起的機(jī)會(huì)成本，構(gòu)建相應(yīng)模型使其成本構(gòu)成更加完善，也由此進(jìn)一步增加了模型構(gòu)建的復(fù)雜性和數(shù)學(xué)證明上的困難性。針對(duì)這一難點(diǎn)，本文運(yùn)用數(shù)學(xué)和算例相結(jié)合的方法給出了相關(guān)證明，得出當(dāng)產(chǎn)品的銷售價(jià)格給定時(shí)，當(dāng)參數(shù)滿足一定條件時(shí)，系統(tǒng)存在最優(yōu)的生產(chǎn)策略使系統(tǒng)的平均利潤(rùn)達(dá)到最大。接著給出了一個(gè)求解系統(tǒng)最優(yōu)生產(chǎn)和定價(jià)聯(lián)合策略的數(shù)值算法，可為生產(chǎn)者提供決策上的支持和幫助。最后通過(guò)算例，展示了模型和算法的應(yīng)用并對(duì)相關(guān)參數(shù)的靈敏度進(jìn)行了分析，得到一些有用的關(guān)于定價(jià)與生產(chǎn)管理的結(jié)論，為生產(chǎn)者提供了一些相關(guān)的管理建議。此外，本文的研究還存在一定的不足，比如假設(shè)產(chǎn)品的生產(chǎn)率和變質(zhì)率均為常數(shù)，而現(xiàn)實(shí)中，產(chǎn)品的生產(chǎn)率可能會(huì)根據(jù)產(chǎn)品的季節(jié)需求或庫(kù)存水平進(jìn)行調(diào)整，而產(chǎn)品的變質(zhì)率也會(huì)隨時(shí)間發(fā)生變化。這些都是需要在未來(lái)研究中改進(jìn)的地方。另外，允許產(chǎn)品的價(jià)格在銷售周期內(nèi)動(dòng)態(tài)變化的情況也是未來(lái)的研究方向之一。

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Joint Pricing and Production Policy for Deterioration Items with Partial Backlogging

HUO Jia-zhen, LI Gui-ping, DUAN Yong-rui

(SchoolofEconomicsandManagement,TongjiUniversity,Shanghai200092,China)

In this paper, we develop a joint pricing and production model for deterioration items in which we assume that the demand rate is dependent both on the selling price and the inventory level, the production rate and the deterioration rate are known and constant and the unmet demand is partial backlogged in the shortage period. We first prove that for any given selling price, the total profit function is strictly concave, and the average profit function is strictly pseudo-concave, that is, there exists the unique and optimal solution to the problem, and the sufficient condition is also presented. Then an algorithm is proposed to obtain the optimal solution of the problem. At last, we give a numerical example to illustrate the application of the model and algorithm proposed, and then we also conduct the sensitivity analysis on the parameters. The results show that when the production cost, the shortage cost and the opportunity cost of items increase, the average profit of system will decrease. The optimal pricing-production policy and the average profit are highly sensitive to the production cost and the backordering resistance.

supply chain management; joint pricing and production policy; nonlinear programming; deterioration items; partial backlogging

2012-12-19

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71002020，71371139，71371140);上海浦江人才計(jì)劃(12PJC069);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金

霍佳震(1962-)，男，上海，博士，教授，研究方向：供應(yīng)鏈管理與服務(wù)運(yùn)作管理等。

F253.4

A

1007-3221(2015)01- 0255- 08