黃黎

摘 要 通過將方程組與

矩陣、方程與行的比較，由方程組的消元法得出矩陣的初等行變換，而線性代數(shù)中大多數(shù)情況下實(shí)施初等行變換可以解決所遇到的問題。從舊知識(shí)中發(fā)現(xiàn)新的觀點(diǎn)，來適應(yīng)計(jì)算機(jī)時(shí)代的發(fā)展。

關(guān)鍵詞 方程組 矩陣 消元法 初等行變換

中圖分類號(hào)：O151.21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2015）13-0001-02

線性方程組的消元法思想貫穿于整個(gè)線性代數(shù)的教學(xué)過程中。由于很多教材在安排的過程中將矩陣內(nèi)容安排在第二章，矩陣的初等變換與線性方程組安排在第三章，同時(shí)先講矩陣的初等變換，后講解線性方程組。這樣的安排很難突出消元法的重要地位以及方程組的矩陣寫法。

經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐，我們直接引入線性方程組的消元法并將方程組寫成矩陣的形式。此時(shí)再通過形式上來比較消元法與矩陣的初等變換，就不難發(fā)現(xiàn)它們兩者之間的關(guān)系：對(duì)象不同，思想一樣。為了突出消元法的思想，以一個(gè)簡(jiǎn)單的二元一次方程組為例，這樣可以避免兩個(gè)問題：1.學(xué)生將解方程組的重心放在數(shù)的處理上面；2.避免使用字母所來的抽象運(yùn)算問題。

一、中學(xué)求解二元一次方程組所用消元法及優(yōu)缺點(diǎn)分析

我們以一個(gè)簡(jiǎn)單的二元一次方程組為例講解。

第一步：將 乘以再減去 得：= ；第二步：再將 式兩邊同時(shí)除以得：y=1；第三步：再將 回代到 得到。于是此方程組的解為。

中學(xué)所教的這種消元法的寫法好處：

（1）書寫比較簡(jiǎn)潔，適合人工計(jì)算；

（2）每次只針對(duì)一個(gè)方程，計(jì)算時(shí)注意力可以更加集中。

缺點(diǎn)：

（1）追求簡(jiǎn)潔的同時(shí)，沒能很好表現(xiàn)出解方程組過程的通解性；

（2）在求解過程中，使用計(jì)算方法比較多（加法、減法、乘法以及回代），文字?jǐn)⑹鲞^多；

（3）沒能體現(xiàn)出方程組的解與字母的關(guān)系，同時(shí)標(biāo)號(hào)需要不斷地變化。

二、大學(xué)所講的高斯消元法優(yōu)缺點(diǎn)

第一步：交換 兩行得；第二步：將 €祝？2）+ 得 ；第三步：將②€祝ǎ┑玫謁牟劍航趢祝ǎ？①。

大學(xué)所講的消元法的優(yōu)點(diǎn)：

（1）保證每次消元后方程組的個(gè)數(shù)沒有減少（直覺），隱含通解變換；

（2）使用的標(biāo)號(hào)只起到標(biāo)示行數(shù)的目的；

（3）包含了消元法所有的思想；

大學(xué)所講的消元法的缺點(diǎn)：

（1）書寫較為繁瑣；

（2）未知數(shù)個(gè)數(shù)在方程上有所減少。

三、直觀的體現(xiàn)矩陣特點(diǎn)的寫法

將2中的第二步寫成 ，將第三步寫成 ，將第四步寫成 ，那么在整個(gè)運(yùn)算過程中，保證了未知數(shù)的個(gè)數(shù)永遠(yuǎn)都沒有變化，變化的只是在每個(gè)位置上的數(shù)字。由此我們可以擺脫未知數(shù)只在乎數(shù)字所在的位置，將含有未知數(shù)的表達(dá)式寫出加法，于是可以將方程組寫成以下形式：

由此矩陣的雛形也就很明顯了，矩陣就是一張簡(jiǎn)化的二維表格（這對(duì)學(xué)生有相當(dāng)?shù)恼鸷常诤?jiǎn)化掉方格，簡(jiǎn)化掉文字后就變成了。

四、大學(xué)所用高斯消元法變換思想到矩陣初等行變換的轉(zhuǎn)換

由3中解方程組所采用的方法歸納出來也就是：

（1）交換兩個(gè)方程的位置，方程組的解不變；

（2）將一個(gè)方程乘以一個(gè)系數(shù)加到另一個(gè)方程組上去，方程組的解不變；

（3）方程組的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)系數(shù)，方程組的解不變。

由上面我們講方程組的形式寫成矩陣的形式，那么矩陣的初等行變換很自然的就可以得出，只需要將方程換成行來說就可以了，于是矩陣的初等行變換就是：

（1）交換兩行；

（2）將一行乘以一個(gè)系數(shù)加到另外一行；

（3）將一行的兩邊同時(shí)乘以一個(gè)系數(shù)。

五、總結(jié)

將方程組與矩陣對(duì)應(yīng)起來，將方程與行對(duì)應(yīng)起來，將方程組的消元法與矩陣的初等行變換對(duì)應(yīng)起來，那么很自然的將以前的知識(shí)與現(xiàn)在的知識(shí)緊密地結(jié)合在一起。如果說以前的方法適合于手工計(jì)算的話，那么進(jìn)入信息時(shí)代，從矩陣的角度來看待方程組更有利于實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的計(jì)算模式。我們的教學(xué)也需要仔細(xì)琢磨，從以人為思考的角度轉(zhuǎn)向以計(jì)算機(jī)思考的角度，畢竟計(jì)算機(jī)與人比起來更機(jī)械，卻也更高效。

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基金項(xiàng)目：貴州省教育廳青年基金項(xiàng)目（黔教科201055）

（責(zé)任編輯 曾 卉）