武巖

線性規(guī)劃是直線方程在實際問題中的應(yīng)用，即通過二元一次不等式組表示的平面區(qū)域來尋求實際問題的最優(yōu)解.在高考線性規(guī)劃問題中，經(jīng)常圍繞以下幾類問題進行考察或展開運用，現(xiàn)舉幾例來說明：

1 線性規(guī)劃問題的常規(guī)求解

常規(guī)的線性規(guī)劃問題求最優(yōu)解，要明確線性規(guī)劃問題求解的基本步驟，即在作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)z的意義的基礎(chǔ)上，通過平移目標(biāo)函數(shù)所在直線，最終尋求最優(yōu)解.

例1 （2015年陜西）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（ ?）.

A.12萬元 B.16萬元 C.17萬元 D.18萬元

甲乙原料限額A（噸）3212B（噸）128

解析 設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x、y噸，則利潤z=3x+4y，

由題意可列3x+2y≤12，

x+2y≤8，

x≥0，

y≥0，該不等式組表示的平面區(qū)域如圖1所示陰影部分：

圖1

易知目標(biāo)函數(shù)z=3x+4y所在直線y=-34x+z4過點A（2，3），即x=2，y=3時，z取得最大值，zmax=3×2+4×3=18，故選D.

實際問題涉及的線性規(guī)劃問題求解，不同于純數(shù)學(xué)形式的線性規(guī)劃問題，尤其最優(yōu)解，要遵循實際問題所在的意義.類似教材中鋼板張數(shù)，人力資源分配，車輛配備等問題要尋求最優(yōu)整數(shù)解等，都不同于一般的數(shù)學(xué)求實數(shù)解問題，這在求解過程中尤其注意.

練習(xí) （2015年天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件x+2≥0，

x-y+3≥0，

2x+y-3≤0，則目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大值為（ ?）.

A.3 ? B.4 ? C.18 ? D.40

（答案C.）

2 線性規(guī)劃問題中的參數(shù)求解

在線性規(guī)劃問題中，常常遇到借助于不等式組，或者目標(biāo)函數(shù)設(shè)置一些參數(shù)，利用已知的目標(biāo)函數(shù)z的最值，來求出參數(shù)值的題目.這類線性規(guī)劃問題的求解，方法上仍要遵循線性規(guī)劃問題的求解步驟，但在求解中涉及到分類討論，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.

例2 （2015年山東）已知x，y滿足約束條件x-y≥0，

x+y≤2，

y≥0. ?若z=ax+y的最大值為4，則a=（ ）.

A.3 ?B.2 ? C.-2 ?D.-3

圖2

解析 由z=ax+y得y=-ax+z，借助圖形2可知：

當(dāng)-a≥1，即a≤-1時，在x=y=0時有最大值0，不符合題意;

當(dāng)0≤-a<1，即-1<a≤0時，在x=y=1時有最大值a+1=4，a=3，不滿足-1<a≤0;

當(dāng)-1<-a≤0，即0<a≤1時，在x=y=1時有最大值a+1=4，a=3，不滿足0<a≤1;當(dāng)-a<-1，即a>1時在x=2，y=0時有最大值2a=4，a=2，滿足a>1;故選B.

本例中參數(shù)a在目標(biāo)函數(shù)所在直線方程中的意義與斜率有關(guān)，即直線的斜率k=-a，故如何利用條件中的函數(shù)最大值4求參數(shù)a成為解題關(guān)鍵，或者說目標(biāo)函數(shù)所在直線經(jīng)過不等式組所示區(qū)域的哪一點取到最大值成為參數(shù)a分類討論的依據(jù).

3 非線性目標(biāo)函數(shù)的最值求解

在線性規(guī)劃問題中，我們常常會遇到一些非線性目標(biāo)函數(shù)的求解問題.

例3 （2015年四川）設(shè)實數(shù)x，y滿足

2x+y≤10，

2+2y≤14，

x+y≥6，

則xy的最大值為（ ?）.

A.252 ?B.492

C.12 ?D.14 ?圖3

解析 不等式所示平面區(qū)域如圖3，

當(dāng)動點（x，y）在線段AC上時，此時2x+y=10，據(jù)基本不等式知道，非線性目標(biāo)函數(shù)z=xy=12（2x·y）≤12（2x+y2）2=252，當(dāng)且僅當(dāng)x=52，y=5時取等號，對應(yīng)點落在線段AC上，故最大值為252，選A.

本例中，目標(biāo)函數(shù)z=xy，借助于直線方程2x+y=10，通過變形xy=12（2x·y）聯(lián)想到不等式2x·y≤（2x+y2）2，從而找到目標(biāo)函數(shù)xy的最優(yōu)解.類似非線性目標(biāo)函數(shù)x2+y2，y-bx-a等形式都要在理解函數(shù)意義的基礎(chǔ)上尋求最優(yōu)解.

練習(xí) （2015年新課標(biāo)卷）若x，y滿足約束條件x-1≥0，

x-y≤0，

x+y-4≤0， 則yx的最大值為 ? .

（答案3.）

4 線性規(guī)劃問題的綜合運用

有些數(shù)學(xué)問題如果轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題會得到簡捷的解法，當(dāng)然這要求對問題有著較深刻的理解，要善于利用轉(zhuǎn)化和劃歸思想轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.

例4 （2015年浙江理科）若實數(shù)滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 ? ?.

解析 條件x2+y2≤1表示圓x2+y2=1及其內(nèi)部，易得直線6-x-3y=0與該圓相離，故|6-x-3y|=6-x-3y，設(shè)函數(shù)z=|2x+y-2|+|6-x-3y|，

當(dāng)2x+y-2≥0時，則x2+y2≤1，

2x+y-2≥0，所示平面區(qū)域如圖4所示，可行域為小的弓形內(nèi)部，易知目標(biāo)函數(shù)z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，

故目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4所在直線y=12x-z2+2過點A（35，45）時z最小，即x=35，y=45時，zmin=4;

圖4

當(dāng)x-2y+4<0時，z=|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y，可行域為大的弓形

內(nèi)部，同理可知目標(biāo)函數(shù)z=8-3x-4y所在直線y=-34x-z4+2過點A（35，45）時z最小，當(dāng)x=35，y=45時，zmin=4.

綜上，|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為3.

本例中，利用直線與圓相離的位置關(guān)系，化簡|6-x-3y|=6-x-3y，再利用分類討論的思想將原來的問題化簡|2x+y-2|+|6-x-3y|為目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4或者z=8-3x-4y，就將較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題從而求解.

總之，在高考試題中，線性規(guī)劃問題的考察經(jīng)常以選擇或填空題的形式進行考察，考察問題也常常圍繞著以上所列舉的對線性規(guī)劃問題的常規(guī)形式、求解不等式組或目標(biāo)函數(shù)中所涉及的參數(shù)、非線性目標(biāo)函數(shù)以及線性規(guī)劃在其他數(shù)學(xué)問題中的運用進行考察，但由于可行域的作圖，最優(yōu)解的尋求容易出錯，這就要求在平時的教學(xué)與學(xué)習(xí)中要重視線性規(guī)劃問題，以便在高考考察中不失分.