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      用“約束條件法”和“公式法”求二階線性微分方程的特解

      2017-10-20 08:48邱法玉
      課程教育研究 2017年37期
      關(guān)鍵詞:特征方程韋達(dá)約束條件

      邱法玉

      【摘要】用本文中的“約束條件法”和“公式法”求二階線性微分方程的特解,能收到既快又準(zhǔn)之效。

      【關(guān)鍵詞】約束條件法 公式法

      【中圖分類號(hào)】G71 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089(2017)37-0126-01

      一、求y"+py'+qy=pm(x)e? x特解y 的“約束條件法”

      我們知道,滿足上述微分方程的特解形式為y =R(x)e? x.將其代入原方程得如下約束條件

      R"(x)+(2? +p)R'(x)+(? 2+p? +q)R(x)=Pm(x).

      (1)當(dāng)? 是特征方程r2+pr+q=0的二重根時(shí),必有? 2+p? +q=0,且由韋達(dá)定理得? +? =-p,此時(shí)約束條件簡(jiǎn)化為;R"(x)=Pm(x);

      (2)當(dāng)? 是特征方程r2+pr+q=0的單根時(shí),必有? 2+p? +q=0,且 2? +p≠0. 此時(shí)約束條件簡(jiǎn)化為R"(x)+(2? +p)R'(x)=Pm(x).

      例1求微分方程y"-6y'+9y=(x+1)e3x的一個(gè)特解。

      解 由于? =3是特征方程r2-6r+9=0的二重根,所以特解形式必為y =R(x)e3x=x2Rm(x)e3x=x2(ax+b)e3x=(ax3+bx2)e3x,

      此時(shí)R(x)=ax3+bx2,且滿足約束條件R"(x)=Pm(x).

      將R'(x)=3ax2+2bx,R"(x)=6ax+2b,Pm(x)=x+1,代入上式得6ax+2b=x+1,

      即a= ,b= ,所求特解y =( x3+ x2)e3x.

      二、求y"+py'+qy=e? x(A cos? +Bsin? )特解y 的“公式法”

      公式1 當(dāng)? ± i是特征方程r2+pr+q=0的根時(shí),特解為

      y =xe cos ? + sin ? .

      證由題設(shè),特解形式y(tǒng) =xe (a cos ? +b sin ? )

      由韋達(dá)定理2? =-p? 2+ 2=q,于是原微分方程變?yōu)?/p>

      y"-2? y'+(? 2+ 2)y=e (A cos ? +B sin ? )

      將所設(shè)特解代入上述變形后的微分方程,整理得

      2b cos? -2a sin? =Acos? +Bsin? ,

      比較系數(shù)得 a= ,b= .

      例2求微分方程y"-2y'+5y=e sin2x的一個(gè)特解。

      解y"-2y'+5y=e sin 2x=e (0·cos 2x+1·sin 2x),

      所以? =1, =2,且A=0,B=1.

      由于? ± i=1±2i是特征方程r2-2r+5=0的根,

      所以特解y =e cos ? + sin ? = xe cos 2x.

      公式2當(dāng)? ± i不是特征方程r2+pr+q=0的根時(shí),特解

      y =e (a cos ? +b sin ? ),且

      a= b=

      證 將所設(shè)特解代入微分方程,整理得

      [a(? - +p? +q)+b(2? +p )]cos ?

      +[-a(2? +p )+b(? - +p? +q)]sin ? =Acos ? +Bsin ? .

      比較系數(shù),得(? - +p? +q)a+(2? +p )b=A-(2? +p )a+(? - +p? +q)b=B

      由行列式即可解得上述結(jié)論。

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