云南省玉溪市峨山縣教科所 靳翠德

數(shù)學(xué)問題，歸根到底是量變問題．在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)迎考中，常常碰到所要解決的許多數(shù)學(xué)問題，在量與量的發(fā)生與發(fā)展變化過程中，有其“不變的量”，若能利用其規(guī)律和特征，作為問題分析與解決的思維主線，往往是我們解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵（或突破口）。

一、“值不變”

“值不變”指在數(shù)學(xué)量變過程中，某量（題設(shè)某種量或變化過程中產(chǎn)生的某種量）的值不變，或變化中的某量的某種特定值不變．

1．某種量的值不變

②正三棱柱ABC—A1B1C1的高為2，AB1與平面ABC所成角為450，則點(diǎn)C到平面ABC1的距離是＿．

分析：①按題意作如圖所示：

∵

②如圖，據(jù)題意得三棱錐—體積不變，即VC1?ABC=VC?ABC1，而與AB1平面ABC所成角為450，

∴AB=BB1=2，取AB的終點(diǎn)為D，則

【點(diǎn)評】①按雙曲線的定義|AF1|?|AF2|，為雙曲線的實(shí)軸長不變，利用勾股定理得解；②三棱錐C1?ABC休積不變，利用“體積換算”而得解．

2.變化的某種量的某值不變

例2（08年云南高中畢業(yè)生復(fù)習(xí)統(tǒng)測（一）9）在三棱錐V-ABC中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，且三個(gè)側(cè)面與底面ABC所成的二面角（銳角）分別為α , β,γ，則cosα + c os β +cos γ等于：

分析：滿足題意的三棱錐是多變的，但側(cè)面與底面所成角的余弦值之和是一個(gè)不變的確定值．而在變化的三棱錐中含正四面體這種特殊情形．所以可選擇正四面體（特殊值法）來計(jì)算解決．如圖：作正四面體V-ABC

設(shè)VO⊥面ABC，垂足為O，連接AO交BC于點(diǎn)D，連接VD，若側(cè)面與底面所成角為θ，則θ=∠ADV．令正四面體的棱長為1，

∴所求值為1，選（A）．

【點(diǎn)評】滿足題意的三棱錐雖是多變的，但各側(cè)面與底面所成角的余弦值之和這一特定值不變，因而選擇符合條件的正四面體這種特殊情形來求解．這種思維方法為我們用特殊值法解選擇題奠定基礎(chǔ)．

二、“性不變”

“性不變”指在數(shù)學(xué)量變過程中，某量的特征性不變，可分為題設(shè)某變量的特征性不變或變化過程中產(chǎn)生的某種量的特征性不變兩類．

1.題設(shè)某變量的特征性不變

分析：無論實(shí)系數(shù)a、b怎樣變化，方程x2+ax+ 2b=0的根，是開口向上的拋物線y=x2+ax+ 2b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)這一特征性不變，而兩根分別在（0，1）與（1，2）內(nèi)．

作出點(diǎn)滿足的可行域?yàn)閘1:b= 0,l2:a+ 2b+ 1 = 0 ,l3:a+b+2 = 0

三線圍成的區(qū)域（如圖，不含邊界）．

2.變化過程中產(chǎn)生的某種量的特征性不變

①4b4?4(a2+b2) (b2?a2b2)＞0，a2(b2+a2?1) ＞0，∴a2+b2＞ 1 (a＞b＞0)

【點(diǎn)評】解決與相交弦有關(guān)的問題，往往利用交點(diǎn)坐標(biāo)（X或Y坐標(biāo)）是將直線方程代入曲線方程而得到的相應(yīng)方程（X或Y的方程）的兩根這一特征性，利用根與系數(shù)的關(guān)系而得解．

三、值與性均不變

應(yīng)用“不變量思維法”解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，始終緊緊抓住“變中的不變量”，利用其“特征性或值不變”作為思維主線，問題將會迎刃而解．有時(shí)這樣的量同時(shí)具備“值與性”均不變的情況．

總之，“不變量思維法”在解題應(yīng)用中思維十分活躍，無論是思維的形式、思維的廣度和深度，都具有鮮明的特點(diǎn)及可適用性，進(jìn)而引發(fā)諸如數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想以及選擇題中特殊值思想方法等，都將體現(xiàn)其中．師生在復(fù)習(xí)迎考中，不妨一試，從中得益．