王東生, 石煥南

(1. 北京電子科技職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部, 北京100026; 2. 北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院 基礎(chǔ)部, 北京 100011)

一個有限和不等式及其應(yīng)用

王東生1, 石煥南2

(1. 北京電子科技職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部, 北京100026; 2. 北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院 基礎(chǔ)部, 北京 100011)

利用積分中值定理得到了涉及單調(diào)函數(shù)的一個有限和不等式, 并且給出了該不等式的若干應(yīng)用.

有限和不等式; 積分中值定理; 單調(diào)函數(shù)

本文首先利用積分中值定理給出涉及單調(diào)函數(shù)的一個有限和不等式, 然后給出該不等式的若干應(yīng)用.

定理設(shè)m, n為正整數(shù), n＞m, 若f(x)在[m-1,+∞)連續(xù)且單調(diào)遞增,, 則

若f(x)遞減, 則不等式(1)反向. 若f(x)是嚴格單調(diào)的, 則不等式是嚴格的.

證明僅就f(x)遞增的情形加以證明.

對于x∈[m,+∞), 有

事實上, 據(jù)積分中值定理, 存在ξ∈[x-1,x]和η∈[x, x+1], 使得

例1[1,p.104]設(shè)p＞0, 對任意正整數(shù)m, n(2≤m＜n), 有

當(dāng)p＜0,p≠-1時, 不等式(3)反向.

當(dāng)p＞0時, f′(x)=pxp-1＞0, 由定理即知式(3)成立. 當(dāng)p＜0, p≠-1時, f′(x)=pxp-1＜0, 由定理即知式(3)反向成立.

例2求證: 對任意正整數(shù)n, 恒有

例3設(shè)n∈?*, n≥2. 求證:

例4[1,p.104]求證: 對任意正整數(shù)n, 有

例5[1,p98]設(shè)k為整數(shù), 且k＞1. 求

例6設(shè)n∈?*,求證:

[1] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 濟南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2010

[2] 石煥南. 受控理論與解析不等式[M]. 黑龍江: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2012

[3] 徐利治, 王興華. 數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講[M]. 北京: 高等教育出版社, 1984

[4] 格.馬.菲赫金哥爾茨. 數(shù)學(xué)分析原理(第二卷, 第一分冊)[M]. 北京: 人民教育出版社, 1979

[5] 毛其吉. 正整數(shù)冪積的一個不等式的加強[J]. 蘇州教育學(xué)院學(xué)報, 2000, 17(4): 79～82

A Finite Sum Inequality and Its Applications

WANG Dong-sheng1, SHI Huan-nan2
(1. Basic Courses Department, Beijing Vocational College of Electronic Technology, Beijing 100026, China; 2. Basic Courses Department, Teacher's College of Beijing Union University, Beijing 100011, China)

Using the integral mean value theorem, a finite sum inequality relate to monotonic function was obtained, and it’s some applications were given.

finite sum inequality; integral mean value theorem; monotonic function

O178

A

1672-5298(2015)03-0001-03

2015-06-18

王東生(1965- ), 男, 北京人, 北京電子科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部高級講師. 主要研究方向: 常微分方程與不等式