陳 靜

(湖南科技大學 數(shù)學與計算科學學院, 湖南 湘潭 411201)

一類非線性分數(shù)階邊值問題的最小能量解

陳 靜

(湖南科技大學 數(shù)學與計算科學學院, 湖南 湘潭 411201)

研究在非線性項滿足超二次增長條件下, 一類分數(shù)階微分方程的Dirichlet邊值問題

利用山路引理推得了以上邊值問題至少存在一個最小能量解.

分數(shù)階邊值問題; 超二次; 最小能量解

1 問題的提出

考慮如下分數(shù)階邊值問題

(A) 對任意x∈?N, F( t, x)關于t是可測的. 對a.e. t∈[0,T], F( t, x)關于x是連續(xù)可微的, 且存在a∈C(?+,?+),b∈L1([0,T ],?+), 使得

近年來, 人們發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微分算子能更準確地描述具有反常擴散現(xiàn)象的復雜動力系統(tǒng), 于是很多物理學家使用分數(shù)階微分方程為這類系統(tǒng)建立模型. 邊值問題(1.1)來源于穩(wěn)態(tài)分數(shù)階對流擴散方程, 具體內(nèi)容參見文[1～3].

在文[3]中, Jiao和Zhou研究了問題(1.1), 并建立了其相應的變分結構, 利用山路引理得到了問題(1.1)非平凡解的存在性. 在超二次增長條件下, 利用已建立的變分結構, 對問題(1.1)及其變化形式的研究工作已有一些, 參見文[4～6]. 在文[3～6]中, 已有結果都使用了以下條件:

(AR) 存在μ＞2,R＞0使得

(簡稱(AR)條件)下的山路引理研究各自邊值問題非平凡解的存在性和多重性. 實際上, (AR)條件蘊含著存在常數(shù)b, c＞0, 使得

由于(AR)條件能確保能量泛函的(PS)序列的有界性, 且在(AR)條件下容易證明能量泛函滿足山路幾何特征, 這對應用臨界點理論獲得解是至關重要的. 事實上, 很多函數(shù)并不滿足(AR)條件, 如

因此, 出現(xiàn)了一些替代或減弱(AR)條件的工作, 見文[7～8].

在很多物理模型中, 當能量達到最小時, 解的性態(tài)是最穩(wěn)定的. 最小能量解就是描述這種現(xiàn)象的非平凡解, 它使能量泛函取到最小值. 在偏微分方程中, 這種最小能量解就是基態(tài)解. 本文的目的是通過減弱(AR)條件, 用Cerami條件(簡稱(C)條件)下的山路引理獲得問題存在最小能量解. 其主要結論是:

定理1.1若F滿足條件:

2 預備知識

定義2.1[9]函數(shù)f∈C([a, b ],?N)的γ( γ＞0)階Riemann-Liouville左積分和右積分分別定義為

其中Γ是伽馬函數(shù).

定義2.2[9]設γ≥0, n∈?.

(ⅰ) 若γ∈(n-1,n), 且f( t)∈ACn([a, b ],?N), 則函數(shù)f的γ階Caputo左導數(shù)和右導數(shù)于[a, b]上幾乎處處存在, 且分別定義為

(ⅱ)若γ=n-1, 且f∈ACn-1([a, b],?N), 則有

容易知道它是Hilbert空間, 其上的內(nèi)積為

其誘導的范數(shù)為

命題2.1[3]Eα是自反可分的Banach空間.

命題2.2[3]對任意u∈Eα, 有以下兩個不等式成立:

由(2.1)式, Eα上的范數(shù)可重新定義為

命題 2.3[3]Eα到C([0,T],?N)和L2([0,T],?N)的嵌入都是緊的, 其嵌入不等式分別為

定義泛函φ:Eα→?為

由[3]中定理4.1可知, φ是Eα上的連續(xù)可微函數(shù). 對?u, v∈Eα, φ在u處的導數(shù)為

引理2.1[3]若 u∈Eα是對應歐拉方程φ′(u)=0的解, 則u是問題(1.1)的解.

命題2.4[3]若＜α≤1, 則對|u∈Eα, 有

定義2.3[10]稱序列{un}?Eα為φ的(C)序列, 若φ(un)有界且當n→∞時, (1+||un||α)||φ′(un)||*→0,這里||·||*表示Eα的對偶空間(Eα)′中的范數(shù). 稱泛函φ滿足(C)條件, 若它的每一(C) 序列有一收斂子列.

引理2.2[11](山路引理) 設E為實Banach空間, φ∈C1(E,?)滿足(PS)條件, φ(0)=0, 且有

(I1) 存在常數(shù)ρ, α＞0, 使得 φ|?Bρ≥α,

(I2) 存在e∈E Bρ, 使得 φ(e)≤0,

則φ存在一個臨界值c≥α. 其中, Γ={g∈C([0,1],E):g(0)=0,g(1)=e }.

注2.1在[12]中, 作者已經(jīng)證明了用相比較弱的(C)條件取代(PS)條件, 形變引理依然成立, 于是在(C)條件下山路引理也是成立的.

3 定理的證明

證明我們將定理1.1的證明分成四步.

第一步 證明泛函φ滿足(C)條件. 令 {un}?Eα, 滿足當n→∞時, 有

先證明{un}有界. 反設, 則||v||=1, 且由(2.3)式, 有||vn||2≤τ2||vn||α=τα. 對充分大的n, 有

由(2.5)式和(3.1)式可得,

設0≤a＜b, 令

取{vn}在Eα上的一弱收斂子列, 仍記為{vn}, 設vn?v于Eα, 且vn→v于L2([0,T]), vn→v于C([0,T]).若v=0, 則vn→0于L2([0,T]), vn→0于C([0,T]). 因而由條件(A1)可知, 存在常數(shù)c1＞0, 使得

由條件(A3), (A4)及(3.2)式, 有

這里常數(shù)c2＞0. 由(3.4)和(3.5), 有

這與(3.3)式矛盾, 因此v≠0. 令A:={t∈[0,T],|v( t)|≠0}. 若v≠0, 則meas(A)＞0. 對a.e. t∈A, 有因此, 存在足夠大的n∈?, 使得A?Ωn(R0,∞). 由條件(A1), (A2)及Fatou引理, 可得

這里χ:[0,T]→?為Ωn的特征函數(shù), 由此得出矛盾. 故序列{un}在Eα上有界.

由于{un}有界, 故它在Eα上有弱收斂子列. 在Eα中取{un}的一子列, 仍記為{un}, 設un?u∈Eα,則有

因un→u于C([0,T]), 且F( t, x)關于x是連續(xù)可微的, 所以

注意到

結合(2.7), 可得

于是, 當n→∞時, ||un-u||α→0, 即{un}在Eα上有收斂子列. 這說明條件成立.

第二步 證明存在ρ＞0和α1＞0使得φ|?Bρ≥α1.

由 (A1), 存在ε∈(0,|cos(πα)|)和δ＞0, 使得對a.e. t∈[0,T]和|x|≤δ, x∈?N, ?

這里τ2,τ∞分別為(2.1)和(2.2)式中的常數(shù). 令于是對u∈Eα, 且 ||u||α=ρ, 由(2.4)式, 有||u||∞≤τ∞||u||α=δ. 從而對u∈Eα且||u||α=ρ,

第三步 由條件(A2), 存在 η＞0 和L1＞0使得對|x|≥L1以及a.e. t∈[0,T], 有

又由基本假設(A)可知, 對|x|≤L1以及a.e. t∈[0,T], 有

從而對x∈?N, 及a.e. t∈[0,T],

對ζ＞0, 注意(3.13)和(3.14), 有

其中L2＞0. 故存在充分大的 ζ0, 使得φ( ζ0e)≤0. 由φ的定義和(A1)容易得到φ(0)=0. 由引理2.2, φ存在一個臨界值c≥α1. 而對臨界點u而言, φ(u )≥α1＞0. 顯然u≠0, 這表明u∈M是問題(1.1)的非平凡解.

第四步 由第三步可知M是非空的. 令φ0=infMφ. 容易知道, φ0＞0. 設{un}?M是φ的極小化序列, 使得

由第一步可知, 滿足(3.16)的序列{un}是有界的, 故它在Eα中存在弱收斂子列, 設un?u0(n→∞),由于Eα到C([0,T],?N)的嵌入是緊的, 類似于第一步中的證明過程可知, un→u0于Eα. 再由φ的連續(xù)性即知, φ(u0)=φ0.

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The Smallest Energy Solutions for a Class of Nonlinear Fractional Boundary Value Problems

CHEN Jing
(School of Mathematics and Computing Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China)

In this paper, we studied the existence of the smallest energy solution for the following kind of fractional Dirichlet boundary value problems

WhenFis superquadratic at infinity, by using mountain pass lemma we obtained the above boundary value problem has at least the smallest energy solution.

fractional boundary value problem; superquadratic; the smallest energy solution

O175

: A

1672-5298(2015)03-0004-05

2015-07-03

國家自然科學基金資助項目(11501190); 湖南省自然科學基金資助項目(2015JJ6037)

陳 靜(1980- ), 女, 湖南湘潭人, 博士, 湖南科技大學數(shù)學與計算科學學院講師. 主要研究方向: 臨界點理論及其應用