方 良

(安徽師范大學 數(shù)學計算機科學學院, 安徽 蕪湖 241000)

矩陣損失下多元線性模型中回歸系數(shù)矩陣的線性估計可容許性的研究進展

方 良

(安徽師范大學 數(shù)學計算機科學學院, 安徽 蕪湖 241000)

綜述了多元線性模型中回歸系數(shù)矩陣的可估線性函數(shù)的線性估計在兩種不同的矩陣損失函數(shù)下、不同估計類中的可容許性. 分別考慮了矩陣齊次線性估計和矩陣非齊次線性估計, 以及矩陣齊次線性估計類、矩陣線性估計類和一切矩陣估計組成的估計類. 在協(xié)方差陣未知的情形下, 總結(jié)了回歸系數(shù)矩陣的線性估計在不同估計類中的可容許性, 其中,研究在一切估計組成的估計類中的可容許性問題需要正態(tài)分布假設(shè).

多元線性模型; 回歸系數(shù)矩陣; 矩陣損失; 線性估計類; 全體估計組成的估計類; 可容許性

1 多元線性模型中線性估計的可容許性

實際問題中的變量往往是多面性的, 需要使用多個指標加以刻畫, 因此線性模型是應(yīng)用最廣泛的統(tǒng)計模型. 其研究不僅為試驗設(shè)計、判別分析、增長曲線分析等方向提供了基本的理論工具, 也是計量經(jīng)濟學及生物統(tǒng)計學等交叉學科的基礎(chǔ).

1.1 模型

多元線性模型:

其中Y是一個n×p階的觀測陣, X為已知的n×m設(shè)計陣, B是未知的n×m參數(shù)陣, ε是一個n×p的誤差陣, 且有E(ε)=0,=In?V , 這里V是已知或者未知的p階正定陣, In是n階單位陣, vec表示矩陣的向量化, 即對于任一p×q矩陣A=(a1,…,aq), 有A?B表示這兩個矩陣的Kronecker積.

注如果ε滿足

其中G為某已知的正定陣, 可以不是In, 只需作變換

我們往往假定ε服從正態(tài)分布, 即

但在估值問題中這一假設(shè)并不是必須的.

1.2 研究背景

自從Gauss提出最小二乘理論以來, 學者一般用觀察值的線性函數(shù)來估計參數(shù), 其中主要是參數(shù)的無偏估計. 對于上述模型, 主要的分析目標是估計或者檢驗回歸參數(shù)矩陣B的某些線性函數(shù)的顯著性.

一元模型中我們稱未知參數(shù)β的線性函數(shù)Lβ是可估的, 指的是存在數(shù)學期望為Lβ的觀測值Y的線性組合KY, 即, 存在矩陣K, 使得L=KY. 在多元模型中, B的可估線性函數(shù)必可表示為SXB的形式,其中S為某t×n陣, 反之, SXB必是B的可估線性函數(shù).

40年代末期, Wald[1]提出決策理論, 對現(xiàn)代統(tǒng)計的發(fā)展產(chǎn)生了重大影響. 經(jīng)典統(tǒng)計學重在統(tǒng)計推斷而不考慮應(yīng)用和效益, 統(tǒng)計決策理論則通過引入損失函數(shù)來度量效益大小, 評價統(tǒng)計推斷結(jié)果的優(yōu)劣.

記參數(shù)空間為Θ, 估計某隨機變量X的分布函數(shù)F( x,θ)中的參數(shù)θ, 當采取的判決函數(shù)為δ時, 將所遭受的局部損失和平均損失分別定義為損失函數(shù)L(θ, δ)和風險函數(shù)R(θ, δ), 其中

風險函數(shù)的大小是判決函數(shù)優(yōu)劣的指標. 我們稱判決函數(shù)δ*一致優(yōu)于δ, 如果R(θ, δ*)≤R (θ, δ),?θ∈Θ, 且不等號至少對某個?θ0∈Θ成立. 若不存在一致優(yōu)于δ的判決函數(shù), 則稱δ是可容許的.

顯然, 可容許性概念重在除劣, 而非選優(yōu), 我們使用的判決函數(shù)至少應(yīng)是可容許的, 實際應(yīng)用于縮小挑選的范圍. 此外, 一個估計是否是可容許的, 必須針對某一損失函數(shù)和所討論的估計類而言, 改變了損失函數(shù)或者估計類, 一個可容許的估計就可能變成不可容許的.

可容許概念提出之后, 學者試著尋找一些雖然有偏, 但在某種意義上更接近于真值的估計. 于是就有了嶺估計[2,3]和壓縮估計[4], 以及包括嶺估計和壓縮估計的一般齊次線性估計類[5]等. Cohen[6]和Shinozaki[7]指出, 所有上述有偏估計在標量二次損失函數(shù)下都是可容許估計.

事實上, 損失函數(shù)是統(tǒng)計決策問題的基本要素之一, 一般根據(jù)實際問題而定, 其中二次損失函數(shù)

是最常用的. 自然地, 推廣到多元模型下, 記B為全體n×m矩陣, V為全體p階矩陣, 我們將考慮矩陣損失

以及最早于1976年由Rao[8]提出的

其中, ?B∈B,?V ∈V.

線性估計(包括齊次和非齊次線性估計)的可容許性問題的研究主要有兩類, 其一是研究在線性估計組成的類中的可容許性, 其二是研究線性估計在全體估計組成的類中的可容許性.

在一元模型中, 有關(guān)回歸向量β的線性估計的可容許性問題的討論已經(jīng)在標量二次損失函數(shù)下建立起來了, 見Stein[9], Cohen[6,10], Rao[8], 吳啟光[11,14,18,21], 詹金龍和陳建寶[13], Wu和Chen[15], LaMotte[16], Zontek[12,17], 朱顯海和鹿長余[19,20]等. 其中Stein[9]指出Y服從n維(n≥3)正態(tài)分布N(β,In), 在二次損失函數(shù)下, β的最優(yōu)同變估計是不可容許的, 換言之, 均值向量β在二次損失函數(shù)下可容許當且僅當n≤2; Cohen[10]在Stein的模型中肯定了β的可容許線性估計的存在性, 并給出Y的線性函數(shù)是β的可容許估計的特征刻畫; Rao[8]總結(jié)了到那時為止的工作, 給出了二次損失函數(shù)下Sβ的線性估計LY在線性估計類中可容許的充要條件, 其中無需正態(tài)分布假設(shè), 且協(xié)方差陣未知; Wu[11]和Zontek[12]將結(jié)果推廣到Y(jié)服從正態(tài)分布N( Xβ, σIn)時的情形, σ已知或未知; 詹金龍和陳建寶將考察的估計類擴大到一切估計組成的估計類; Wu[14]考慮無需正態(tài)分布假設(shè), 矩陣損失σ-2(δ-Sβ)( δ-S β)′下的情形; Wu和Chen[15]又考慮了正態(tài)分布的情形; LaMotte[16]和Zontek[17]考慮參數(shù)空間受到某些約束的情形; Wu[18]利用線性變換和朱顯海與鹿長余[19]的結(jié)果, 對于一般的Gauss-Markov模型中線性估計的可容許性給出了完全的刻畫; 朱顯海和鹿長余[20]刻畫了非齊次線性估計可容許的特征. 矩陣二次損失函數(shù)下的回歸向量β的線性估計可容許性問題是吳啟光[21]的開創(chuàng)性工作, 后續(xù)的一些突出研究見[22～32].

在多元線性模型中, 自然地提出了矩陣二次損失函數(shù)L1或者L2下的回歸系數(shù)矩陣B的矩陣估計的可容許性問題, 這方面的重要文獻有Xie[33], Noda et al.[34], Wu和Noda[35]等. 其中, Xie[33]給出了Y′服從多元正態(tài)分布N(Θm×n,In?Im)的假設(shè)時, 二次矩陣損失函數(shù)下, 矩陣均值Θ的線性估計是可容許的充要條件; Noda et al.[34]在ε服從多元正態(tài)分布N(0,In?V), 矩陣損失函數(shù)分別取

時, SXB的廣義Bayes無偏矩陣估計量是可容許的充要條件, 其中B∈B,V∈V, Cm和Ct分別為給定的m階和t階正定陣; Wu和Noda[35]繼續(xù)了協(xié)方差陣未知時, 這三個不同矩陣損失之下的研究. 在無正態(tài)分布假設(shè)時, 相應(yīng)于每一個損失函數(shù), 分別給出了一個矩陣線性估計在全體矩陣線性估計組成的估計類中可容許的充要條件; 在有正態(tài)分布假設(shè)時, 分別給出了三個損失函數(shù)下, 一個矩陣線性估計在全體具有有限風險的矩陣估計組成的估計類中可容許的充分條件, 以及損失函數(shù)取LCt時, 添加一些額外條件時得到的必要性. 周在瑩[36,37]在Wu和Noda[35]的模型框架之下考慮了矩陣損失函數(shù)取L1或L2時, 相應(yīng)的非齊次線性估計的可容許性問題.

本文將總結(jié)在矩陣損失L1或L2下多元線性模型中回歸系數(shù)矩陣的線性估計的可容許性的研究結(jié)果.

2 線性估計在線性估計類中的可容許性

齊次線性估計類和非齊次線性估計類都是SXB的重要估計類, 因為在無正態(tài)分布假設(shè)下, 這兩個估計類都包含了SXB的最小二乘估計和最佳線性無偏估計[38]; 在正態(tài)分布假設(shè)下, 這兩個估計類都包含了SXB的極大似然估計和一致最小風險無偏估計[39].

為了敘述方便, 記齊次線性估計類、非齊次線性估計類、一切估計組成的估計類分別為HL, L, D:

2.1 齊次線性估計在線性估計類中的可容許性

Wu和Noda[35]給出了無需正態(tài)分布假設(shè), 損失函數(shù)L1或者L2下, 回歸系數(shù)矩陣B的可估線性函數(shù)SXB的一個齊次線性估計LY在齊次線性估計類HL中可容許的充要條件.

定理1 損失函數(shù)L1下, 估計量LY∈HL在HL中可容許的充要條件是以下兩個條件同時滿足

(ⅰ) L=LX( X ′X)-X′,

(ⅱ) LX( X ′X)-X ′S′是對稱陣, 且LX( X ′X)-X ′L′≤LX( X ′X)-X ′S′.

定理2損失函數(shù)L2下, 估計量LY∈HL在HL中可容許的充要條件是以下兩個條件同時滿足

(ⅰ) L=LX( X ′X)-X′,

(ⅱ) LX=SX或者當LX≠SX時, 對任意的a∈(0,1),都不成立.

2.2 非齊次線性估計在線性估計類中的可容許性

周在瑩[36,37]給出了SXB的非齊次線性估計LYK+在線性估計類中可容許的充要條件.

定理3 損失函數(shù)1L下, 估計量LYK+∈L在L中可容許的充要條件是以下兩個條件同時滿足

(ⅰ) R(K)?R((L-S) X ),

(ⅱ) LY在HL中可容許,

其中R(A)表示A所張成的列空間.

或者等價地, 有

定理4損失函數(shù)L1下, 估計量LY+K∈L在L中可容許的充要條件是以下三個條件同時滿足(ⅰ)L=LX(X′ X)-X′,

(ⅱ) LX( X ′X)-X ′L′≤LX( X ′X)-X ′S′,

(ⅲ) R(K)?R((L-S) X ).

定理5損失函數(shù)L2下, 估計量LY+K∈L在L中可容許的充要條件是以下兩個條件同時滿足

(ⅰ) L=LX( X ′X)-X′,

(ⅱ) 當LX=SX時, K=0; 當LX≠SX時, 對任意的a∈(0,1),都不成立.

3 線性估計在全體估計組成的類中的可容許性

相對于在線性估計類中的可容許性討論, 一個線性估計在所有估計組成的類中可容許問題的研究通常需要正態(tài)分布假設(shè)vec(ε′)～N(0,In?V ).

3.1 齊次線性估計在線性估計類中的可容許性

正態(tài)分布假設(shè)下, Wu和Noda[16]給出了損失函數(shù)為L1時, SXB的齊次線性估計LY在一切估計組成的估計類中是SXB的可容許估計的充分條件.

定理6假定ε服從正態(tài)分布, 在損失函數(shù)L1下, 如果估計量LY∈HL同時滿足

(ⅰ) L=LX( X ′X)-X′,

(ⅱ) LX( X ′X)-X ′S′是對稱陣, 且LX( X ′X)-X ′L′≤LX( X ′X)-X ′S′,

(ⅲ) rank[LX( X ′X)-≥rank(L)-2,

則LY在SXB的全體估計組成的估計類D中是可容許的.

注意定理6中的三個條件是充分而非必要的, 即D中可容許的齊次線性估計LY不一定要同時滿足這三個條件. 但是如果LY滿足某些性質(zhì), 則這三個條件是必要的.

定理7假定ε服從正態(tài)分布, 在損失函數(shù)L1下, 估計量LY∈HL在SXB的全體估計組成的估計類D中是可容許的, 如果已知

則LY同時滿足

(ⅰ) L=LX( X ′X)-X′,

(ⅱ) LX( X ′X)-X ′S′是對稱陣, 且LX( X ′X)-X ′L′≤LX( X ′X)-X ′S′,

(ⅲ) rank[LX( X ′X)-X′( S-L)′]≥rank(L)-2.

對于損失函數(shù)L2, 也給出了充分條件.

定理8假定ε服從正態(tài)分布, 在損失函數(shù)L2下, 如果估計量LY∈HL滿足

(ⅰ) L=LX( X ′X)-X′,

(ⅱ) LX=SX或者當LX≠SX時, 有以下(ⅱa)或(ⅱb)之一成立

(ⅱa) 存在一個t維向量q使得q′ Jq＜0,

(ⅱb) J≥0且存在一個t維向量q使得q′ Jq=0, q′ Kq≥0, 其中

(ⅲ) p≤2,

則LY在SXB的全體估計組成的估計類D中是可容許的.

定理8 只給出了SXB的一個齊次線性估計LY在SXB的全體估計組成的估計類D中是可容許的充分條件, 其是否也必要還有待討論. 比較可能的結(jié)果是類似在損失函數(shù)L1下的情形, 即增加某些額外的條件, 使得滿足這些條件的可容許的齊次線性估計也必定滿足定理8中的三個條件.

3.2 非齊次線性估計在線性估計類中的可容許性

周在瑩[36,37]給出了SXB的一個非齊次線性估計LY+K在SXB的全體估計組成的估計類D中是可容許的充分條件, 同樣也需要正態(tài)分布的假設(shè).

定理9假定ε服從正態(tài)分布, 在損失函數(shù)L1下, 估計量LY+K∈L在SXB的全體估計組成的估計類D中是可容許的充要條件是以下兩個條件同時成立: (ⅰ)R(K)?R((L-S) X ), (ⅱ)LY在D中可容許.

結(jié)合定理6, 可以得到損失函數(shù)為L1時, SXB的非齊次線性估計LY+K在一切估計組成的估計類中是SXB的可容許估計的充分條件.

定理10假定ε服從正態(tài)分布, 在損失函數(shù)L1下, 如果估計量LY+K∈L同時滿足

(ⅰ) L=LX( X ′X)-X′,

(ⅱ) LX( X ′X)-X ′L′≤LX( X ′X)-X ′S′,

(ⅲ) rank[LX( X ′X)-X′( S-L)′]≥rank(L)-2,

(ⅳ) R(K)?R((L-S) X ),

則LY+K是SXB在D中的可容許估計.

注意定理10也只給出了LY+K在D中可容許的充分條件. 如何增加適當?shù)臈l件使得定理10中的四個條件成為SXB的非齊次線性估計LY+K在D中可容許的必要條件還有待討論.

此外, 當損失函數(shù)為L2時, 非齊次線性估計LY+K在一切估計組成的估計類中是SXB的可容許估計的問題, 目前還沒有令人滿意的結(jié)論.

4 進一步的問題

除了上面提到的一些可以繼續(xù)下去的討論, 我們還可以考慮: 協(xié)方差陣已知的情形; ε服從除正態(tài)分布以外的其他常見分布(例如排隊論中重要的Poisson分布、負指數(shù)分布等分布)的情形; 參數(shù)空間受到某些約束的情形, 這種約束主要是不等式約束, 如橢球約束或不完全橢球約束(等式約束通過線性變換可以使模型變成無約束情形. 這在理論以及方法上都無新意, 但要注意到回歸系數(shù)受等式約束時, 非齊次線性估計是線性估計的最重要類型); 如何將結(jié)論推廣到混合線性模型的情形; 如何發(fā)展新的分析方法(例如譜分解), 等等.

參考文獻

[1] Wald A. Statistical decision functions[M]. New York, Wiley: 1950

[2] Hoel, A. E. and Kennard, R. W. Ridge regression: biased estimation for nonorthogonal problems [J]. Technometrics 1970a 12: 55～67

[3] Hoel, A. E. and Kennard, R. W. Ridge regression: applications to nonorthogonal problems [J]. Technometrics 1970b 12: 69～82

[4] Mayer, L. S. and Willke, T. A. On biased estimation in linear models [J]. Technometrics 1973, 15: 497～508

[5] Rao, C. R. Unified theory of linear estimation. Sankhyd Ser [J]. 1971, 33: 371～394

[6] Cohen, A. Estimates of linear combinations of the parameters in the mean vector of a multivariate normal distribution[J]. Ann. Math. Statist, 1965, 36: 78～87

[7] Shinozaki, N. A study of generalized inverse of matrix and estimation with quadratic loss [D]. Ph. D. thesis submitted to the Keio University, Japan

[8] Rao C R. Estimation of parameters in a linear model [J]. Ann. Statist., 1976, 4: 1023～1037

[9] Stein C. Inadmissibility of the usual estimator for the mean of a multivariate normal distribution[C]. Proc. Third Berkeley Symp. Math. Statist. Probab, 1956, 1 ( Univ. of California, Berkley): 197～206

[10] Cohen A. All admissible linear estimators of the mean vector [J]. Ann. Math. Statist, 1966, 37(2): 458～463

[11] Wu Q G. A note on admissible linear estimates [J]. Acta Math. Appl. Sinica, 1982, 5(1): 19～24

[12] Zontek, S., Characterization of linear admissible estimator in Gauss-Markov model under normality in linear statistical inference [C]. Proceedings, Rozon, Springer-Verlag, 1984

[13] 詹金龍, 陳建寶. 二次損失下回歸系數(shù)的線性估計在一切估計類中的可容許性[J]. Acta. Mathematics Applicate Sinica, 1992, 8(3): 237～244

[14] Wu Q G. Admissibility of linear estimates of regression coefficient under matrix loss function [J]. Kexue Tongbao, 1983, 28:155～158

[15] Wu Q G., Chen J. All admissible linear estimates of regression coefficient under matrix loss function [J]. Systems Sci. Math. Sci., 1989, 2: 80～91

[16] LaMotte L R. Admissibility in linear estimation [J]. Ann. Statist. 1982, 10(1): 245～255

[17] Zontek S. On characterization of linear admissible estimators: an extention of a result due to C [J]. R. Rao. J. Multivariate. Anal, 1987, 23(1): 1～12

[18] 吳啟光. 一般Gauss- Markov模型中回歸系數(shù)的線性估計的可容許性[J]. 應(yīng)用數(shù)學學報, 1986, 9(2): 251～256

[19] 朱顯海, 鹿長余. 線性模型中參數(shù)的線性估計的可容許性[J]. 數(shù)學年刊, 1987,SA (2 ): 220～226

[20] 朱顯海, 鹿長余. 回歸系數(shù)的非齊次線性估計的可容許性[J]. 應(yīng)用概率統(tǒng)計, 1986,2 (2 ): 97～99

[21] 吳啟光. 矩陣損失下回歸系數(shù)的非齊次線性估計的可容許性[J]. 應(yīng)用數(shù)學學報, 1987,10: 428～433

[22] 吳啟光. 矩陣損失下回歸系數(shù)的線性估計的可容許性[J]. 科學通報, 1982,27: 833～835

[23] Baksalary, J. K. and Markiewicz, A. Characterizations of an admissible linear estimators in restricted linear models [J]. J. Statist. Plann. Inference, 1986, 13: 395～398

[24] Baksalary, J. K. and Markiewicz, A. Admissible linear estimators in the general Gauss-Markov model [J]. J. Statist. Plann. Inference, 1988, 19: 349～359

[25] Baksalary, J. K. and Markiewicz, A. Admissible linear estimators of an arbitrary vector of parametric function in the general Gauss-Markov model [J]. J. Statist. Plann. Inference, 1990, 26: 161～171

[26] Baksalary, J. K. and Markiewicz, A., A matrix inequality and admissibility of linear estimators with respect to the mean square error matrix criterion[J]. Linear Algebra Appl., 1989, 112: 9～18

[27] Baksalary, J. K., Liski, E. and Trenkler, G., Mean square error matrix improvements and admissibility of linear estimators [J]. J. Statist. Plann. Inference, 1989, 31: 313～325

[28] Stepniak, C. Admissible linear estimators in mixed models [J]. J. Mult. Anal., 1989, 31: 90～106

[29] 朱顯海, 鹿長余. 線性模型中參數(shù)的線性估計的可容許性[J]. 數(shù)學年刊, 1987,8A(2): 220～226

[30] 吳啟光. 矩陣損失下回歸系數(shù)的線性估計的可容許性的進一步討論[J]. 系統(tǒng)科學和數(shù)學, 1985, 5(2): 107～113

[31] 吳啟光. 矩陣損失下參數(shù)估計的幾個結(jié)果[J]. 系統(tǒng)科學和數(shù)學, 1988, 8(2): 167～180

[32] Lin, F.Y. and Yong, T.S. Necessary and sufficient conditions that linear estimators of a mixed effects linear model are admissible under matrix loss function [J]. Statistics, 1993, 24: 303～309

[33] Xie M. All admissible linear estimates of the mean matrix [J]. J. Multivariate. Anal, 1993, 44(2): 220～226

[34] Noda K, Wu Q G, Shimizu K. Admissibility and inadmissibility of a generalized Bayes unbiased estimator in a multivariate linear model [J]. J. Statist. Planning and Inference, 2001, 93(1-2): 197～210

[35] Wu Q G, Noda K. Admissibilities of matrix linear estimators multivariate linear models [J]. J. Statist. Planning and Inference, 2006, 136(11): 3852～3870

[36] 周在瑩. 多元線性模型中回歸系數(shù)矩陣非齊次線性估計的可容許性[J]. 數(shù)學物理學報, 2010, 30 (6): 1621～1628

[37] 周在瑩. 矩陣損失函數(shù)下回歸系數(shù)矩陣的非齊次線性估計的可容許性[J]. 系統(tǒng)科學與數(shù)學, 2010, 30 (12): 1597～1605

[38] Zhang Y T, Fang K T. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis (in Chinese) [M]. Beijing: Science Press, 1982

[39] Muirhead R J. Aspects of Multivariate Statistical Theory [M]. New York: John Wiley & Sons, INC, 1982

[40] Chen X.R., Chen G.J., Wu Q.G., Zhao L.,C. Theory of Estimation of Parameters in Linear Models [M]. Beijing: Science Press, 1985

[41] Noda K., Wu Q.G., Shimizu, K.Γ-minimaxity of a generalized Bayes unbiased estimator in a multivariate linear model [J]. Statistics and Decisions, 2002, 20: 53～66

[42] Stein C. Inadmissibility of the usual estimator for the mean of a multivariate normal distribution [C]. In Proceedings of the Third Berkeley Symposium on Mathematical and Statistical Probability 1, 1956, University of California Press, Berkeley

[43] Szehanov, B. B. Differential Equations Course [M]. National Press, 1953

[44] Zauderer E. Partial Differential Equations of Applied Mathematics[M]. New York: Wiley, 1983

[45] Anderson T. W. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis[M]. New York: John Wiley and Sons, INC, 1984

Progress on Admissibility of Matrix Linear Estimators in Multivariate Linear Models under Matrix Loss Functions

FANG Liang
(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

This paper reviews admissibility of matrix linear estimators for an estimable linear function of the parameter matrix under two different types of matrix loss functions and various classes of estimators. Both matrix homogeneous and nonhomogeneous linear estimators are considered, as well as the classes of matrix homogeneous linear estimators, matrix linear estimators, and all the matrix estimators. With an unknown covariance matrix, admissibility of matrix linear estimators in different classes of estimators is summarized where normality assumption is needed in the case of class of all matrix estimators.

multivariate linear model; parameter matrix; matrix loss function; class of all linear estimators; class of all matrix estimators; admissibility

O171

A

1672-5298(2015)03-0017-06

2015-05-25

安徽高校省級自然科學研究項目(KJ2012A135); 安徽師范大學科研培育基金資助(2013xmpy09)

方 良(1984- ), 男, 安徽望江人, 安徽師范大學數(shù)學計算機科學學院碩士研究生. 主要研究方向: 數(shù)理統(tǒng)計