張紅娜 河南省許昌市普通教育教學(xué)研究室小學(xué)數(shù)學(xué)教研員，中學(xué)高級教師；許昌市專業(yè)技術(shù)拔尖人才，“巾幗建功”標(biāo)兵，“三八紅旗手”；河南省中小學(xué)教師教育專家，學(xué)科帶頭人，推進(jìn)素質(zhì)教育“百名名師”之一，優(yōu)秀教研員；中國教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)先進(jìn)工作者，課程教材研究所小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心優(yōu)秀教研員。

工作中始終堅(jiān)持“以研導(dǎo)教、以教促研”的教研宗旨，逐漸形成了“嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)、厚重、靈動(dòng)”的教研風(fēng)格。執(zhí)教的課先后在省、國家級賽課中獲得一等獎(jiǎng)；主持的課題有三項(xiàng)獲得省級科研成果一等獎(jiǎng)，一項(xiàng)獲國家級“十一五”重點(diǎn)課題成果一等獎(jiǎng)，目前正在進(jìn)行河南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)課題《小學(xué)數(shù)學(xué)厚重課堂的探索與實(shí)踐》的研究；撰寫的文章有10多篇在省級以上評比中獲獎(jiǎng)，30多篇在省級以上專業(yè)學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表；輔導(dǎo)的青年教師有20多人次在省級以上教學(xué)評比中獲得一等獎(jiǎng)。先后參與多種教輔資料的編寫工作，多次應(yīng)邀參加全國學(xué)術(shù)交流活動(dòng)，并作課、評課，受到好評。

“教學(xué)有法，但無定法，貴在得法。”細(xì)細(xì)品味古人有關(guān)教育的這番言論，再次為其中的教育至理及前人的教育智慧所折服。數(shù)學(xué)教學(xué)說到底，就是要解決這樣三個(gè)問題：“是什么？”“為什么？”“什么用？”解決這些問題的過程中，選擇什么樣的教學(xué)策略，如何實(shí)施，并非千課一法，要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情而定。即好的教學(xué)“但無定法，貴在得法”。

《三角形的內(nèi)角和》是小學(xué)數(shù)學(xué)中基本且重要的教學(xué)內(nèi)容之一，也是老師們賽課或公開課教學(xué)爭相選擇的教學(xué)內(nèi)容。作為教研人員，我看了很多青年教師對這節(jié)課“大同小異”的演繹，通過對他們的課堂進(jìn)行多角度的剖析與反思，我有了新的教學(xué)“靈感”，于是，便走進(jìn)我的“厚重課堂”，用心譜寫出了《三角形的內(nèi)角和》教學(xué)的三部曲。

一、“是什么”——不必遮面直接現(xiàn)

“三角形的內(nèi)角和是180°”，這是三角形的內(nèi)角和定理，也是三角形的一個(gè)重要性質(zhì)。作為一個(gè)固定的數(shù)據(jù)和重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，多數(shù)學(xué)生課前通過不同的學(xué)習(xí)渠道應(yīng)該都有所了解。但老師們在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，總是愿意先給它蒙上神秘的面紗，然后再通過“猜想—驗(yàn)證”等學(xué)習(xí)活動(dòng)逐層揭開。于是，課前便產(chǎn)生了“學(xué)生萬一一開始就說出來了怎么辦”的擔(dān)憂。課上，有的老師對個(gè)別學(xué)生的“一時(shí)沖動(dòng)”給予搪塞——“你知道的可真多”，有的老師對學(xué)生的“不請自答”給予嚴(yán)厲的眼神——“你發(fā)言舉手了嗎”，有的老師對學(xué)生高舉的小手以手勢示意——“請你們先把手放下來”……總之，他們不想讓學(xué)生打亂了自己“千呼萬喚始出來”的教學(xué)預(yù)設(shè)，想讓學(xué)生產(chǎn)生“三角形的內(nèi)角和是180°”是我們發(fā)現(xiàn)的這一自豪感。

誠然，老師們的想法符合新課程理念——讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展和形成過程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)情感。但我認(rèn)為，教學(xué)方法的選擇和使用一定要視內(nèi)容和學(xué)情而定，其中對學(xué)生充分的研讀尤為重要?！叭切蔚膬?nèi)角和是180°”多數(shù)學(xué)生課前已經(jīng)知道，既然如此，我們的教學(xué)就不必遮遮掩掩，而應(yīng)該以學(xué)定教、順學(xué)而導(dǎo)。下面是我的教學(xué)處理：

黑板上事先由上而下出示如下三種三角形（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）：

師：同學(xué)們，這是我們認(rèn)識過的三角形，通過學(xué)習(xí)，我們知道：三角形都有三個(gè)角，這三個(gè)角都叫作三角形的“內(nèi)角”。根據(jù)內(nèi)角的特點(diǎn)，我們可以把三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。認(rèn)真觀察這三類三角形，它們的內(nèi)角有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：相同點(diǎn)是都有兩個(gè)銳角，不同點(diǎn)是最大的角分別是銳角、直角、鈍角。

師：為什么銳角三角形中有三個(gè)銳角，而直角三角形中只有一個(gè)直角、鈍角三角形中只有一個(gè)鈍角？還有，雖然每種三角形中較小的兩個(gè)角都是銳角，這兩個(gè)銳角之和一樣嗎？

部分學(xué)生高舉小手急著發(fā)言：老師，我知道！我知道！

師：哦，這么多同學(xué)都知道?。∵@些問題其實(shí)都跟三角形的內(nèi)角和有關(guān)，是嗎？（板書課題）

生：是！

師：三角形的內(nèi)角和是一個(gè)固定的值，你們知道是多少嗎？

部分學(xué)生：是180°！

師：說得對?。◣熾S即板書結(jié)論）為什么是180°，你知道嗎？

學(xué)情是教學(xué)的重要依據(jù)，課前了解學(xué)生的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，我們就能準(zhǔn)確地選擇和把握教學(xué)的起點(diǎn)。這第一部曲就是依據(jù)學(xué)生已掌握的三角形的分類、內(nèi)角特點(diǎn)等知識，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生開門見山的學(xué)習(xí)情境，使學(xué)生上課伊始就知道本節(jié)課要學(xué)習(xí)的知識，同時(shí)帶著疑問思考：為什么三角形的內(nèi)角和是180°呢？

二、“為什么”——“轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲”

“三角形的內(nèi)角和為什么是180°？”中學(xué)數(shù)學(xué)中有嚴(yán)格的證明。作為小學(xué)生，雖然不能“證明”，但完全可以通過力所能及的方式來進(jìn)行初步的“驗(yàn)證”，而這最能夠體現(xiàn)新課標(biāo)的要求。作為教師，我們應(yīng)該如何讓學(xué)生在能力允許的范圍內(nèi)“知其所以然”？教學(xué)該怎樣“基于學(xué)生”“服務(wù)于學(xué)生”，又“誘發(fā)于學(xué)生”呢？

帶著上述思考，我這樣處理了這一教學(xué)環(huán)節(jié)：

師指板書問：三角形的內(nèi)角和是180°，看到這個(gè)度數(shù)，你馬上會(huì)想到我們認(rèn)識的什么角？

生：平角。

師：也難怪，平角的度數(shù)也是180°。（師隨即在黑板上畫出一個(gè)平角）

師：知道了三角形的內(nèi)角和是180°，我們的學(xué)習(xí)才剛剛開始，因?yàn)槲覀儾荒軆H僅知道數(shù)學(xué)知識“是什么”，還要弄清楚——

生搶答：“為什么！”

師：看來，你們都是會(huì)學(xué)習(xí)的孩子，是學(xué)習(xí)的有心人！現(xiàn)在，你們一定最想知道，三角形的內(nèi)角和為什么是180°？為什么和平角的度數(shù)是一樣的？我猜得對嗎？

生一致同意：對！

師：那你們自己有什么辦法能搞個(gè)明白呢？

（生開始若有所思）

稍后，師提出：誰有好辦法愿意推薦給大家？

多數(shù)學(xué)生：量一量三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再加起來看和是不是180°。

一生補(bǔ)充：直角三角形就不用量三個(gè)角了，只要量兩個(gè)銳角就可以了。

師：除了量，還有別的方法嗎？

只有一個(gè)學(xué)生拿出直角三角形示意：可以把兩個(gè)銳角折到直角處，正好能拼成90°，三個(gè)角合起來就是180°。

師順勢問：好方法！直角三角形能這樣驗(yàn)證，其余兩種三角形能嗎？

多數(shù)學(xué)生搖頭。

看學(xué)生說不出更好的方法，我便放手讓學(xué)生自主探究。

師：剛才，大家相互交流了自己的方法，其實(shí)，課本中也給大家介紹了一些好方法，你們也可以去學(xué)習(xí)和借鑒。下面，就請你們選擇其中的方法對手中的任意三角形的內(nèi)角和進(jìn)行驗(yàn)證。

（學(xué)生或測量或折拼，或獨(dú)做或合作，自主學(xué)習(xí)真實(shí)、扎實(shí)。）

師組織學(xué)生交流：剛才的學(xué)習(xí)中，哪些同學(xué)用的是“測量”的方法？你們的結(jié)果怎么樣？

（多數(shù)學(xué)生為180°，少數(shù)學(xué)生為170°、181°、178°、190°等）

師指板書結(jié)果問：三角形的內(nèi)角和明明是180°，為什么他們的結(jié)果不是？誰來解釋給他們幾個(gè)聽？

生爭相解釋：肯定是測量時(shí)沒量準(zhǔn)！說不定是讀數(shù)時(shí)，把量角器上的刻度讀反了。是不是加的時(shí)候算錯(cuò)了？他們剪的三角形肯定不標(biāo)準(zhǔn)，邊不直！測量時(shí)有誤差，不會(huì)那么準(zhǔn)確。離180°接近的還好說，是因?yàn)檎`差，差得遠(yuǎn)的肯定是不認(rèn)真……

（看學(xué)生如此“幫我解圍”，我真慶幸這個(gè)皮球“踢”得值?。?/p>

師：除了測量，有用別的方法驗(yàn)證的嗎？

（生分別用他們手中的學(xué)具，到前面演示了“折拼”“撕拼”等方法。）

師：看來，向書本學(xué)習(xí)，也是一種好辦法！把每種三角形的三個(gè)內(nèi)角拼在一起，都正好能組成一個(gè)平角！難怪，它們的和是180°！數(shù)學(xué)，真有說不出的神奇！

師：“三角形的內(nèi)角和是180°”，這是三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，今天我們只是用自己想到或?qū)W到的實(shí)驗(yàn)的方法，對有限個(gè)三角形的內(nèi)角和進(jìn)行了初步驗(yàn)證。這個(gè)結(jié)論對所有的三角形都成立嗎？這需要更嚴(yán)密的證明，以后進(jìn)入中學(xué)，你們就能學(xué)習(xí)到這種證明方法，讓我們一起期待今后更有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，好嗎？

如果認(rèn)真研讀學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生對結(jié)論的驗(yàn)證方法僅限于“測量”，至于“折拼”或“撕拼”等方法，則離學(xué)生的實(shí)際思維還有一定的距離，嚴(yán)密的證明則距離更遠(yuǎn)。這第二部曲就是創(chuàng)設(shè)了一個(gè)讓學(xué)生自主探究的學(xué)習(xí)環(huán)境，除了讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，用測量的方法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是180°外，還特別注意引導(dǎo)學(xué)生向書本學(xué)習(xí)，也就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)前人的間接經(jīng)驗(yàn)，用“折拼”或“撕拼”的方法來驗(yàn)證，同時(shí)逐步培養(yǎng)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本的好習(xí)慣。至此，“為什么”的教學(xué)告一段落，它使學(xué)生明白，這是實(shí)驗(yàn)幾何的結(jié)束，是論證幾何的開始。

三、“什么用”——“此時(shí)無聲勝有聲”

怎樣用“三角形的內(nèi)角和是180°”解決具體問題，這也是教學(xué)的重點(diǎn)。但多數(shù)教師的課堂因?yàn)榍懊妗膀?yàn)證”費(fèi)時(shí)，至此便一帶而過，草草收場。他們認(rèn)為之所以確定“此處為略”，除了時(shí)間不夠外，更多的原因是教材中所要解決的問題都很簡單，教師沒啥可講，學(xué)生完全可以課后進(jìn)行。

而我卻認(rèn)為，我們真的應(yīng)該在此環(huán)節(jié)“做做文章”。我的教學(xué)是：

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們不僅知道了“是什么”，而且知道了“為什么”，接下來，我們要認(rèn)真來關(guān)注，學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和“有什么用”？

師指著課始出示的三個(gè)三角形，提出問題：

你能告訴大家，為什么銳角三角形中有三個(gè)銳角，而直角三角形中只有一個(gè)直角、鈍角三角形中只有一個(gè)鈍角嗎？

（生答略）

每種三角形中較小的兩個(gè)銳角合起來比，和一樣嗎？

生：直角三角形中兩個(gè)銳角的和正好等于90°，銳角三角形中兩銳角之和大于90°，鈍角三角形中兩銳角之和小于90°。

師：如果告訴三角形其中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，你能知道第三個(gè)角的度數(shù)嗎？

（以其中的銳角三角形和鈍角三角形為例，處理過程略去）

師追問：在直角三角形中，想知道第三個(gè)角的度數(shù)，需要告訴你幾個(gè)角的度數(shù)？

生通過爭論達(dá)成共識：直角的度數(shù)已知，只需要告訴一個(gè)未知角就可以求另一個(gè)未知角了。

師：其實(shí)，我們知道，三角形除了按角的特點(diǎn)分類，還可以按邊的特點(diǎn)分類，想想看，按邊可以怎么分？

生：可以分為等腰三角形和等邊三角形。

師糾正：根據(jù)三角形中邊是否相等，可以把三角形分為“不等邊三角形”和“等腰三角形”兩類，而“等邊三角形”屬于特殊的等腰三角形（師隨即在相應(yīng)位置板書）。

其實(shí)，剛才黑板上的三個(gè)三角形都屬于“不等邊三角形”。

師：通過剛才的學(xué)習(xí)我們發(fā)現(xiàn)，在不等邊三角形中，除直角三角形外，知道兩個(gè)角的度數(shù)，才能求出第三個(gè)角的度數(shù)。那等腰三角形中呢？（師出示一個(gè)等腰銳角三角形）

生：正好相反，只告訴一個(gè)角的度數(shù)，就可以知道其余兩個(gè)角的度數(shù)是多少？

師追問：如果是等腰直角三角形呢？

生思考后頓悟：每個(gè)角的度數(shù)我們都知道。

師：等腰直角三角形它的三個(gè)角的度數(shù)是確定的，我們常用的三角板中就有這樣的三角形。

師：還有一個(gè)最特殊的等腰三角形，（出示等邊三角形）它的每個(gè)角是多少度呢？

生：都是60°！180°÷3。

師：如果按角分，它應(yīng)該屬于哪種三角形呢？

生：銳角三角形。

師引導(dǎo)學(xué)生感悟：

在應(yīng)用三角形的內(nèi)角和解決實(shí)際問題的過程中，要依據(jù)三角形的特點(diǎn)靈活選擇簡便的方法。

雖然三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)不同，分得的結(jié)果也不一樣，但它們之間還是有著非常緊密的聯(lián)系！

最后，師拓展：其實(shí)，三角形的內(nèi)角和還可以幫助你們?nèi)グl(fā)現(xiàn)四邊形、五邊形等其他多邊形的內(nèi)角和，請同學(xué)們課后進(jìn)一步去感受它的作用和神奇魅力！

學(xué)習(xí)的最終目的是應(yīng)用，即“學(xué)以致用”。而“應(yīng)用”又非單一的鞏固和練習(xí)，它需要舉一反三、觸類旁通，最終達(dá)到“用實(shí)”“用活”“用透”的學(xué)習(xí)效果。這第三部曲就為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一系列有價(jià)值的問題解決情境，把所學(xué)知識置于相關(guān)知識體系中，由近及遠(yuǎn)、由一般到特殊、由基礎(chǔ)到靈活、由部分到整體、由單一到聯(lián)系，學(xué)生在應(yīng)用中體悟著數(shù)學(xué)的價(jià)值，感受著數(shù)學(xué)的魅力。

[本文為河南教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2011年度重點(diǎn)課題“小學(xué)數(shù)學(xué)‘厚重課堂的探索與實(shí)踐。課題編號：[2011]-JKGHBB-0716]?