李文生
(福建省連城一中)
在數(shù)學的知識和技能中,蘊含著具有普遍性的數(shù)學思想,它是數(shù)學的精髓和靈魂,是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁,是數(shù)學知識和方法產(chǎn)生的根本源泉,對數(shù)學思想的應用,是數(shù)學學習走向更深層次的一個標志,它能指導我們有效地應用數(shù)學知識,探尋解題方向.
數(shù)學對象的內(nèi)部或者不同的數(shù)學對象之間,往往會以某種形式相互聯(lián)系,在一定的條件下能夠相互轉(zhuǎn)化,針對面臨的數(shù)學問題,實施或轉(zhuǎn)化問題的條件,或轉(zhuǎn)化問題的結(jié)論或轉(zhuǎn)化問題的內(nèi)在結(jié)構,或轉(zhuǎn)化問題的外部表現(xiàn)形式等行動策略去解決有關的數(shù)學問題,能促進問題的解決,可以說,數(shù)學解題的過程就是不斷化歸與轉(zhuǎn)化的過程.
在應用導數(shù)解決問題的過程中,對于一時難以解決的問題,可運用轉(zhuǎn)化與化歸思想經(jīng)過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程,運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換,將原問題化歸為一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題.而導數(shù)綜合問題的主要類型有:
(1)不等式的恒成立問題;(2)證明不等式問題;(3)方程的求解問題.
通常,應用化歸與轉(zhuǎn)化思想解決導數(shù)的綜合問題時有一個基本的解題思路,即:將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;將證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與最值問題;將方程的求解問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題、兩個函數(shù)圖象的交點問題等.
為了完成上述轉(zhuǎn)化,要把握兩個關鍵:(1)針對問題的需要,合理地構造函數(shù),找到問題轉(zhuǎn)化的突破口;(2)通過“再構造、再求導”,實現(xiàn)問題的深度轉(zhuǎn)化.
下面通過具體例題,對上述兩個關鍵進行一些探究.
問題一:怎樣合理構造函數(shù)
1.先分離參數(shù)后再構造函數(shù)
例1.已知函數(shù)f(x)=lnx,對任意的a∈[-1,0),若不等式f(x)<在x∈(0,1]上恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.
【分析】這是不等式的恒成立問題.
2.將不等式兩邊作差后再構造函數(shù)
需要補充說明的是:如果先分離參數(shù)后對應的函數(shù)不便于求解其最值,或者求解其函數(shù)最值繁瑣時,可采用直接構造函數(shù)的方法,也就是將不等式兩邊作差后再構造函數(shù).
例2.設函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的導函數(shù),若f(x)≥ag(x)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是()
A.(-1,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,-1)
【分析】不等式 f(x)≥ag(x)恒成立,可先構造函數(shù) φ(x)=,再研究函數(shù)φ(x)≥0時參數(shù)a的取值范圍.
①當 a≤1時,φ′(x)≥0(當且僅當 x=0,a=1時等號成立),則φ(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,又 φ(0)=0,即 φ(x)≥0 在[0,+∞)上恒成立.
②當 a>1 時,對 x∈(0,a-1),有 φ′(x)<0,則 φ(x)在(0,a-1)上單調(diào)遞減,
∴φ(a-1)<φ(0)=0 即 a>1 時,存在 x>0,使 φ(x)<0,可知 ln(x+不恒成立.
3.抓住常規(guī)基本函數(shù),變形后構造新函數(shù)
現(xiàn)兩邊同時除以ex得由于這時不等式兩邊的函數(shù)都是由常規(guī)基本函數(shù)組成,因此,可分別構造如下兩個函數(shù):時,g′(x)<0,當時,g′(x)>0,故 g(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增的最小值為同理,可求得 h(x)在(0,+∞)的最大值為
綜上,當 x>0 時,g(x)>h(x),即 f(x)>1
點評:一次函數(shù)、二次函數(shù)、指對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、簡單的分式根式函數(shù)、絕對值函數(shù)的圖象力求清晰準確,一些綜合性的問題基本上是這些函數(shù)的組合體,如果適當分解和調(diào)配就一定能找到問題解決的突破口,使問題簡單化、明確化.
問題二:如何再次構造新函數(shù),實現(xiàn)“二次求導”
在求導的過程中,常常會發(fā)現(xiàn)導函數(shù)大于0或小于0時對應的自變量取值無法確定,這時可考慮再次構造新函數(shù),從而實現(xiàn)“二次求導”.
例4.(2013年河南開封市四模)已知函數(shù)f(x)=ax2-x(a≠0),g(x)=lnx.
若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個不同的交點,求實數(shù)a的取值范圍.
評注:本題通過轉(zhuǎn)化,使求解a的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題,再利用函數(shù)的連續(xù)性,進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.在對本題解法的探究中,轉(zhuǎn)化是關鍵,構造函數(shù)是途徑,“二次求導”是方法和策略.
綜上所述,通過構造函數(shù)再利用導數(shù)這一研究函數(shù)的有力工具,能夠使解題思路自然流暢、過程清晰,正是應用化歸與轉(zhuǎn)化這一重要數(shù)學思想在解題中具有普遍指導意義的有力體現(xiàn)。其中構造函數(shù)的方式、方法是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要途徑,雖是“小構造”但體現(xiàn)了解題的“大智慧”.平時教學中,特別是高考總復習中,應加強化歸與轉(zhuǎn)化思想的滲透,強化訓練,從而有效地提高學生解題的能力.