單滑塊變質(zhì)心再入飛行器分岔特性

王亞飛，于劍橋，王林林，蘇曉龍

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081）

單滑塊變質(zhì)心再入飛行器分岔特性

王亞飛，于劍橋，王林林，蘇曉龍

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081）

基于非線性動(dòng)力學(xué)模型，給出了單滑塊變質(zhì)心再入飛行器的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性隨滑塊偏移距離的變化規(guī)律，得到了系統(tǒng)分岔圖，并在此基礎(chǔ)上求解了典型條件下各吸引子的吸引域。結(jié)果表明滑塊偏移距離對(duì)再入飛行器的平衡點(diǎn)數(shù)量及穩(wěn)定性具有明顯的影響，同時(shí)初始飛行條件對(duì)飛行器的最終收斂狀態(tài)也具有重要的影響，不合適的初始條件有可能導(dǎo)致飛行器被鎖定在不期望的平衡點(diǎn)或極限環(huán)中，從而引起失速或失控等問題。此外，通過分析不同系統(tǒng)參數(shù)下的分岔圖變化規(guī)律，總結(jié)了再入飛行器結(jié)構(gòu)及氣動(dòng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔特性的影響，進(jìn)而為系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)計(jì)提供了參考。

變質(zhì)心飛行器；非線性動(dòng)力學(xué)；分岔；吸引域

0 引 言

隨著導(dǎo)彈防御技術(shù)的進(jìn)步，機(jī)動(dòng)再入飛行器越來越受到各國的重視。再入飛行器機(jī)動(dòng)控制方法主要有3種［1］：①靠改變彈體氣動(dòng)外形產(chǎn)生法向力，如十字舵面控制、可動(dòng)鼻錐控制；②依靠側(cè)噴矢量發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生脈沖法向力；③變質(zhì)心控制，該方法依靠改變?cè)偃塍w內(nèi)部活動(dòng)質(zhì)量塊的位置，改變彈體質(zhì)心位置，從而在空氣動(dòng)力的作用下產(chǎn)生配平力矩改變彈體姿態(tài)及法向力，最終實(shí)現(xiàn)彈道機(jī)動(dòng)飛行。相比于第一種控制方法，變質(zhì)心控制無需改變?cè)偃塍w的氣動(dòng)外形，可有效避免高速飛行條件下的舵面燒蝕問題；相比于側(cè)噴矢量發(fā)動(dòng)機(jī)控制方法，變質(zhì)心控制無需攜帶大量燃料，控制效率高，且不存在側(cè)噴擾流問題。由于具有這些優(yōu)點(diǎn)，變質(zhì)心控制成為了再入飛行領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

按照滑塊數(shù)量的不同，變質(zhì)心再入飛行器可以分為單滑塊控制或多滑塊控制［2］。其中，單滑塊控制具有執(zhí)行機(jī)構(gòu)少、控制原理簡單的優(yōu)點(diǎn)，國內(nèi)外學(xué)者均對(duì)此展開了廣泛的研究，研究內(nèi)容包括動(dòng)力學(xué)模型的建立［3－5］、滾轉(zhuǎn)自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)［3－4］、制導(dǎo)律設(shè)計(jì)［5－6］、控制機(jī)理分析［7］、參數(shù)優(yōu)化［8］等。近年來，隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，現(xiàn)代控制在再入飛行器控制中的應(yīng)用越來越廣泛。文獻(xiàn)［9－12］分別采用自抗擾控制、變結(jié)構(gòu)控制及軌跡線性化方法設(shè)計(jì)了單滑塊變質(zhì)心飛行器的滾轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)，取得了較好的控制效果。文獻(xiàn)［13］則將一種自適應(yīng)智能控制策略應(yīng)用到了變質(zhì)心再入飛行器的控制當(dāng)中。

在變質(zhì)心再入飛行器動(dòng)力學(xué)特性分析方面，由于具有氣動(dòng)非對(duì)稱和結(jié)構(gòu)非對(duì)稱的特點(diǎn)，使得單滑塊變質(zhì)心飛行器的動(dòng)力學(xué)成為一個(gè)具有強(qiáng)耦合性的高階非線性系統(tǒng)，基于傳統(tǒng)的線性系統(tǒng)理論很難對(duì)飛行器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)特性展開研究，因此對(duì)于此類非線性動(dòng)力系統(tǒng)的分析主要是基于奇異性及分岔理論展開。

分岔分析方法形成于20世紀(jì)70年代末，是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)定性研究方法的一個(gè)重要分支。近年來，非線性學(xué)科的發(fā)展以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步使得分岔理論在各學(xué)科的研究領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。在飛行器領(lǐng)域，文獻(xiàn)［14－17］將分岔理論應(yīng)用在了飛機(jī)大迎角非線性動(dòng)力學(xué)分岔分析及控制的研究中；文獻(xiàn)［18］分析了客機(jī)的翻轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)分岔現(xiàn)象；文獻(xiàn)［19］使用分岔方法，針對(duì)彈性機(jī)體飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)、穩(wěn)定性及控制問題展開了研究；此外，分岔方法還被應(yīng)用在翼傘運(yùn)載系統(tǒng)的飛行動(dòng)力學(xué)問題［20－21］，有負(fù)載的直升機(jī)動(dòng)力學(xué)問題的研究中［22］。在再入飛行器方面，文獻(xiàn)［23］針對(duì)對(duì)稱再入飛行器的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)［24］以類似“聯(lián)盟號(hào)”飛船返回艙為研究對(duì)象，分析了該類飛行器的非線性動(dòng)力學(xué)分岔特性及各吸引子的吸引域；文獻(xiàn)［25］針對(duì)自主著陸飛行器的縱向運(yùn)動(dòng)隨俯仰舵偏角變化產(chǎn)生的鞍結(jié)分岔現(xiàn)象進(jìn)行了研究，并依據(jù)分析結(jié)果設(shè)計(jì)了自動(dòng)飛行控制系統(tǒng)。

本文將分岔理論用于具有非對(duì)稱特點(diǎn)的變質(zhì)心再入飛行器，使用數(shù)值計(jì)算方法得到了系統(tǒng)以滑塊偏移距離作為變化量的分岔圖并進(jìn)行了分析。此后，在分岔圖的基礎(chǔ)上，對(duì)典型情況下各吸引子的吸引域進(jìn)行了仿真，得到了不同滑塊偏移距離下，飛行器在不同初始飛行條件下的收斂結(jié)果，并據(jù)此總結(jié)了各吸引子的吸引域分布規(guī)律。最后，通過計(jì)算不同系統(tǒng)參數(shù)下分岔圖及分岔點(diǎn)的變化規(guī)律，給出了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 建 模

單滑塊變質(zhì)心再入飛行器的典型結(jié)構(gòu)如圖1所示。這種飛行器是一種外形不對(duì)稱的飛行器，通過切削圓錐體實(shí)現(xiàn)，再入體內(nèi)部有一個(gè)可相對(duì)于氣動(dòng)對(duì)稱平面?zhèn)认蛞苿?dòng)的活動(dòng)質(zhì)量塊。該類飛行器為滾轉(zhuǎn)單通道控制，在俯仰及偏航通道上則是通過氣動(dòng)靜穩(wěn)定性來保證姿態(tài)的穩(wěn)定。由于俯仰方向上氣動(dòng)不對(duì)稱，因此其自配平狀態(tài)下可產(chǎn)生固定的配平升力。在進(jìn)行彈道機(jī)動(dòng)飛行時(shí)，需通過橫向移動(dòng)質(zhì)量塊使飛行器的質(zhì)心偏離氣動(dòng)對(duì)稱面，從而在配平升力的作用下產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)控制力矩控制飛行器的滾轉(zhuǎn)姿態(tài)，進(jìn)而改變配平升力的方向達(dá)到彈道機(jī)動(dòng)的目的。

由于具有氣動(dòng)不對(duì)稱、結(jié)構(gòu)不對(duì)稱的特點(diǎn)，變質(zhì)心控制的固定配平再入飛行器存在非線性氣動(dòng)力、慣性矩、運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)之間的耦合作用，其動(dòng)力學(xué)具有強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合性的特點(diǎn)。經(jīng)典歐拉角在滾轉(zhuǎn)再入飛行器的分析中具有廣泛的應(yīng)用［26］，使用經(jīng)典歐拉角建立的非對(duì)稱再入飛行器的模型具有物理含義明確、形式簡單的特點(diǎn)。為了簡化分析，本文利用以經(jīng)典歐拉角及其角速度為狀態(tài)變量的簡化動(dòng)力學(xué)模型，展開變質(zhì)心再入飛行器分岔特性的分析。經(jīng)典歐拉角包括進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角及自轉(zhuǎn)角，是再入飛行器坐標(biāo)系及準(zhǔn)速度坐標(biāo)系之間的一組相對(duì)角度。若再入殼體的質(zhì)心為O，則再入飛行器坐標(biāo)系及準(zhǔn)速度坐標(biāo)系可定義如圖1所示。

圖1 單滑塊變質(zhì)心再入飛行器典型結(jié)構(gòu)圖

（1）再入飛行器坐標(biāo)系（Oxbybzb）

原點(diǎn)為O，Oxb軸沿殼體對(duì)稱軸方向指向前為正，Oyb在對(duì)稱平面內(nèi)指向上為正，Ozb軸與其他兩軸滿足右手定則，從彈尾看指向右為正。

（2）準(zhǔn)速度坐標(biāo)系（Ox5y5z5）

原點(diǎn)為O，Ox5沿速度方向指向前為正，Oy5位于包含Ox5的豎直平面內(nèi)指向上為正，Oz5由右手定則確定。

經(jīng)典歐拉角的定義如圖2所示。首先Ox5y5z5坐標(biāo)系沿Ox5旋轉(zhuǎn)ζ（定義為進(jìn)動(dòng)角）至Ox5y’z’坐標(biāo)系；然后繞Oz’軸旋轉(zhuǎn)δ（定義為章動(dòng)角）至Oxby”z’坐標(biāo)系；最后繞Oxb軸旋轉(zhuǎn)λ（定義為自轉(zhuǎn)角）至Oxbybzb坐標(biāo)系。

圖2 經(jīng)典歐拉角的定義

為建立再入飛行器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，首先需要給出彈體坐標(biāo)系下的合外力及合外力矩：

式中，攻角α、側(cè)滑角β可由章動(dòng)角δ、自轉(zhuǎn)角λ表示

聯(lián)立式（1）～式（3），即可得到以δ及λ表示的合外力和合外力矩。

考慮到彈體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)相對(duì)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)為快時(shí)變運(yùn)動(dòng)，因此在分析角運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為載體速度的大小及方向保持不變。在這一假設(shè)下，準(zhǔn)速度坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系，再入飛行器的角速度可以用δ、ζ和λ的導(dǎo)數(shù)表示

對(duì)式（4）求導(dǎo)并化簡，可得以經(jīng)典歐拉角表示的變質(zhì)心再入飛行器非線性動(dòng)力學(xué)模型）

式中，合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為

式中，JM為載體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jm為由活動(dòng)質(zhì)量塊偏移引起的附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

m為滑塊質(zhì)量，M為除滑塊之外的再入體質(zhì)量，μ為質(zhì)量比

滑塊在彈體坐標(biāo)系下的位置、速度及加速度為

2 分岔特性分析

分岔現(xiàn)象是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)特有的現(xiàn)象，對(duì)非線性系統(tǒng)的定性分析具有十分重要的作用。若一個(gè)系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的，則任意小的參數(shù)變化都會(huì)使得動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生突然的質(zhì)的變化，這種變化稱為分岔。因此可將分岔的數(shù)學(xué)定義敘述如下：

對(duì)于含參數(shù)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

式中，x∈Rn稱為狀態(tài)變量；μ∈Rm稱為分岔參數(shù)。當(dāng)參數(shù)μ在Rm內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，若系統(tǒng)式（10）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在μ＝μ0處發(fā)生突然變化，則稱系統(tǒng)式（10）在μ＝μ0處出現(xiàn)分岔，并稱μ0為分岔值或臨界值，稱（x，μ0）為分岔點(diǎn)。在參數(shù)μ的空間Rm中，由分岔值所構(gòu)成的集合稱為分岔集。在（x，μ）的空間Rn×Rm中，系統(tǒng)的極限集（如平衡點(diǎn)、極限環(huán)等）隨參數(shù)μ變化的圖形稱為分岔圖。分岔可按照研究對(duì)象的不同分為靜態(tài)分岔和動(dòng)態(tài)分岔。其中，平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性隨參數(shù)變化為靜態(tài)分岔，極限環(huán)則是動(dòng)態(tài)分岔的主要研究對(duì)象之一。

若Dxf（x0，μ0）為f關(guān)于x的在（x0，μ0）處的雅克比矩陣，則可以證明系統(tǒng)式（10）在（x0，μ0）處靜態(tài)分岔的必要條件為Dxf（x0，μ0）不可逆，即系統(tǒng)式（10）在（x0，μ0）處至少存在一個(gè)零特征值。對(duì)于高維非線性系統(tǒng)，求得系統(tǒng)平衡點(diǎn)的解析解是十分困難的，因此難以使用解析方法分析系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象，數(shù)值方法為研究高維分岔問題的主要方法。該方法首先使用數(shù)值方法追蹤求解出系統(tǒng)解曲線隨分岔參數(shù)的變化，同時(shí)通過判斷解的特征值變化規(guī)律判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分岔點(diǎn)的位置、類別。據(jù)此繪制出非線性系統(tǒng)的分岔圖，則可依據(jù)分岔圖對(duì)系統(tǒng)隨分岔參數(shù)的定性變化展開分析。

當(dāng)滑塊位置固定時(shí)，再入飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)為自治系統(tǒng)，本文的研究主要是針對(duì)該系統(tǒng)的靜態(tài)分岔現(xiàn)象展開。分析分岔現(xiàn)象的基礎(chǔ)是平衡點(diǎn)的求解。為求解該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，令，設(shè)平衡點(diǎn)章動(dòng)角、進(jìn)動(dòng)角速度、自轉(zhuǎn)角分別為，則滿足

其中

未知量與方程數(shù)同為3個(gè)，因此使用數(shù)值計(jì)算方法求解式（11）可以得到平衡點(diǎn)隨滑塊偏移距離z的分布曲線。通過變量替換可以證明，在其他參數(shù)不變的條件下，若｛zP，為方程式（11）的一個(gè)解，則也是方程式（11）的解，且在這4個(gè)解處，系統(tǒng)具有相同的動(dòng)態(tài)特性。因此，在本文中，認(rèn)為為同一個(gè)平衡點(diǎn)。

為得到單滑塊變質(zhì)心再入飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分岔圖，需計(jì)算出平衡點(diǎn)數(shù)值及穩(wěn)定性隨滑塊偏移距離的變化規(guī)律。這一計(jì)算過程可以依據(jù)延續(xù)原理展開，也可以使用非線性數(shù)值分析工具AUTO或MATCONT得到，其具體的求解過程本文不再贅述，僅給出結(jié)果。

主要參數(shù)取如下數(shù)值進(jìn)行仿真：

圖3～圖5給出了依據(jù)仿真結(jié)果繪制的系統(tǒng)在z∈（－0．5m，0．5m），δP∈（－π／2，π／2）范圍內(nèi)的平衡點(diǎn)分岔圖。

圖3 δP隨滑塊偏移距離z的變化

圖4 λP隨滑塊偏移距離z的變化

圖5 ˙ζP隨滑塊偏移距離z的變化

圖中，虛線表示不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，實(shí)線表示穩(wěn)定平衡點(diǎn)；三角形點(diǎn)“Δ”表示極限點(diǎn)，在該點(diǎn)處，系統(tǒng)具有一個(gè)零實(shí)根，兩對(duì)共軛復(fù)根；圓形點(diǎn)“○”表示Hopf分岔點(diǎn)，在該點(diǎn)處，系統(tǒng)具有一對(duì)純虛根，一對(duì)共軛復(fù)根及一個(gè)負(fù)實(shí)根。由圖3～圖5可見，不同于線性系統(tǒng)，該非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)數(shù)量及穩(wěn)定性均隨滑塊偏移距離的變化發(fā)生明顯的改變。不考慮對(duì)稱分布的多余平衡點(diǎn)，僅分析z∈（0m，0．5m），δP∈（0，π／2）的情況，則在該仿真條件下，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)具有以下分布規(guī)律：

當(dāng)z∈（0m，0．075 2m）時(shí)，系統(tǒng)具有1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)及2個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；

當(dāng)z∈（0．075 2m，0．080 9m）時(shí)，系統(tǒng)具有2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)及3個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；

當(dāng)z∈（0．080 9m，0．085 3m）時(shí)，系統(tǒng)具有1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)及4個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；

當(dāng)z∈（0．085 3m，0．142 1m）時(shí)，系統(tǒng)具有2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)及3個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；

當(dāng)z∈（0．142 1m，0．245 0m）時(shí)，系統(tǒng)具有1個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)及2個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)；

當(dāng)z∈（0．245 0m，0．5m）時(shí)，系統(tǒng)具有3個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

從穩(wěn)定平衡點(diǎn)的分布規(guī)律來看，該系統(tǒng)具有3組穩(wěn)定平衡點(diǎn)，其中穩(wěn)定平衡點(diǎn)2為設(shè)計(jì)的期望飛行狀態(tài)，飛行器在此狀態(tài)下具有較高的升阻比及較好的動(dòng)態(tài)特性。而曲線1及曲線3表示的平衡點(diǎn)則為不期望的穩(wěn)定平衡態(tài)，再入體的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)一旦收斂于此穩(wěn)定狀態(tài)，則會(huì)被“鎖死”，由于該狀態(tài)對(duì)應(yīng)著大章動(dòng)角及高轉(zhuǎn)速，因此極容易因阻力過大或轉(zhuǎn)速過高而導(dǎo)致飛行器出現(xiàn)失速或滾轉(zhuǎn)失控的問題，這是需要避免的穩(wěn)定狀態(tài)。除穩(wěn)定平衡點(diǎn)外，由于Hopf分岔點(diǎn)的存在，該系統(tǒng)還存在著穩(wěn)定的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，這種穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)同樣也是需要避免的。

需要說明的是，在上述算例中，穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的概念是建立在Lyapunov意義下的，因而只是局部穩(wěn)定的。對(duì)于具有多個(gè)定態(tài)的系統(tǒng)，僅僅知道局部漸近穩(wěn)定是不夠的。若期望的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定區(qū)域很小，則在較小的擾動(dòng)下也會(huì)表現(xiàn)出不穩(wěn)定的現(xiàn)象。為此需要引入非線性系統(tǒng)定范圍穩(wěn)定性的概念，即確定穩(wěn)定平衡點(diǎn)的吸引域。

3 吸引域

再入飛行器姿態(tài)動(dòng)力學(xué)具有多個(gè)平衡點(diǎn)，因此該系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不保證具有全局穩(wěn)定性。此時(shí)，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的大范圍全局穩(wěn)定性問題成為需要關(guān)注的重點(diǎn)。對(duì)于漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，其“吸引區(qū)域”的大小決定了系統(tǒng)抗干擾的能力。當(dāng)期望平衡點(diǎn)的吸引區(qū)域包含系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中可能受到的干擾范圍時(shí)，才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定，否則，則有可能在強(qiáng)擾動(dòng)下出現(xiàn)失穩(wěn)的現(xiàn)象［27］。確定系統(tǒng)的吸引域是十分困難的，尤其是對(duì)于高階非線性系統(tǒng)，數(shù)學(xué)分析方法很難確定系統(tǒng)平衡點(diǎn)吸引域的估計(jì)范圍。而隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷進(jìn)步，數(shù)值計(jì)算方法逐漸成為吸引區(qū)域估算的主要方法。

對(duì)于系統(tǒng)式（10），若相空間Rn中的閉集A滿足：以A內(nèi)或其某個(gè)鄰域內(nèi)的點(diǎn)為初始條件的相軌跡在足夠長時(shí)間后可充分趨近于A，則稱此集合A為吸引集。若相空間Rn中點(diǎn)y0使得當(dāng)t→＋∞時(shí)從y0出發(fā)的相軌線趨于吸引集A，則點(diǎn)y0的全體稱為吸引集A的吸引盆，也稱吸引域。不能進(jìn)一步分解的吸引集稱為吸引子，常見的吸引子包括穩(wěn)定平衡點(diǎn)，極限環(huán)等。通過給定不同的初始條件，使用龍格－庫塔方法求解角運(yùn)動(dòng)微分方程組，即可獲取系統(tǒng)通過該初始點(diǎn)的相軌線，進(jìn)而判斷出該點(diǎn)是否位于某吸引子的吸引域內(nèi)。

對(duì)于前文的算例，以z＝0．1m時(shí)的情況為例，此時(shí)系統(tǒng)存在兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)及一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。將從不同起始點(diǎn)出發(fā)的相軌線在δ－˙δ平面上投影，所得結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同起始點(diǎn)的相軌線在δ－˙δ平面上的投影

由圖可見，不同的起始點(diǎn)會(huì)使得再入飛行器的姿態(tài)收斂于不同的吸引子。通過不斷改變初始條件，求解各相軌線最終的收斂結(jié)果，即可獲得收斂至平衡點(diǎn)或極限環(huán)的初始點(diǎn)范圍，并繪制出穩(wěn)定平衡點(diǎn)或極限環(huán)的吸引域。本文所研究的單滑塊變質(zhì)心再入飛行器為5維動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，因此其初始條件為5維向量，在此范圍內(nèi)進(jìn)行窮舉計(jì)算需耗費(fèi)大量的計(jì)算資源，因此文中僅考慮主要的影響因素，分析系統(tǒng)的吸引域在δ－˙ζ平面內(nèi)的投影。將除δ和˙ζ之外的其他狀態(tài)量初始值設(shè)為0，改變初始章動(dòng)角δ0及初始進(jìn)動(dòng)角速度˙ζ0的數(shù)值，即可根據(jù)收斂狀態(tài)確定初始點(diǎn)位于哪個(gè)吸引子的吸引域內(nèi)。在滑塊位于不同偏移距離的情況下，得到仿真結(jié)果如圖7所示。圖中，①號(hào)區(qū)域表示起始點(diǎn)收斂至不期望的穩(wěn)定平衡點(diǎn)1；②號(hào)區(qū)域表示起始點(diǎn)收斂至期望平衡點(diǎn)2；③號(hào)區(qū)域的起始點(diǎn)收斂至不期望的穩(wěn)定平衡點(diǎn)3；④號(hào)區(qū)域的起始點(diǎn)則收斂至極限環(huán)運(yùn)動(dòng)。

由圖7（a）可見，當(dāng)滑塊偏移距離z＝0m時(shí)，系統(tǒng)的吸引子僅有一個(gè)期望穩(wěn)定平衡點(diǎn)，該平衡點(diǎn)具有大范圍穩(wěn)定性，飛行器在不同的初始條件下均可以收斂至期望的穩(wěn)定飛行狀態(tài)。區(qū)間z∈（0m，0．075 2m）內(nèi)的吸引區(qū)域與該情況類似。

當(dāng)滑塊偏移距離z＝0．078m時(shí)，系統(tǒng)除期望的穩(wěn)定平衡點(diǎn)外，還存在一個(gè)不期望的穩(wěn)定平衡點(diǎn)和一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)。此時(shí)在高轉(zhuǎn)速條件下，系統(tǒng)的相軌線會(huì)收斂至不期望平衡點(diǎn)或極限環(huán)，且章動(dòng)角越大，吸引域的轉(zhuǎn)速邊界越低。這意味著飛行過程中，飛行器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)會(huì)被鎖定在大章動(dòng)角、高轉(zhuǎn)速的狀態(tài)下，導(dǎo)致飛行器出現(xiàn)失速、失控等問題。因此在飛行過程中，應(yīng)盡量將轉(zhuǎn)速控制在較低的范圍內(nèi)。區(qū)間z∈（0．075 2m，0．080 9m）內(nèi)的吸引區(qū)域與該情況類似。

圖7 滑塊位于不同位置時(shí)各吸引子的吸引域

當(dāng)滑塊偏移距離z＝0．1m時(shí)，情況與z＝0．078m的情況較為接近，系統(tǒng)除期望的穩(wěn)定平衡點(diǎn)外，還存在一個(gè)不期望的穩(wěn)定平衡點(diǎn)和一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)。在此條件下，飛行器轉(zhuǎn)速較高時(shí)，系統(tǒng)的相軌線會(huì)收斂至極限環(huán)或另外一個(gè)不期望的穩(wěn)定平衡點(diǎn)。區(qū)間z∈（0．085 3m，0．142 1m）的吸引區(qū)域與該情況類似。

當(dāng)滑塊偏移距離z＝0．2m時(shí)，此時(shí)不存在期望的穩(wěn)定平衡點(diǎn)，按照初始飛行條件的不同，系統(tǒng)會(huì)收斂至穩(wěn)定的極限環(huán)或不期望平衡點(diǎn)。這兩種穩(wěn)定狀態(tài)均對(duì)再入飛行不利，因此在飛行時(shí)應(yīng)避免滑塊長時(shí)間停留在此位置區(qū)域，或在設(shè)計(jì)時(shí)即對(duì)滑塊位置進(jìn)行限幅，使其運(yùn)行在期望平衡點(diǎn)的有效區(qū)間內(nèi)，即限制z≤0．142 1m。

由以上分析可知，通過限制滑塊最大偏移距離可以有效降低系統(tǒng)被鎖定在不期望定態(tài)中的風(fēng)險(xiǎn)，尤其是當(dāng)z∈（0m，0．075 2m）時(shí)，期望穩(wěn)定平衡點(diǎn)具有大范圍穩(wěn)定性。因此，當(dāng)再入飛行器被鎖定在不期望的吸引子時(shí)，可以通過將滑塊位置調(diào)整回零位附近來解除不良的自鎖狀態(tài)，待飛行器姿態(tài)恢復(fù)正常后再重新對(duì)再入飛行器進(jìn)行有效控制。

4 分岔圖隨系統(tǒng)參數(shù)的變化

對(duì)于分岔圖，除考慮其上的吸引子的吸引域外，分岔特性隨系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律也是十分重要的性質(zhì)。對(duì)于單滑塊變質(zhì)心再入飛行器，其彈體結(jié)構(gòu)參數(shù)及氣動(dòng)力系數(shù)等對(duì)系統(tǒng)的相空間結(jié)構(gòu)具有很大影響。分析各主要系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔圖的影響，可以得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)及氣動(dòng)參數(shù)對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性的影響，從而為彈體結(jié)構(gòu)、氣動(dòng)外形等的設(shè)計(jì)提供參考和依據(jù)。

仍基于前文算例進(jìn)行仿真，通過固定其他參數(shù)而僅改變系統(tǒng)的某一個(gè)參數(shù)，繪制出該參數(shù)變化條件下的分岔圖，即可得到分岔圖隨這一系統(tǒng)參數(shù)的變化規(guī)律。由于期望穩(wěn)定平衡點(diǎn)對(duì)再入飛行器的動(dòng)力學(xué)特性尤為重要，它直接決定了可以具有期望穩(wěn)定狀態(tài)的滑塊最大偏移距離及穩(wěn)定狀態(tài)下章動(dòng)角的大小；而不期望的穩(wěn)定吸引子則僅對(duì)吸引域的分布具有明顯影響。因此，為使分岔圖簡明清晰，下文僅給出含期望穩(wěn)定平衡點(diǎn)的分岔曲線變化規(guī)律，而將另外一條分岔軌跡隱去。這并不意味著系統(tǒng)僅存在這一組定態(tài)曲線。

考慮滑塊相對(duì)于載體質(zhì)心的安裝位置x、y，滑塊質(zhì)量m，零攻角下的升力系數(shù)cy0，零攻角下的俯仰力矩系數(shù)mz0，滾轉(zhuǎn)阻尼力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)，馬格努斯力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)變化條件下分岔圖的變化曲線，結(jié)果如圖8～圖14所示。

x為滑塊的軸向安裝位置。x增大時(shí)，即滑塊在彈體內(nèi)的安裝位置向前移動(dòng)時(shí)，滑塊在側(cè)向的最大穩(wěn)定偏移距離增大，穩(wěn)定狀態(tài)下的章動(dòng)角有所減小。由于該再入體為錐體外形，越靠近再入體前部，則結(jié)構(gòu)上允許的滑塊最大偏移距離越小。因此，在考慮再入體結(jié)構(gòu)尺寸限制的條件下將再入體位置適當(dāng)前移，可以有效增加系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍。

圖8 不同滑塊x向安裝位置的系統(tǒng)分岔圖

圖9 不同滑塊y向安裝位置的系統(tǒng)分岔圖

y減小時(shí)，即滑塊安裝于y軸負(fù)向時(shí)，期望穩(wěn)定狀態(tài)的最大穩(wěn)定偏移距離增大，在阻力的作用下，彈體的穩(wěn)態(tài)攻角有所下降。因此將滑塊放置于載體內(nèi)部偏下的位置有利于增大穩(wěn)定范圍。

圖10 不同滑塊質(zhì)量的系統(tǒng)分岔圖

滑塊質(zhì)量的增加可以有效提高滾轉(zhuǎn)控制的效率，但由圖10可見，提高滑塊質(zhì)量會(huì)導(dǎo)致最大穩(wěn)定偏移距離的減小，因此在增加滑塊質(zhì)量以提高控制效率時(shí)，需同時(shí)減小最大偏移距離，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

由圖11可見，零攻角下的升力系數(shù)cy0對(duì)分岔圖的影響十分明顯，甚至?xí)?dǎo)致分岔曲線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。在本算例中，當(dāng)cy0≥－0．2時(shí)，其絕對(duì)值越大，則系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域越大；當(dāng)cy0＜－0．2時(shí)，系統(tǒng)分岔曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化，從一條分岔曲線拆分為兩條。此時(shí)，隨著滑塊偏移距離的增大，Hopf分岔點(diǎn)的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致期望平衡點(diǎn)從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，且cy0的絕對(duì)值越大，最大穩(wěn)定偏移距離越小。

圖11 不同cy0的系統(tǒng)分岔圖

圖12 不同mz0的系統(tǒng)分岔圖

與cy0類似，mz0的變化同樣會(huì)導(dǎo)致分岔圖拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。當(dāng)mz0≥0．007 5時(shí)，數(shù)值越大，最大穩(wěn)定偏移距離越小，同時(shí)穩(wěn)定配平攻角等比例增大；當(dāng)mz0＜0．007 5時(shí)，分岔曲線一分為二，此時(shí)，mz0越小，則最大穩(wěn)定偏移距離越小，穩(wěn)定配平攻角越小。滾轉(zhuǎn)阻尼力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)增大時(shí)，穩(wěn)定平衡攻角基本保持不變，最大穩(wěn)定偏移距離增大。由于過大的滾轉(zhuǎn)阻尼不利于滾轉(zhuǎn)控制的快速響應(yīng)，因此可以在保證滾轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)具有良好動(dòng)態(tài)特性的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計(jì)較大的滾轉(zhuǎn)阻尼來提高系統(tǒng)在滑塊偏移距離較大時(shí)的穩(wěn)定性。

圖13 不同的系統(tǒng)分岔圖

圖14 不同馬格努斯力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)的系統(tǒng)分岔圖

馬格努斯力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)增大時(shí)，系統(tǒng)的分岔點(diǎn)分布發(fā)生了明顯的變化。隨著馬格努斯力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)的增大，分岔曲線趨于平直，極限點(diǎn)分岔點(diǎn)消失，Hopf分岔點(diǎn)逐步前移。Hopf分岔點(diǎn)的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致期望平衡狀態(tài)從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，且馬格努斯力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)越大，系統(tǒng)的最大穩(wěn)定偏移距離越小。

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用分岔理論，對(duì)單滑塊變質(zhì)心再入飛行器的非線性分岔特性進(jìn)行了分析，結(jié)果表明：

（1）系統(tǒng)存在多個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)及極限環(huán)，再入飛行器的期望飛行姿態(tài)對(duì)應(yīng)其中的一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。該期望平衡點(diǎn)存在最大穩(wěn)定偏移距離，當(dāng)滑塊偏移距離超出此范圍時(shí)，期望穩(wěn)定平衡點(diǎn)消失，系統(tǒng)無法收斂于期望的穩(wěn)定飛行狀態(tài)。因此，需保證飛行過程中，滑塊偏移距離不得長時(shí)間停留在最大穩(wěn)定偏移距離之外。

（2）在高轉(zhuǎn)速及大章動(dòng)角條件下，系統(tǒng)可能位于不期望的吸引子的吸引域范圍內(nèi)，從而導(dǎo)致飛行器姿態(tài)被鎖定在大章動(dòng)角、高轉(zhuǎn)速狀態(tài)下，誘發(fā)失速及失控等問題。因此在飛行過程中，應(yīng)采取有效手段提高期望平衡點(diǎn)的吸引域。由于滑塊偏移距離較小時(shí)，期望的穩(wěn)定平衡狀態(tài)吸引域范圍很大，因此若飛行器被鎖定在不期望的飛行狀態(tài)下，可通過將滑塊調(diào)整至對(duì)稱平面內(nèi)，將飛行器解鎖至正常飛行狀態(tài)。

（3）再入飛行器氣動(dòng)外形及滑塊相對(duì)于質(zhì)心的安裝位置均對(duì)分岔圖具有明顯影響?；瑝K安裝位置向前，向下移動(dòng)，減小滑塊質(zhì)量，增大滾轉(zhuǎn)阻尼力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)均可以增大最大穩(wěn)定偏移距離，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍。

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E－mail：wangyafei＠bit．edu．cn

于劍橋（1972－），通訊作者，男，教授，博士，主要研究方向?yàn)轸敯艨刂啤w行動(dòng)力學(xué)與控制、飛行器總體設(shè)計(jì)。

E－mail：jianqiao＠bit．edu．cn

王林林（1987－），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行動(dòng)力學(xué)與控制、飛行器總體設(shè)計(jì)。

E－mail：wang＿linlin＠bit．edu．cn

蘇曉龍（1989－），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行動(dòng)力學(xué)與控制、飛行器總體設(shè)計(jì)。

E－mail：suxiaolong＠bit．edu．cn

Bifurcation characteristics of reentry vehicle with one moving point mass

WANG Ya－fei，YU Jian－qiao，WANG Lin－lin，SU Xiao－long
（School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

Based on the nonlinear dynamic model，the variations of values and stability of equilibrium points for the reentry vehicle with one moving point mass are presented and the bifurcation diagram of the attitude motion is obtained．Then the domains of attraction of the attractors on typical conditions are computed．The results show that the deflection distance of the moving－mass element has a great impact on the quantities and stability of the system’s equilibrium points，and the final convergence status of the flight vehicle is also greatly affected by the initial conditions of the flight motion．Inappropriate initial conditions may cause the reentry vehicle being locked in an undesired equilibrium point or limit cycle and result in problems such as stall or loss－of－control．In addition，by analyzing the variation of bifurcation diagrams of the system with different parameters，the impacts of the structural and aerodynamic parameters of the reentry vehicle on the system’s bifurcation characteristics are summed up，which can provide a reference for the design of the system parameters．

moving mass actuated vehicle；nonlinear dynamics；bifurcation；domain of attraction

TJ 761．3

A

10．3969／j．issn．1001－506X．2015．06．18

王亞飛（1987－），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行動(dòng)力學(xué)與控制、飛行器總體設(shè)計(jì)。

1001－506X（2015）06－1338－09

2014－07－21；

2014－10－21；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014－11－20。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141120．2109．008．html

國家自然科學(xué)基金（61350010）資助課題