含混性與多值邏輯

陳明益

（中山大學(xué)哲學(xué)系，廣東廣州510275）

一、含混性引發(fā)的邏輯疑難

根據(jù)二值原則，我們言說(shuō)某事物的話語(yǔ)是或者真或者假，因此相對(duì)于會(huì)話語(yǔ)境我們表達(dá)話語(yǔ)的語(yǔ)句就有確定真值。按照弗雷格、羅素和早期維特根斯坦的觀點(diǎn)，一種邏輯上完善的語(yǔ)言是二值的，并且這種語(yǔ)言中的每個(gè)合式公式都是或真或假，可見(jiàn)二值對(duì)于現(xiàn)代邏輯核心的形式系統(tǒng)的所有標(biāo)準(zhǔn)解釋是必不可少的。然而，二值原則對(duì)于日常語(yǔ)言的許多語(yǔ)句是成問(wèn)題的。我們看下列三個(gè)語(yǔ)句：

（1）明年12月21日中午我將在北京。

（2）飛馬有一條白色的后腿。

（3）蒂莫西·威廉姆森（Timothy Williamson）是瘦的[1]185。

語(yǔ)句（1）涉及未來(lái)偶然事件，因?yàn)樗诋?dāng)下時(shí)刻既不能肯定也不能否定，只是可能而非必然，所以它既不真也不假。語(yǔ)句（2）包含空名或虛構(gòu)名稱，即其中的單稱詞項(xiàng)“飛馬”沒(méi)有指稱，所以它也沒(méi)有確定真值。語(yǔ)句（3）同樣沒(méi)有確定真值，因?yàn)樗闹^詞“是瘦的”具有含混性（vagueness）。

通常，我們把“是瘦的”這類謂詞稱作含混謂詞，日常語(yǔ)言中有許多這樣的詞，如“是禿頭”、“是高的”等。含混謂詞的主要特征是它應(yīng)用來(lái)描述的事物情形與不能應(yīng)用來(lái)描述的事物情形之間沒(méi)有精確邊界，總會(huì)出現(xiàn)邊界情形（borderline case）。以“是瘦的”為例。它可以用來(lái)描述體重僅為50公斤的成年男性，不能用來(lái)描述體重100公斤的成年男性，但它能否用來(lái)描述體重75公斤的成年男性則是不確定的。因此，就威廉姆森的身材來(lái)說(shuō)，沒(méi)有人知道他是否是瘦的，即使將他的體重測(cè)量結(jié)果與其他人進(jìn)行比較也無(wú)法做出斷定。于是，類似體重75公斤的人這樣的情形就屬于含混謂詞“是瘦的”的邊界情形。當(dāng)描述邊界情形時(shí)，包含含混謂詞的語(yǔ)句沒(méi)有確定真值，我們把這樣的語(yǔ)句稱作邊界語(yǔ)句（borderline sentence）。上述語(yǔ)句（3）就可能是一個(gè)邊界語(yǔ)句?；诖耍胖新傻囊粋€(gè)實(shí)例“或者威廉姆森是瘦的或者威廉姆森不是瘦的”也沒(méi)有確定真值。因此，日常語(yǔ)言的含混性導(dǎo)致經(jīng)典邏輯的排中律或二值原則失效。

不僅如此，當(dāng)我們用經(jīng)典邏輯的有效規(guī)則對(duì)包含含混表達(dá)式的語(yǔ)句進(jìn)行推理或論證時(shí)，堆垛悖論（sorites paradox）便會(huì)產(chǎn)生出來(lái)。含混謂詞應(yīng)用的情形沒(méi)有精確邊界，這就意味著它指稱的概念的外延沒(méi)有固定界限，或者說(shuō)它的外延邊界是彈性的。按照萊特（C．Wright）的觀點(diǎn)，含混謂詞具有容忍性（tolerance），也即它能夠容忍謂詞外延范圍內(nèi)的細(xì)小變化而不會(huì)造成大的影響[2]。例如，如果“是瘦的”可以應(yīng)用于體重50公斤的成人，那么它也可以應(yīng)用于體重50．1公斤的成人。我們可以用含混謂詞“是瘦的”描述這樣一個(gè)序列的事物：a0，a1，a2，……，an，其中a0表示“體重 50 公斤的成人”，an表示“體重 50+n/10 公斤的成人”。這樣的序列我們稱作堆垛序列，在這個(gè)序列上任意兩個(gè)相鄰事物間的差異非常之小以致無(wú)法區(qū)分，如果含混謂詞可以應(yīng)用于an，那么它必定也可應(yīng)用于an+1。此外，含混謂詞可以明確地應(yīng)用于序列的第一個(gè)事物，而不能應(yīng)用于序列的最后一個(gè)事物。顯然，“a0是瘦的”為真，并且對(duì)于任意n（n為自然數(shù)），如果“an是瘦的”為真，那么“an+1是瘦的”也為真。經(jīng)過(guò)連續(xù)多次運(yùn)用分離規(guī)則（modus ponens），我們可以證明體重100公斤的成人是瘦的（也即n=500）。這個(gè)結(jié)論明顯為假。我們可以換用不同的含混謂詞做出同樣論證，例如“是禿頭”、“是紅的”，最后得到的結(jié)果分別是“無(wú)論有多少頭發(fā)我總是禿頭”、“紅色是藍(lán)色”。借用這種堆垛論證，我們幾乎可以證明任何明顯為假的事情。堆垛論證有許多不同種類的形態(tài)，海棣（D．Hyde）曾給出六種不同的論證型式[3]1～17。我們?cè)诖酥饕P(guān)注它討論最多的標(biāo)準(zhǔn)型式，也即條件句型式的堆垛論證。我們熟知的（谷）堆悖論和禿頭悖論都可使用這種型式表達(dá)。令F表示含混謂詞，a0，a1，a2，……，an表示相應(yīng)的堆垛序列的事物，條件句型式的堆垛論證可以表述如下：

堆垛論證之所以稱為悖論，是因?yàn)樗那疤岫伎雌饋?lái)為真，推理也是有效的，結(jié)論卻為假。關(guān)于悖論，我們至少可以有三種方式拒斥它：或者證明它的論證不可靠，因?yàn)樗鼘?shí)際上有某個(gè)或某些假的前提；或者證明它的論證形式無(wú)效，因?yàn)樗褂玫耐评硇问綗o(wú)效；或者兩者兼有之。確實(shí)，一種好的含混性解釋理論應(yīng)當(dāng)能夠提供堆垛悖論的一種好的解決方案。

二、三值邏輯的解決方案

既然經(jīng)典二值邏輯不能處理含混性問(wèn)題，作為基于哲學(xué)的考量而產(chǎn)生的第一個(gè)非經(jīng)典邏輯，多值邏輯自然被用作一種替代方案。我們這里僅考慮三值邏輯。不過(guò)，大多數(shù)三值邏輯的產(chǎn)生不是由于含混性問(wèn)題。例如，皮爾士（C．S．Peirce）既關(guān)注過(guò)含混性問(wèn)題又考慮過(guò)三值邏輯，但是他沒(méi)有發(fā)表他的三值表，我們也不清楚他對(duì)三值邏輯的信念有多堅(jiān)定，所以皮爾士是否有意將三值邏輯的基本原理應(yīng)用于含混性問(wèn)題尚不得而知。盧卡西維茨在1920年代正式提出的第一個(gè)三值邏輯系統(tǒng)也是基于自由意志或非決定論問(wèn)題。俄國(guó)數(shù)學(xué)家鮑契瓦爾（D．Bochvar）在1937年提出兩個(gè)非常不同的三值邏輯系統(tǒng)，但他的動(dòng)機(jī)是為了解決經(jīng)典邏輯和集合論中出現(xiàn)的悖論，特別是說(shuō)謊者悖論?？肆郑⊿．C．Kleene）在1938年受到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的啟發(fā)創(chuàng)立了一種強(qiáng)三值邏輯，后又在1952年的《元數(shù)學(xué)導(dǎo)論》中建立弱三值邏輯，但他的動(dòng)機(jī)主要來(lái)自算術(shù)。

第一位嘗試將多值邏輯用來(lái)解釋含混性的人是瑞典邏輯學(xué)家哈爾登（S．Hallden）。他在1949年的著作《無(wú)意義的邏輯》中認(rèn)為，一個(gè)命題是“無(wú)意義的”意指它既不真也不假[4]9。因此，邊界語(yǔ)句的真值就是無(wú)意義，既不真也不假。例如，“1000根頭發(fā)的人是禿頭”是“無(wú)意義”命題。哈爾登通過(guò)采用一種包含真、假和無(wú)意義的三值邏輯來(lái)適應(yīng)“無(wú)意義”的語(yǔ)言。為此，他給出一個(gè)包含二值真值表的三值表，如果每個(gè)支命題是真或者假，那么復(fù)合命題擁有與二值表相同的真值；如果任何一個(gè)支命題是“無(wú)意義”，那么復(fù)合命題也是“無(wú)意義”（見(jiàn)表1）。除了表1所示真值表外，哈爾登還引入一個(gè)新的一元算子+。+p意味著p是“有意義的”。因此，如果p是“無(wú)意義”，+p就為假而不是“無(wú)意義”。否則，它為真（見(jiàn)表2）。因此，┐+p意味著p是“無(wú)意義”。哈爾登將真和無(wú)意義都當(dāng)作指派值，也即非假的保存。他給出的有效性定義是：一個(gè)公式是有效的，只要它不為假而不必為真。

（表 1）

（表 2）

顯然，根據(jù)哈爾登的三值邏輯，條件句型式的堆垛論證是一個(gè)無(wú)效論證，因?yàn)樗褂玫耐评硪?guī)則是無(wú)效的。也就是說(shuō)，分離規(guī)則在哈爾登的三值邏輯系統(tǒng)內(nèi)是無(wú)效的。我們來(lái)檢驗(yàn)這個(gè)規(guī)則的一個(gè)應(yīng)用形式是否有效，也即從（p∨┐p）→+p和p∨┐p到+p的推理。無(wú)論我們?nèi)绾钨x值，它的兩個(gè)前提都不為假，但當(dāng)p是“無(wú)意義”時(shí)它的結(jié)論為假。因此，分離規(guī)則對(duì)于涉及算子+的公式無(wú)效。我們?cè)倏捶蛛x規(guī)則對(duì)不涉及算子+的公式是否有效。當(dāng)p是“無(wú)意義”并且q為假時(shí)，前提p→q和p不為假而結(jié)論q為假，分離規(guī)則仍然無(wú)效。由此可知，根據(jù)哈爾登的三值邏輯的有效性定義，分離規(guī)則缺少有效推理形式的屬性：當(dāng)前提采取指派值，結(jié)論也取指派值。但是，按照這個(gè)有效性定義，排中律是有效的，因?yàn)樗m然不為真但也不為假，而這與排中律在含混語(yǔ)言中失效的觀念相矛盾。因此，哈爾登的三值邏輯似乎不是適合含混語(yǔ)言的有效邏輯。

科爾納（S．Korner）在1966年的著作中用一種不同版本的三值邏輯來(lái)處理含混性問(wèn)題[5]37～40?？茽柤{將他的三值邏輯稱為“不確切概念的邏輯”。根據(jù)科爾納的觀點(diǎn)，不確切性源自事例所定義的概念的邊界情形。這樣的概念F將對(duì)象劃分為：正面候選者，也即必定被選擇為F的正面實(shí)例；反面候選者，也即必定被選擇為反面實(shí)例；以及中立候選者，也即可能選擇為正面或反面實(shí)例，這依賴于自由選擇。由此，就有一種三值的前選擇邏輯和一種二值的后選擇邏輯。概念的三種候選者對(duì)應(yīng)三種命題：真、假和中立。真和假被想象為穩(wěn)定態(tài)，中立被想象為臨時(shí)態(tài)。我們可以通過(guò)自由選擇選取一個(gè)中立命題為真或假?？茽柤{的三值語(yǔ)義真值表如下（表3）：

（表 3）

從科爾納的三值表，我們看到否定和等值聯(lián)接詞的語(yǔ)義解釋與哈爾登的三值表相同。但是兩者也有不同：首先，科爾納取消了哈爾登的一元算子+的真值表；其次，對(duì)于合取聯(lián)接詞，當(dāng)一個(gè)合取支為假而另一個(gè)合取支是中間值時(shí)，根據(jù)哈爾登的三值表合取式為中間值而根據(jù)科爾納的三值表合取式為假；再次，對(duì)于析取聯(lián)接詞，當(dāng)一個(gè)析取支為真而另一個(gè)析取支為中間值時(shí)，根據(jù)哈爾登的三值表析取式為中間值而根據(jù)科爾納的三值表析取式為真；最后，對(duì)于蘊(yùn)涵聯(lián)接詞，當(dāng)前件為中間值而后件為真，或者當(dāng)前件為假而后件為中間值時(shí)，根據(jù)哈爾登的三值表?xiàng)l件句為中間值而根據(jù)科爾納的三值表?xiàng)l件句為真。

科爾納似乎沒(méi)有明確說(shuō)明將哪個(gè)或哪些值作為指派值并給出相應(yīng)的有效性定義。按照科爾納的三值表，如果真是唯一的指派值，沒(méi)有公式將是有效的，因?yàn)楫?dāng)一個(gè)公式的所有語(yǔ)句變?cè)际侵辛⒌臅r(shí)候這個(gè)公式是中立的。不矛盾律、同一律都是無(wú)效的，不過(guò)分離規(guī)則是有效的。如果真和中立都是指派值，那么有效的公式將與經(jīng)典邏輯的那些有效公式相符，但分離規(guī)則例外，因?yàn)楫?dāng)p為中立值而q為假時(shí)，p→q和p都取指派值而q取非指派值，因而推理無(wú)效。但是，在這種有效性定義下排中律仍然成立。因此，將科爾納的三值邏輯用來(lái)處理含混性問(wèn)題確實(shí)是一個(gè)困難。

三、模糊邏輯的解決方案

以三值邏輯為代表的有限多值邏輯（其值的數(shù)量為n，n為自然數(shù)且n≥3）將真值劃分出離散的邊界與堆垛序列的連續(xù)性不相容，因此人們猜想真值可能是連續(xù)地變化，由此產(chǎn)生一種“真”以連續(xù)的度變化的邏輯，這就是模糊邏輯。盧卡西維茨創(chuàng)立的連續(xù)值或無(wú)限值邏輯是形式化的模糊邏輯的基礎(chǔ)。一些得到最廣泛研究的模糊邏輯都是建立在盧卡西維茨的無(wú)限值系統(tǒng)基礎(chǔ)上。在后來(lái)模糊集合的基礎(chǔ)上發(fā)展出一種形式上相似于連續(xù)值邏輯的模糊邏輯，因而連續(xù)值邏輯被看作建構(gòu)模糊邏輯的一種自然和基本方式。模糊邏輯通過(guò)一系列規(guī)則和多值邏輯聯(lián)系起來(lái)，主要運(yùn)用了盧卡西維茨的連續(xù)值邏輯（continuumvalued logic）[6]。

我們令語(yǔ)句p的真度是［p］，它被假定為0和1之間的實(shí)數(shù)。當(dāng)p是完全真時(shí)，［p］=1；當(dāng)p是完全假時(shí)，［p］=0；當(dāng)q是至少和p一樣真時(shí)，［p］≤［q］。盧卡西維茨的連續(xù)值邏輯有以下語(yǔ)義學(xué)：

（≡）［p≡q］=1+min{［p］，［q］}-max{［p］，［q］

（?）［?xFx］=Glb{［Aa/x］：對(duì)于所有的a}（即所有實(shí)例的真度的最大下界）

（?）［?xFx］=Lub{［Aa/x］：對(duì)于所有的a}（即所有實(shí)例的真度的最小上界）

在這種模糊語(yǔ)義學(xué)中，盧卡西維茨將1（即完全真）作為唯一的指派值，一個(gè)公式是有效的只要它在其原子語(yǔ)句的任何真度賦值下皆為完全真。因此，推理形式是有效的只要它的結(jié)論在所有前提為完全真的賦值下為完全真，也即有效性被定義為完全真的保存。但是，也有哲學(xué)家將有效性定義為真度的保存，即結(jié)論的真度不低于最低值的前提的真度。

根據(jù)上述模糊語(yǔ)義學(xué)，我們可以賦予邊界語(yǔ)句一定的真度（0到1之間）。以含混謂詞“是禿頭”為例，那么就有一個(gè)堆垛序列：a0，a1，a2，……，an，其中a0表示“有 0 根頭發(fā)的人”，an表示“有 n 根頭發(fā)的人”。顯然，“a0是禿頭”為真，并且對(duì)于任意n（n為自然數(shù)），如果“an是禿頭”為真，那么“an+1是禿頭”也為真。假設(shè)n=100000，通過(guò)連續(xù)運(yùn)用10萬(wàn)次分離規(guī)則，我們可以得到結(jié)論“有10萬(wàn)根頭發(fā)的人是禿頭”，這個(gè)結(jié)論明顯為假。問(wèn)題是，這里使用的分離規(guī)則是否有效。這就依賴于我們采用什么樣的有效性標(biāo)準(zhǔn)。如果有效性被定義為完全真的保存，那么分離規(guī)則是有效的，因?yàn)槿绻鹥和p→q在度1上為真，那么q也是。在這種意義上，堆垛論證是有效的，但這意味著一個(gè)有效論證可以有幾乎完全真的前提和完全假的結(jié)論。如果有效性被定義為真度的保存，那么分離規(guī)則不是有效的，因?yàn)槿绻鹥和p→q在至少99999/100000的度上為真，那么q可能只在99998/100000的度上為真，這樣結(jié)論的真度就低于前提的真度。我們換種簡(jiǎn)單的方式來(lái)說(shuō)明。例如，當(dāng)［p］=0．7，［q］=0．6，［p→q］的真度就為 1+0．6-0．7=0．9，這樣前提 p 的真度為0．7，另一前提p→q的真度為0．9，而結(jié)論q的真度為0．6，顯然結(jié)論q的真度低于最低值的前提p的真度，這違反了有效性標(biāo)準(zhǔn)。因此，如果分離規(guī)則不是有效的，那么堆垛論證就是一個(gè)無(wú)效論證。

然而，按照模糊語(yǔ)義學(xué)的分析，堆垛論證不在于它是有效還是無(wú)效，它其實(shí)是不可靠的，因?yàn)樗俚那疤?。為什么我們不能識(shí)別出這些假的前提，并且還傾向于接受這些假前提呢？在上述有關(guān)禿頭的堆垛論證中，它的第一個(gè)前提Fa0是完全真，而結(jié)論Fan是完全假。根據(jù)真度理論，隨著n從0增加到100000，F(xiàn)an的真度在不知不覺(jué)地減少。但是，為什么我們無(wú)法察覺(jué)到這種減少呢？我們可以使Fan在1-（n/100000）（0≤n≤100000）的度上為真（這樣Fa0是完全真而Fa100000是完全假），于是真度從Fan到Fan+1的下降僅僅是1/100000，這意味著在堆垛論證的每個(gè)條件句前提中，前件僅僅由于1/100000的程度比后件更真。根據(jù)蘊(yùn)涵聯(lián)接詞的解釋（→），每個(gè)條件句前提在99999/100000的度上為真。我們?cè)谶B續(xù)運(yùn)用分離規(guī)則的過(guò)程中不斷從前提Fan（在（100000-n）/100000的度上為真）和Fan→Fan+1（在99999/100000的度上為真）推出結(jié)論Fan+1（在（99999-n）/100000的度上為真）。因此，中間結(jié)論的真以1/100000的程度在不斷下降。由于論證的每個(gè)步驟都是同等地位，所以每個(gè)條件句前提都是幾乎完全真，不存在一個(gè)切割點(diǎn)可以區(qū)分從真到假的轉(zhuǎn)變。在堆垛論證的條件句前提中細(xì)小的假度導(dǎo)致它的結(jié)論中高的虛假度。我們無(wú)法察覺(jué)這種細(xì)小的假度，反過(guò)來(lái)由于這些條件句前提的真度極高（幾乎接近完全真），所以我們又傾向于接受它們。因此，堆垛論證可能既是無(wú)效的，也是不可靠的。

四、多值邏輯解釋的困境

以三值邏輯和模糊邏輯為代表的多值邏輯已經(jīng)發(fā)展成為解釋含混性的一種標(biāo)準(zhǔn)理論，但是由于下述兩個(gè)方面的困難，它很難成為一種好的含混性解釋理論，因而也不能提供一種好的關(guān)于堆垛悖論的解決方案。

首先，一個(gè)困難是高階含混性問(wèn)題。三值邏輯直接遭遇二階含混性問(wèn)題。既然人們認(rèn)為將含混命題劃分為真與假是不合理的，同樣將含混命題劃分為真、假和中間值也是不合理的。如果我們認(rèn)為經(jīng)典二值邏輯將真與假之間劃分清晰的界線是反直覺(jué)的，那么三值邏輯將真與中間值以及中間值與假之間劃分清晰界線也是反直覺(jué)的。例如，當(dāng)僅有一粒谷子的時(shí)候，語(yǔ)句“這是一個(gè)堆”明顯為假，但是隨著我們每次不斷增加一粒谷子，在某個(gè)時(shí)刻上這個(gè)語(yǔ)句就變?yōu)檎妫ū热缭黾拥?00萬(wàn)粒谷子）。然而，我們不能識(shí)別出一個(gè)切割點(diǎn)（也即增加到多少粒谷子的時(shí)候），在這個(gè)點(diǎn)上語(yǔ)句由假變?yōu)檎?。同樣，我們也不能識(shí)別出兩個(gè)這樣的切割點(diǎn)：一個(gè)是從假轉(zhuǎn)變成中間值，另一個(gè)是從中間值轉(zhuǎn)變成真。如果兩個(gè)值不夠，那么三個(gè)值（甚至更多值）也是不夠的，反對(duì)二值邏輯的論證同樣適用于自身。因此，三值邏輯遭遇的二階含混性將繼續(xù)導(dǎo)致高階含混性：“最初劃分為三類（真/假/邊界）讓位于劃分為五類（清晰的真/真和邊界之間的邊界/清晰的邊界/假和邊界之間的邊界/清晰的假），這又依次讓位于劃分為九類，等等。這不是一個(gè)可接受的遞歸。分割成新的類是我們還沒(méi)有充分解釋這種潛在現(xiàn)象的征兆”[7]。因此，解決三值邏輯的困境不是用更多值（比如十七值）的邏輯來(lái)替代三值邏輯，因?yàn)榉磳?duì)三值邏輯的論證同樣適用于n（n≥3）值邏輯，而且n的選擇是任意的。這也是為什么應(yīng)用于解釋含混性的多值邏輯逐漸趨向于使用無(wú)限多值的模糊邏輯。但是，模糊邏輯也有類似問(wèn)題。模糊邏輯用兩個(gè)其他的劃分來(lái)代替真假劃分：“在度1上的真與小于1的正度上的真之間的劃分，以及在大于0的某個(gè)度上的真與在度0上的真之間的劃分”[7]。事實(shí)上，我們把某個(gè)模糊真值賦予給每個(gè)對(duì)象形成特殊函數(shù)，再將日常語(yǔ)言的每個(gè)含混謂詞與這些特殊函數(shù)相聯(lián)系，并將每個(gè)含混語(yǔ)句與特殊的模糊真值相聯(lián)系，這種做法只會(huì)造成人為的清晰性，因而是不合理的。

其次，解釋含混性的多值邏輯都暗地假定了真值函項(xiàng)的理念，也即根據(jù)真值函項(xiàng)聯(lián)接詞形成的復(fù)合句的真值分類依賴于其子句的真值分類。模糊邏輯的度函項(xiàng)就體現(xiàn)了這種真值函項(xiàng)理念。真度理論假定復(fù)合句的真度是其成分句的真度的函數(shù)，因此在模糊邏輯中聯(lián)接詞同樣被真值函項(xiàng)地定義。然而，這種度函項(xiàng)假定存在問(wèn)題。假設(shè)p在與q相同的度上為真，那么p∧q與p∧p也在相同的度上為真。既然p∧p與p在相同的度上為真，那么p∧q也與p在相同的度上為真。我們假設(shè)某人漸漸入睡，語(yǔ)句“他是醒著的”和“他是睡著的”都是含混的。按照真度理論，隨著前者在真度上下降而后者在真度上上升，在某個(gè)點(diǎn)上它們就有相同的真度，也即中間真度。因此，合取式“他是醒著的并且他是睡著的”也有相同的中間真度。然而，根據(jù)定義“醒著”和“睡著”是相互排斥的，“他是醒著的并且他是睡著的”根本就不可能為真，我們?nèi)瞬豢赡芴幵谶@個(gè)合取式為真的情形與它為假的情形之間的不清楚區(qū)域。如果我們用“他不是醒著的”代替“他是睡著的”，那么在某個(gè)點(diǎn)上“他是醒著的”為半真（中間真度），所以“他不是醒著的”也為半真，于是“他是醒著的并且他不是醒著的”也將算作半真。一個(gè)明顯的矛盾式怎么可能在任何度上為真而不是假呢？因此度函項(xiàng)對(duì)于合取式是失效的，同理可知，度函項(xiàng)對(duì)于析取和條件句都失效。真值函項(xiàng)對(duì)于最基本的邏輯算子的語(yǔ)義學(xué)很重要，但它可能不是根據(jù)度來(lái)描述。因此，通過(guò)用真度取代真值從而將真值條件語(yǔ)義學(xué)適用于含混語(yǔ)言，這種做法是失敗的。按照威廉姆森的觀點(diǎn)，多值邏輯雖然在提高形式化程度方面致力于解決含混性問(wèn)題，但它卻與含混性問(wèn)題的哲學(xué)動(dòng)機(jī)不一致[1]130。

[1]Williamson，T.Vagueness[M].London and New York：Routledge，1994.

[2]Wright，C.Further reflections on the Sorites Paradox[J].Philosophical Topics，1987，15（1）.

[3]Hyde，D.The Sorites Paradox[M]//Giuseppina Ronzitti.Vagueness：A Guide.Dordrecht·Heidelberg·London·New York：Springer，2011.

[4]Hallden，S.The Logic of Nonsense[M].Uppsala：Uppsala Universitets Arsskrift，1949.

[5]Korner，S.Experience and Theory[M].London：Routledge&Kegan Paul，1966.

[6]霍書全.多值邏輯與悖論[J].中國(guó)社會(huì)科學(xué)院研究生院學(xué)報(bào)，2010，（5）.

[7]Eklund，M.Recent Work on Vagueness[J].Analysis，2011，71（2）.