握手的次數(shù)

范敏祎

我們經(jīng)常會(huì)碰到有關(guān)求多邊形對(duì)角線條數(shù)的問(wèn)題，那么這樣的問(wèn)題該怎么去解決，如何去思考呢？

首先我們可以通過(guò)畫圖來(lái)找到關(guān)于多邊形對(duì)角線的規(guī)律

例如： 四邊形對(duì)角線有2條 五邊形對(duì)角線有5條.

可以看到，2，5，9，14……這些數(shù)字背后存在著規(guī)律，我們可以根據(jù)這些規(guī)律去解決問(wèn)題.那么，有沒(méi)有簡(jiǎn)單一點(diǎn)的方法呢？我們可以從多邊形對(duì)角線的定義來(lái)想：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

先考慮從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線數(shù)目，它不能向本身引對(duì)角線，不能向相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線，它只能向n邊形剩下的（n-3）個(gè)頂點(diǎn)連接對(duì)角線.因此，一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)能引的對(duì)角線數(shù)為n-3條；又因?yàn)閚邊形共有n個(gè)頂點(diǎn)，就一共能引n（n-3）條，但是考慮到每一條對(duì)角線都是由兩個(gè)頂點(diǎn)連接構(gòu)成的，這樣計(jì)算所得的對(duì)角線中有一半是重復(fù)的，所以正確答案應(yīng)該是 .

而多邊形對(duì)角線的問(wèn)題與另一個(gè)著名的問(wèn)題有著異曲同工之妙，那就是“握手問(wèn)題”.

“握手問(wèn)題” 屋子里有n個(gè)人，每?jī)蓚€(gè)人都要握一次手，又不能重復(fù)握手，那么這n個(gè)人一共握了幾次手？

我們可以把每個(gè)人看做多邊形的頂點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)人握一次手就是每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)之間連接一條線段.因不能和自己握手，所以一個(gè)人可以和n-1個(gè)人握手，所以總握手次數(shù)就是n（n-1）次；但你和我握與我和你握的意義是一樣的，所以總次數(shù)中有一半是重復(fù)的，所以正確答案是 .

大家可以發(fā)現(xiàn)：多邊形對(duì)角線問(wèn)題與握手問(wèn)題的本質(zhì)是相同的.多邊形對(duì)角線條數(shù)的解決其實(shí)是“握手問(wèn)題”的一種應(yīng)用.

握手問(wèn)題除了能解決多邊形條數(shù)問(wèn)題外，還能解決送禮物問(wèn)題：n個(gè)人，每?jī)蓚€(gè)人之間都要互送禮物一共要準(zhǔn)備多少份禮物？握手問(wèn)題中，我和你握手，你和我握手，屬于重復(fù)，具有相同的意義；

送禮物問(wèn)題中，我送你禮物，你送我禮物具有不同意義，不屬于重復(fù)，所以可以得到n個(gè)人互相送禮物要送n（n-1）份.

類似，車票問(wèn)題：一條剛開(kāi)通的鐵路上一共建設(shè)有x個(gè)車站，每?jī)蓚€(gè)車站之間要準(zhǔn)備車票，那么要準(zhǔn)備多少種車票？這個(gè)問(wèn)題和送禮物問(wèn)題同理，甲車站到乙車站的車票與乙車站到甲車站的車票意義不同，所以這條鐵路x個(gè)車站之間一共要準(zhǔn)備x（x-1）種車票.

看到這，大家有沒(méi)有感受到數(shù)學(xué)問(wèn)題很多都是相通的，關(guān)鍵就是識(shí)破它們各自的“偽裝”.如果我們以后遇到一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題，我們可以試著像解決握手問(wèn)題一樣，先把它轉(zhuǎn)換成一個(gè)我們所熟悉的問(wèn)題，然后去探索兩者之間的關(guān)系，這樣去思考問(wèn)題，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題有時(shí)候就不是一個(gè)難題了.

（指導(dǎo)老師：浦長(zhǎng)宇）