陳娟

趣味數(shù)學(xué)題（一）

1. 過橋

今有a、b、c、d四人在晚上都要從橋的左邊到右邊. 此橋一次最多只能走兩人，而且只有一只手電筒，過橋時(shí)一定要用手電筒. 四人過橋最快所需時(shí)間為：a：2 分；b：3 分；c：8 分；d：10分. 走得快的人要等走得慢的人，請(qǐng)問何種走法才能在 21 分 鐘內(nèi)讓所有的人都過橋？

【解析】先是a和b一起過橋，然后將b留在對(duì)岸，a獨(dú)自返回. a返回后將手電筒交給c和d，讓c和d一起過橋，c和d到達(dá)對(duì)岸后，將手電筒交給b，讓b將手電筒帶回，最后a和b再次一起過橋. 則所需時(shí)間為：3+2+10+3+3=21（分鐘）.

2. 巧插數(shù)字

125×4×3=2 000

這個(gè)式子顯然不等，可是如果在算式中巧妙地插入兩個(gè)數(shù)字“7”，這個(gè)等式便可以成立，你知道這兩個(gè)7應(yīng)該插在哪兒?jiǎn)幔?/p>

【解析】 插入數(shù)字后的式子為：1 725×4×3=20 700.

3. 溫馨四季

春夏 × 秋冬 = 夏秋春冬

春冬 × 秋夏 = 春夏秋冬

式中 春、夏、秋、冬 各代表四個(gè)不同的數(shù)字，你能指出它們各代表什么數(shù)字嗎？

【解析】春=2；夏=1；秋=8；冬=7.

4. 破車下山

一個(gè)破車要走兩英里的路，上山及下山各一英里，上山時(shí)平均速度每小時(shí)15英里，問當(dāng)它下山走第二個(gè)一英里的路時(shí)要多快才能達(dá)到平均速度為每小時(shí)30英里？是45英里嗎？你可要考慮清楚了呦！

【解析】無(wú)論如何破車的平均速度也不可能達(dá)到30英里/小時(shí). 因?yàn)楫?dāng)平均速度為30英里/小時(shí)時(shí)，破車上、下山的總時(shí)間應(yīng)為小時(shí). 而破車上山就用了小時(shí). 所以說(shuō)破車的平均速度是達(dá)不到30英里/小時(shí)的.

5. 共賣多少雞蛋

王老太上集市去賣雞蛋，第一個(gè)人買走籃子里雞蛋的一半又一個(gè)，第二個(gè)人買走剩下雞蛋的一半又一個(gè)，這時(shí)籃子里還剩一個(gè)雞蛋，請(qǐng)問王老太共賣出多少個(gè)雞蛋？

【解析】王老太共賣了10個(gè)雞蛋.

6. 有多少人參加考試

試卷上有6道選擇題，每題有3個(gè)選項(xiàng)，結(jié)果閱卷老師發(fā)現(xiàn)，在所有卷子中任選3張答卷，都有一道題的選擇互不相同，請(qǐng)問最多有多少人參加了這次考試？

【解析】最多有13人參加考試.

趣味數(shù)學(xué)題（二）

1. 丟番圖的墓志銘

古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的墓志銘里包含一個(gè)有趣的一元一次方程問題： 過路人！這兒埋葬著丟番圖，他生命的六分之一是童年；再過了一生的十二分之一后，他開始長(zhǎng)胡須；又過了一生的七分之一后他結(jié)了婚；婚后五年他有了兒子，但可惜兒子的壽命只有父親的一半；兒子死后，老人再活了四年就結(jié)束了余生.

根據(jù)這個(gè)墓志銘，請(qǐng)計(jì)算出丟番圖的壽命.

【解析】設(shè)丟番圖壽命為x歲，由題意得+++5++4=x，化簡(jiǎn)這個(gè)方程，得+9=x. 解之，得x=84. 就是說(shuō)，丟番圖的壽命是84歲.

2. 怎樣合算

小李班里的45個(gè)同學(xué)在石老師的帶領(lǐng)下到一個(gè)風(fēng)景點(diǎn)春游. 他們準(zhǔn)備買票時(shí)，看見一塊牌子上寫著：“請(qǐng)游客購(gòu)票：每張票票價(jià)2元；50人或50人以上可以購(gòu)買團(tuán)體票，票價(jià)按八折優(yōu)惠. ”很多同學(xué)提出：“我們應(yīng)該怎樣買票比較合算？”石老師說(shuō)：“這個(gè)問題問得好，看誰(shuí)能計(jì)算出來(lái). ”

【解析】買46張個(gè)人票應(yīng)付錢：2×46=92（元）. 買50張團(tuán)體票應(yīng)付錢：2×50×80%=80（元）. 買團(tuán)體票比買個(gè)人票少付：92-80=12（元）. 所以，應(yīng)該買團(tuán)體票.

3. 分蘋果

秋天到了，小猴征征種的蘋果都成熟了，他挑了最好的蘋果裝在6個(gè)箱子中，準(zhǔn)備送給好朋友童童和欣欣，6個(gè)箱子中分別裝有11、12、14、16、17、20個(gè)蘋果. 因?yàn)橥。詵|西少一些，所以他準(zhǔn)備只把1/3的蘋果分給童童，其余的分給欣欣，箱子不能拆分，你知道征征是怎么分的嗎？

【解析】6個(gè)箱子中共有蘋果11+12+14+16+17+20=90（個(gè)），所以童童應(yīng)分蘋果90×=30（個(gè)）. 因?yàn)?4+16=30（個(gè)），所以應(yīng)該把裝有14、16個(gè)蘋果的兩箱蘋果分給童童，其余的分給欣欣.

4. 誰(shuí)將取勝

第三屆動(dòng)物運(yùn)動(dòng)會(huì)上，老虎和獅子在1 200米的長(zhǎng)跑比賽中成績(jī)相同. 為最后決出勝負(fù)，裁判老猴讓老虎和獅子舉行附加賽. 這兩頭猛獸最后賽的是百米來(lái)回跑，共計(jì)200米遠(yuǎn). 老虎每跨一步為2米，獅子一步為3米，但老虎每跨三步，獅子卻只能跨兩步.

據(jù)以上的“情報(bào)”，你能提前判斷出誰(shuí)將取勝嗎？

【解析】老虎跨三步，跑2×3=6（米）；獅子跨兩步，跑3×2=6（米）. 所以老虎和獅子跑的速度是一樣的. 但老虎正好以五十步跑完100米，而獅子則在跑到99米之處后還須再跨一步，到達(dá)102米處，然后往回跑. 這樣，獅子比老虎要多跑4米，故老虎取勝.

5. 學(xué)生的編號(hào)

某學(xué)校為每個(gè)學(xué)生編號(hào)，設(shè)定末尾用1表示男生，用2表示女生；199713321表示“1997年入學(xué)的一年級(jí)三班的32號(hào)同學(xué)，該同學(xué)是男生”，那么，199532012表示的學(xué)生是哪一年入學(xué)的，幾年級(jí)幾班的，學(xué)號(hào)是多少，是男生還是女生？

【解析】199532012表示的學(xué)生是1995年入學(xué)的三年級(jí)二班的，學(xué)號(hào)是1號(hào)，該生是女生.

小結(jié)：解決趣味數(shù)學(xué)問題的方法很多，下面總結(jié)一些常用方法：

1. 函數(shù)思想： 把某一數(shù)學(xué)問題用函數(shù)表示出來(lái)，并且利用函數(shù)探究這個(gè)問題的一般規(guī)律.這是最基本、最常用的數(shù)學(xué)方法.

2. 數(shù)形結(jié)合思想： 把代數(shù)和幾何相結(jié)合，例如對(duì)幾何問題用代數(shù)方法解答，對(duì)代數(shù)問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用.

3. 分類討論思想： 當(dāng)一個(gè)問題因?yàn)槟撤N量的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時(shí)，需要對(duì)這個(gè)量的各種情況進(jìn)行分類討論.

例 今天，數(shù)學(xué)老師給興趣小組帶來(lái)了一道趣題.他給每個(gè)同學(xué)發(fā)了一張方格紙，說(shuō)道：“發(fā)給大家的紙橫豎都有8個(gè)方格，是共有64個(gè)方格的方格紙，請(qǐng)?jiān)谶@64個(gè)方格內(nèi)隨意填上64個(gè)各不相同的但都不超過100的正整數(shù).”大家照老師的話做了.老師接著說(shuō)：“現(xiàn)在請(qǐng)找出每一行中的最大的數(shù)，再在這8個(gè)最大的數(shù)中找出最小的，不妨記為m；類似地，找出每一列中的最小的數(shù)，再在8個(gè)最小的數(shù)中找出最大的，不妨記為n.你們各人得到的m彼此是不同的，各人得到的n也是不同的.若比較同一個(gè)人得到的m和n，除去個(gè)別同學(xué)會(huì)得到m=n以外，大部分都是m≠n.現(xiàn)在，請(qǐng)大家考慮一下：在所有這些不相等的m和n之間，m和n是否有同一個(gè)大小關(guān)系？也就是說(shuō)，會(huì)不會(huì)對(duì)某些人是m>n，而對(duì)另一些人是m

同學(xué)們都開始緊張地思索，你也想一想吧.

答：如果m和n是同一個(gè)方格中的數(shù)，則m=n.

如果m≠n，則m與n是兩個(gè)不同方格中的數(shù)，這兩個(gè)不同方格彼此的位置關(guān)系有且僅有三種可能：

（1） m和n所在的方格位于同一行，由于m是該行中最大的數(shù)，故m>n；

（2） m和n所在的方格位于同一列，由于n是該列中最小的數(shù)，故m>n；

（3） m和n所在的方格既不同行也不同列，設(shè)與m同行與n同列的數(shù)為p，則由m、p同行知m>p，p、n同列知p>n，所以m>n.

于是，只要m≠n，則必定m>n.

4. 方程思想：當(dāng)一個(gè)問題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問題.例如證明柯西不等式的時(shí)候，就可以把柯西不等式轉(zhuǎn)化成一個(gè)二次方程的判別式.

例 雞兔同籠是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名題之一.大約在1500年前，《孫子算經(jīng)》中就記載了這個(gè)有趣的問題.書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳.問籠中各有幾只雞和兔？

答：（1） 假設(shè)法

假設(shè)全是雞：2×35=70（條）

雞腳比總腳數(shù)少：94-70=24 （條）

少算的腳數(shù)：4-2=2（條）

兔：24÷2=12 （只）

雞：35-12=23（只）

假設(shè)法（通俗）

假設(shè)雞和兔子都抬起一只腳，籠中站立的腳：94-35=59（只）

然后再抬起一只腳，這時(shí)候雞兩只腳都抬起來(lái)就摔倒了，只剩下用兩只腳站立的兔子，站立腳：59-35=24（只）

兔：24÷2=12（只）

雞：35-12=23（只）

假設(shè)全是兔：4×35=140（條）

如果假設(shè)全是兔，那么兔腳比總數(shù)多：140-94=46（條）

多算的腳數(shù)：4-2=2（條）

雞：46÷2=23（只）

兔：35-23=12（只）

（2） 方程法

一元一次方程

解：設(shè)兔有x只，則雞有（35-x）只.

4x+2（35-x）=94，x=12

雞：35-12=23（只）

答：兔子有12只，雞有23只.

（3） 抬腿法

方法一：假如讓雞抬起一只腳，兔子抬起2只腳，還有94÷2=47（只）腳.籠子里的兔就比雞的腳數(shù)多1，這時(shí)，腳與頭的總數(shù)之差47-35=12，就是兔子的只數(shù).

方法二：假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下94-35×2=24（只）腳，這時(shí)雞是屁股坐在地上，地上只有兔子的腳，而且每只兔子有兩只腳在地上，所以有24÷2=12（只）兔子，就有35-12=23（只）雞.

方法三：我們可以先讓兔子都抬起2只腳，那么就有35×2=70（只）腳，腳數(shù)和原來(lái)差94-70=24（只），這些都是每只兔子抬起2只腳導(dǎo)致，一共抬起24只腳，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到雞有23只.

5. 概率統(tǒng)計(jì)思想：概率統(tǒng)計(jì)思想是指通過概率統(tǒng)計(jì)解決一些實(shí)際問題.

6. 歸納類比思想：利用歸納類比思想可以對(duì)某種相類似的問題進(jìn)行研究而得出它們的共同點(diǎn)，從而得出解決這些問題的一般方法.

7. 轉(zhuǎn)化歸納思想：轉(zhuǎn)化歸納思想是把一個(gè)較復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較簡(jiǎn)單的問題并且對(duì)其方法進(jìn)行歸納.

（作者單位：江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）