顧利國(guó)　嚴(yán)育洪

【“望”：病例觀察】

在一節(jié)“認(rèn)識(shí)方程”的課中，教師設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：一是以天平為載體呈現(xiàn)等量關(guān)系和不等量關(guān)系，然后進(jìn)行分類得到方程；二是以方程的定義為切入點(diǎn)，從“等式”和“未知數(shù)”兩個(gè)要點(diǎn)認(rèn)識(shí)方程，并通過(guò)大量練習(xí)進(jìn)行強(qiáng)化，最終學(xué)生都能抓住教師再三強(qiáng)調(diào)的“等式”和“未知數(shù)”兩個(gè)要點(diǎn)來(lái)判斷是否方程。

在課即將結(jié)束的時(shí)候，教師讓學(xué)生回顧對(duì)方程的認(rèn)識(shí)，開(kāi)始回答的學(xué)生都在復(fù)述方程的意義——“含有未知數(shù)的等式叫作方程”。教師正在進(jìn)行全課總結(jié)，有一位學(xué)生談了自己的學(xué)習(xí)體會(huì)：“我覺(jué)得方程就像兩個(gè)雙胞胎在一起玩蹺蹺板一樣，兩邊相等，很平衡?！?/p>

教師沒(méi)有馬上接口，暗自思考該如何評(píng)價(jià)，其他學(xué)生卻很受“啟發(fā)”，紛紛舉手要發(fā)言。教師一看學(xué)生學(xué)習(xí)熱情如此高漲，也不由得興奮起來(lái)，允許學(xué)生暢所欲言，結(jié)果又出現(xiàn)了以下“精彩紛呈”的舉例，讓教師大呼過(guò)癮，直至下課鈴聲響起——

生1：方程像農(nóng)民伯伯挑的糞桶擔(dān)。

生2：方程像少林寺和尚用雙手提水桶練功。

生3：鳥(niǎo)類的翅膀就像方程一樣用來(lái)保持它們飛行時(shí)的平衡。

生4：對(duì)，飛機(jī)的兩翼也是這個(gè)道理。

生5：我們?nèi)祟惙毖苌娴哪信壤且话胍话氲?，這也與方程相似吧？！

生6：科學(xué)課上學(xué)過(guò)植物鏈、動(dòng)物鏈，我覺(jué)得，這生態(tài)平衡問(wèn)題就像一個(gè)大大的方程。

……

【“問(wèn)”：病歷記錄】

課后，筆者問(wèn)學(xué)生：“你們覺(jué)得方程難學(xué)嗎？”

學(xué)生眾口一詞，都說(shuō)不難，只要抓住“等式”和“未知數(shù)”兩個(gè)要點(diǎn)就行。

“那為什么要學(xué)方程呢？”

許多學(xué)生都說(shuō)不出所以然。

筆者換了一個(gè)話題：“一輛公交車行駛到某一站，下車6人，上車4人，這時(shí)車上一共12人。這里有方程么？”

學(xué)生眾口一詞，都認(rèn)為沒(méi)有，因?yàn)檫@里看不到天平的平衡。

筆者又換了一個(gè)話題：“你認(rèn)為x=1是方程嗎？”

許多學(xué)生都認(rèn)為是，因?yàn)樗稀暗仁健焙汀拔粗獢?shù)”兩個(gè)要點(diǎn)。還有一些學(xué)生感覺(jué)這個(gè)方程有點(diǎn)怪。

筆者轉(zhuǎn)而問(wèn)教師：“x=1是方程嗎？”

教師有點(diǎn)遲疑地說(shuō)：“應(yīng)該是吧，它是一個(gè)含有未知數(shù)的等式。只是這個(gè)方程也太簡(jiǎn)單了。”

“明明x等于1，怎么可以說(shuō)它未知呢？！”

“這個(gè)，……是啊，這是怎么回事呢？”教師一籌莫展。

筆者又換了一個(gè)話題：“你覺(jué)得，學(xué)生在課的最后，所說(shuō)的對(duì)方程的認(rèn)識(shí)是否準(zhǔn)確？”

教師一臉無(wú)奈：“說(shuō)實(shí)在的，我也說(shuō)不準(zhǔn)，但我感覺(jué)他們這樣說(shuō)還是比較形象生動(dòng)的?！?/p>

……

【“切”：病理診治】

數(shù)學(xué)家笛卡爾在《指導(dǎo)思維的法則》一書(shū)中提出了一種解決一切問(wèn)題的“萬(wàn)能方法”，其模式是：把任何種類的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；把任何種類的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；把任何種類的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程（組）的問(wèn)題，然后討論方程（組）的問(wèn)題，得到解之后再對(duì)“解”進(jìn)行解釋。從中，我們可以感覺(jué)到“方程”知識(shí)的重要性，它是解決問(wèn)題的重要方法，由此有專家認(rèn)為“方程既非基本概念，也非基本理論，而是基本方法”。

然而，許多教師對(duì)方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)也比較模糊，這可以從課后筆者詢問(wèn)教師“x=1是方程嗎？”中反映出來(lái)。

那么，方程的本質(zhì)是什么？張奠宙教授對(duì)方程進(jìn)行了重新定義：“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來(lái)的等式關(guān)系?！比绱税l(fā)生式定義首先告訴了我們方程的核心價(jià)值，即為了尋求未知數(shù)，接著告訴我們，方程乃是一種關(guān)系，其特征是“等式”關(guān)系，這種等式關(guān)系，把未知數(shù)和已知數(shù)聯(lián)系起來(lái)了，于是，人們借助這層關(guān)系，找到了我們需要的未知數(shù)?？梢?jiàn)，“含有未知數(shù)的等式叫作方程”并非是方程的嚴(yán)格定義，僅是一種樸素的描寫(xiě)，方程的意義不在于概念本身，而在于方程的本質(zhì)特征：要“求”未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來(lái)的等式關(guān)系。

至此，我們就不難回答“x=1是方程嗎？”這一問(wèn)題，從形式上看，x=1是方程，這個(gè)式子里有未知數(shù)，也有等式，完全符合教材對(duì)方程的描述。但如果用“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來(lái)的等式關(guān)系”來(lái)看，x=1更應(yīng)該說(shuō)成是方程的解。否則，只會(huì)出現(xiàn)“數(shù)學(xué)悖論”——“明明x等于1，怎么可以說(shuō)它未知呢？”

在教學(xué)中，如果教師始終只是抓住“等式”和“未知數(shù)”這兩個(gè)要點(diǎn)去認(rèn)識(shí)方程，那永遠(yuǎn)只能流于形式，這樣的教學(xué)就是史寧中教授所說(shuō)的把思路搞反了，學(xué)生對(duì)方程的認(rèn)識(shí)只是停留在熟練背誦方程定義的層面上，也就是說(shuō)，這樣的教學(xué)過(guò)程只是教會(huì)了學(xué)生定義，而沒(méi)有教會(huì)學(xué)生意義。

因?yàn)椤胺匠碳确腔靖拍?，也非基本理論”，所以我們的教學(xué)不應(yīng)過(guò)分在方程的“是什么”上咬文嚼字、對(duì)號(hào)入座，而應(yīng)該在方程的“為什么”上下功夫。陳重穆教授也指出：“含有未知數(shù)的等式叫作方程”這一定義中沒(méi)有體現(xiàn)方程的本質(zhì)，這樣的定義要淡化，不要記，無(wú)須背，更不要考。真正的方程教學(xué)關(guān)鍵是要理解方程思想的本質(zhì)，它的價(jià)值和意義，讓學(xué)生通過(guò)豐富的問(wèn)題情景，去發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系，在表達(dá)這些相等關(guān)系的時(shí)候，有的不需要未知數(shù)，有時(shí)候需要未知數(shù)一起參與，下面這個(gè)教學(xué)片段就很好地讓學(xué)生明白了方程的“為什么”——

師：你今年幾歲啦？

生：11歲。

師：你的年齡是一個(gè)已經(jīng)知道的數(shù)，在數(shù)學(xué)上稱為已知數(shù)。你知道老師的年齡嗎？

生：不知道。是未知數(shù)。

師：你們想把這個(gè)未知數(shù)變成已知數(shù)嗎？我的年齡減去20歲后，還比你們大。我的年齡減去30歲，比你們小。能確定我的年齡嗎？

生：不能，只是一個(gè)范圍。

師：如果我的年齡減去27就等于11呢？

生：38歲。

師：剛才給你們?nèi)龡l信息，為什么前面兩條信息你們不能確定我的年齡，而第三條信息一出來(lái)就能確定？（學(xué)生小組討論）

生：只有相等的式子，才能求出確定的結(jié)果。

師：怎樣把這三條信息用含有字母的式子表示？

生：x-20>11，x-30<11，x-27=11。

師：比較一下，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：第三個(gè)式子是左右相等的。

師：是的，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立等量關(guān)系的式子，在數(shù)學(xué)上叫方程。

……

在小學(xué)教學(xué)中，方程是小學(xué)生首次學(xué)習(xí)有關(guān)代數(shù)的知識(shí)，是學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維過(guò)渡的初期。然而，在訪談中學(xué)生普遍認(rèn)為“方程不難”，這在一定程度上暴露了教師并沒(méi)有認(rèn)識(shí)到方程的真正價(jià)值，也沒(méi)有對(duì)教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行突破。

首先，我們要讓學(xué)生弄清楚等式關(guān)系這一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常做的計(jì)算題，例如“1+2=？”此時(shí)“1+2=3”中的“=”，在學(xué)生的眼里，常常被看成是一種具有運(yùn)算性質(zhì)的符號(hào)，然而，以前學(xué)生也曾做過(guò)諸如這樣的判斷題“在○里填>、=、<：1+2○3”，此時(shí)“1+2=3”中的“=”，教師卻常常未能及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到它其實(shí)就是一種關(guān)系符號(hào)。由此可見(jiàn)，“1+2=3”在學(xué)生的眼里更多地看成是一個(gè)算式——“1+2=？”而非一個(gè)等式——“1+2○3”，其實(shí)，“1+2=3”中的“=”在根本上就是一種關(guān)系符號(hào)。

學(xué)生長(zhǎng)久局限在算術(shù)的思維中，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)方程時(shí)對(duì)“‘=’是一種關(guān)系符號(hào)”的認(rèn)識(shí)感到困難，對(duì)此，教師可以復(fù)習(xí)“在○里填>、=、<：1+2○3”這樣的判斷題，勾起學(xué)生對(duì)“往事”的回憶，認(rèn)識(shí)到“1+2=3”中的“=”表示相等關(guān)系。為了增加視覺(jué)效果，引起學(xué)生的注意，教師還可以在例1（如圖1）前增加這樣的鋪墊——“在天平左右兩邊各放20克砝碼”，讓學(xué)生對(duì)“20=20”在視覺(jué)上產(chǎn)生強(qiáng)烈的“不舒服”——“有這樣的算式嗎？”此時(shí)教師把“20=20”改換成“20○20”這種學(xué)生曾經(jīng)做過(guò)的判斷題形式，幫助學(xué)生領(lǐng)悟到“20=20”表示的是一個(gè)等式，從而在對(duì)比中認(rèn)識(shí)到此處的“=”是一種關(guān)系符號(hào)。

……

除了方程的工具價(jià)值，方程思想的感悟也是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。方程思想的核心在于建模、化歸。史寧中和孔凡哲在《方程思想及其課程教學(xué)設(shè)計(jì)——數(shù)學(xué)教育熱點(diǎn)問(wèn)題系列訪談錄之一》一文中指出：“小學(xué)四則運(yùn)算僅僅提供一種算法，而一元一次方程則比較全面地展示了建模思想——用等號(hào)將相互等價(jià)的兩件事情聯(lián)立。等號(hào)的左右兩邊等價(jià)，至于其中的關(guān)系是用文字語(yǔ)言表示的，還是用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的，都不太重要，重要的是等號(hào)左右兩邊的事情在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的，這就是數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)?！痹谡J(rèn)識(shí)“方程是一種模型”的教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“相互等價(jià)的兩件事情”不僅只是如圖2所示事物與砝碼之間的等價(jià)關(guān)系（因?yàn)閷W(xué)生常常將砝碼視為事物稱重的結(jié)果，此情景下的“=”，學(xué)生往往視之為運(yùn)算符號(hào)），還可以是如圖3所示一種事物與另一種事物之間的等價(jià)關(guān)系（此情景下的“=”更容易讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到它是一種關(guān)系符號(hào)），從而使學(xué)生能正確地理解方程的意義。

本課教學(xué)不能停留在概念層面的理解，而應(yīng)該注重讓學(xué)生經(jīng)歷方程的建模過(guò)程，根據(jù)已有模式出發(fā)賦予方程合理的生活情境，在經(jīng)歷方程建模的過(guò)程中深刻理解方程的意義。上述課例，從課后的測(cè)試可以看出，學(xué)生對(duì)方程的認(rèn)識(shí)滿腦子只有“天平”，這對(duì)方程的建模是不利的。我們應(yīng)該幫助學(xué)生跳出天平而在更大的范圍內(nèi)認(rèn)識(shí)方程，除了“乘車問(wèn)題”，還有如下教學(xué)片段中的“倒水問(wèn)題”，同樣存在著方程——

師：現(xiàn)在老師把看得見(jiàn)的天平收起來(lái)了，不知道你們的心中有天平嗎？

生：有！

師：拿出來(lái)?。▽W(xué)生兩手平衡表示天平）

出示題目：一個(gè)水壺，裝有2000毫升水，往兩個(gè)暖壺倒?jié)M水，再往一個(gè)200毫升的水杯倒?jié)M水，正好倒完。（假設(shè)一個(gè)水壺的自身重量=兩個(gè)暖壺的自身重量+一個(gè)水杯的自身重量）

師：這道題里有天平嗎？

生：沒(méi)有。

師：真的沒(méi)有嗎？

生：有！

師：在哪兒呢？拿出來(lái)。右邊2000毫升水壺，現(xiàn)在天平怎么樣？（學(xué)生演示）左邊倒?jié)M一個(gè)暖壺，再倒?jié)M一個(gè)暖壺，天平還不平衡，再加一個(gè)裝滿200毫升水的水杯，天平平衡了嗎？

師：你會(huì)列出方程嗎？

……

當(dāng)然，上述“倒水問(wèn)題”中的方程也可以只關(guān)注水的相等關(guān)系。在“乘車問(wèn)題”和“倒水問(wèn)題”之類的遷移中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷一個(gè)“天平”的變異、抽象和拓展過(guò)程，例如圖4所示，“天平”變成了示意圖、線段圖等形象。如果說(shuō)，圖4所示的問(wèn)題還能讓學(xué)生看出“天平”，那么圖5所示的問(wèn)題則更需要學(xué)生想出“天平”，這樣的抽象和變通過(guò)程是數(shù)學(xué)模型建立必須經(jīng)歷的過(guò)程。

……

同時(shí)，要讓學(xué)生更好地進(jìn)行方程建模，教師不妨多采用對(duì)比手法，教學(xué)可以分為兩個(gè)層次：一是同樣的問(wèn)題情景可以寫(xiě)出不同的方程，讓學(xué)生從不同角度尋找等量關(guān)系，體會(huì)數(shù)量間的相等關(guān)系是方程的根；二是不同的問(wèn)題情景可以用同樣的方程來(lái)概括，表明了方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效模型，例如設(shè)計(jì)一些諸如“你能說(shuō)一說(shuō)生活中還有哪些事情也用方程4x=400表示嗎？”之類的開(kāi)放題。異中有同，同中有異，這也是方程的魅力所在。

上述“倒水問(wèn)題”教學(xué)中，教師的高明之舉就是逐步引導(dǎo)學(xué)生將心中的天平代替活動(dòng)的天平。學(xué)習(xí)方程，形式上的天平并不重要，重要的是心中要有“天平”——數(shù)量間的相等關(guān)系。只有心中有數(shù)量之間的相等關(guān)系，才能真正體會(huì)到這種相等關(guān)系所帶來(lái)的數(shù)學(xué)思維的變化。

經(jīng)過(guò)如此深入知識(shí)本質(zhì)的教學(xué)，也就能夠最大程度避免上述課例中一些學(xué)生對(duì)方程的模糊認(rèn)識(shí)：一位學(xué)生的舉例——“我覺(jué)得方程就像兩個(gè)雙胞胎在一起玩蹺蹺板一樣，兩邊相等，很平衡”，其實(shí)玩蹺蹺板是以不平衡為目的，如果蹺蹺板平衡了，恰恰說(shuō)明兩邊重量不相等。同樣，另一位學(xué)生的舉例——“方程像農(nóng)民伯伯挑的糞桶擔(dān)”，挑糞桶擔(dān)雖然以平衡為目的，但它可以通過(guò)調(diào)節(jié)支點(diǎn)兩邊的距離來(lái)實(shí)現(xiàn)，所以平衡不一定相等。另外，這些學(xué)生的舉例都缺失了方程另一個(gè)主要元素“含有未知數(shù)”，正確地說(shuō)應(yīng)該是“求未知數(shù)”，在此確實(shí)可以看出學(xué)生滿腦子只有“平衡”意識(shí)。而教師在處理這些生成性問(wèn)題的時(shí)候沒(méi)有及時(shí)介入作正確的指導(dǎo)（由此看出教師對(duì)此認(rèn)識(shí)也比較模糊），導(dǎo)致學(xué)生的舉例走上岔路，把“方程是什么”的科學(xué)性認(rèn)識(shí)開(kāi)始偏向“方程像什么”的藝術(shù)化認(rèn)識(shí)，最終遠(yuǎn)離知識(shí)本質(zhì)、學(xué)科本質(zhì)而不亦樂(lè)乎，淡忘甚至遺忘原有的思考對(duì)象和知識(shí)目標(biāo)。

教學(xué)過(guò)程是動(dòng)態(tài)變化的，其隨機(jī)性造就了許許多多的生成性問(wèn)題。有些生成性問(wèn)題對(duì)教學(xué)有著積極作用——造就教學(xué)意外的“故事”，教師應(yīng)及時(shí)開(kāi)發(fā)和利用這些有益的問(wèn)題，使之上升為教學(xué)的“資源”，使教學(xué)更精彩；而有些生成性問(wèn)題對(duì)教學(xué)有著消極作用——造成教學(xué)意外的“事故”，教師應(yīng)及時(shí)拋棄或轉(zhuǎn)化這些無(wú)益的問(wèn)題，使之不演變成教學(xué)的“垃圾”，使教學(xué)正?；?。

然而，教師對(duì)這些生成性問(wèn)題并非都能保持清醒的認(rèn)識(shí)，并能科學(xué)合理地進(jìn)行處理。有的教師因本體性知識(shí)不足，對(duì)生成性問(wèn)題是否正確無(wú)從判斷；有的教師誤解新課程理念，片面認(rèn)定生成性問(wèn)題的正面效應(yīng)；有的教師審視能力偏低，判斷遲鈍，教育機(jī)智不強(qiáng)，顯得無(wú)所適從。所以，教師需要加強(qiáng)自身修煉。

（江蘇省無(wú)錫市碩放南星苑小學(xué) 214142

江蘇省無(wú)錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 214191）