思維可視 情理相融

葛素兒

數(shù)學(xué)知識(shí)具有抽象性，而第一學(xué)段學(xué)生的思維又呈形象化，兩者之間的矛盾使第一學(xué)段學(xué)生很難對(duì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行意義理解。圖式思維在數(shù)學(xué)教學(xué)中的合理應(yīng)用，可以在兒童天性和學(xué)科本質(zhì)之間架構(gòu)起一座橋梁，讓學(xué)科的情趣與學(xué)習(xí)的理趣有機(jī)融合，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、形象化，培植學(xué)習(xí)興趣，激活創(chuàng)造潛能。

圖式思維是以思維模型圖為基礎(chǔ)，形象、直觀地表達(dá)思維全過(guò)程的一種思維方式。通過(guò)圖式觀察、表征等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念、結(jié)構(gòu)關(guān)系、思想方法、解題策略等用直觀的圖式揭示或表現(xiàn)出來(lái)，借助符號(hào)、圖形、線條、語(yǔ)言等形式構(gòu)成高度組織性的圖，促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)知識(shí)。

常見(jiàn)數(shù)學(xué)圖示思維工具的基本圖形是箭頭、框圖與符號(hào)等，它們包括如下幾種常用形式：數(shù)學(xué)符號(hào)、自創(chuàng)符號(hào)、實(shí)物圖、韋恩圖、思維導(dǎo)圖、概念地圖、思維樹(shù)等，在不同階段、不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮不同的作用。在教學(xué)中，教師需要根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)材料的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)不同水平的圖式思維學(xué)習(xí)活動(dòng)，提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

一、圖式思維活動(dòng)的設(shè)計(jì)

圖式思維是一種生成性學(xué)習(xí)方式。威特羅克認(rèn)為，生成是一種對(duì)兩類(lèi)關(guān)系所作出的主動(dòng)建構(gòu)——它既能夠帶來(lái)同化性學(xué)習(xí)，即圖式適配;也能夠?qū)е马槕?yīng)性學(xué)習(xí)，即建立新圖式。他認(rèn)為，生成學(xué)習(xí)理論涉及的策略：一是編碼或重組，二是整合或精加工/概念重構(gòu)?；谕亓_克的生成學(xué)習(xí)理論，筆者認(rèn)為，第一學(xué)段圖式思維活動(dòng)的設(shè)計(jì)可以基于以下三個(gè)不同思維層次（如圖1）進(jìn)行，讓學(xué)生享受思維的挑戰(zhàn)過(guò)程。

（一）重組：基于情境的圖式思維

重組，實(shí)質(zhì)是對(duì)知識(shí)編碼的過(guò)程，是一種同化性學(xué)習(xí)。對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生而言，這個(gè)階段的圖式思維更多的是借助于生活原型、實(shí)物操作等，通過(guò)圖式思維手段，經(jīng)歷從操作到表象的體驗(yàn)過(guò)程，在主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的同時(shí)提升學(xué)力?；趯?shí)物的數(shù)學(xué)思維圖式主要是去情境的幾何圖、抽象圖等。例如，在“面積單位的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，為了建立平方厘米的概念，在課堂上開(kāi)展“尋找生活中的1平方厘米”的活動(dòng)：

（1）食指的大小大約1平方厘米，讓學(xué)生按食指手印（紅色）——建立1平方厘米的圖式（實(shí)物模型）。

（2）借助圖式找1平方厘米、2平方厘米、5平方厘米、10平方厘米的物體表面并熟悉它們的大小——作為估計(jì)物體大小的實(shí)物參照，在反復(fù)觀察與操作中建立各自面積大小的圖式。

這些代表性的“圖式”將成為學(xué)生心中的尺子，這樣，學(xué)生在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能自然地使用那些“尺子”作為觀察物體表面的參照，把握物體表面的面積大小，幫助他們建立比較完善的面積單位概念。

（二）整合：基于轉(zhuǎn)化的圖式思維

整合，是對(duì)知識(shí)的精加工，應(yīng)該說(shuō)也是一種同化性學(xué)習(xí)。對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生而言，這個(gè)階段的圖式思維更多的是借助現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)知識(shí)等具體情境，通過(guò)圖式思維手段，經(jīng)歷從情境到抽象的體驗(yàn)過(guò)程，在主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的同時(shí)提升學(xué)力?；谇榫车臄?shù)學(xué)思維圖式還是以去情境的抽象圖為主，鼓勵(lì)學(xué)生用自創(chuàng)的符號(hào)系統(tǒng)表征數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，在“乘法的意義”的教學(xué)中，為了讓學(xué)生理解一個(gè)乘法算式的兩種意義以及為什么不同的兩種意義積始終相等的道理，可以引導(dǎo)圖式表征：

（1）“2×4”表示什么？你能用圖來(lái)說(shuō)明嗎？反饋。

（2）我們能不能用一個(gè)圖來(lái)說(shuō)明這兩種不同的意義？小組討論，交流反饋得出矩形圖。

圖2 ? “2×4”乘法意義的圖式表征

乘法的語(yǔ)言核心是“幾個(gè)幾相加”，“2×4”既可以表示2個(gè)4相加，也可以表示4個(gè)2相加，交換的實(shí)質(zhì)涉及的是“一份量”結(jié)構(gòu)的改變。在這里，通過(guò)圖式和算式的雙向轉(zhuǎn)化，通過(guò)不同的圖式讓學(xué)生理解“2×4”的乘法意義，實(shí)現(xiàn)空間上的不同維度思考，提升圖式思維的能力。在這里，“數(shù)”回圖中去，通過(guò)表征、互譯等手段對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行生成性加工，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間不斷互譯的改造過(guò)程，這是理解數(shù)學(xué)知識(shí)的重要一步。

（三）創(chuàng)新：基于自創(chuàng)的圖式思維

創(chuàng)新，是對(duì)知識(shí)的重構(gòu)，這是一個(gè)順應(yīng)性學(xué)習(xí)，體現(xiàn)的是從模仿到探究的創(chuàng)作過(guò)程。基于創(chuàng)造的圖式主要是概念圖（數(shù)學(xué)概念的形成與整理）、思維導(dǎo)圖（問(wèn)題解決的過(guò)程與方法）、結(jié)構(gòu)圖（數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)關(guān)系）、監(jiān)控圖（數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的反思與調(diào)控）。這是圖式思維的最高層次。概念圖是一種知識(shí)以及知識(shí)之間的關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖形化表征，也是思維可視化的表征，包含圖形、鏈接、符號(hào)、文字等元素。概念圖可以統(tǒng)整學(xué)習(xí)的概念，幫助學(xué)生把教材知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在新舊知識(shí)之間架起網(wǎng)絡(luò)。而將思維、想法運(yùn)用符號(hào)、語(yǔ)言、線條和圖形表示出來(lái)的有高度組織性的圖式就是思維導(dǎo)圖。借助思維導(dǎo)圖可以使思維可視化，從而形成縱橫分明的思維體系。

這對(duì)于第一學(xué)段的學(xué)生來(lái)說(shuō)存在一定的難度，概念圖、思維導(dǎo)圖的教學(xué)以滲透為主，教師在教學(xué)中有意識(shí)地運(yùn)用整體結(jié)構(gòu)圖，在經(jīng)歷較長(zhǎng)時(shí)間的暗示性的模仿學(xué)習(xí)后再慢慢嘗試讓學(xué)生畫(huà)樹(shù)形圖、云朵圖、花形圖等思維導(dǎo)圖或概念圖，增強(qiáng)學(xué)生整理與歸納知識(shí)的能力，形成關(guān)于所學(xué)知識(shí)的整體“圖式”。例如，在“四邊形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師就可以讓學(xué)生根據(jù)各個(gè)圖形的聯(lián)系與區(qū)別自主畫(huà)出概念圖（如圖3），在說(shuō)理與歸納的過(guò)程中，進(jìn)一步理解四邊形的相關(guān)知識(shí)，建構(gòu)完整的知識(shí)體系。

二、圖式思維活動(dòng)的展開(kāi)

圖式思維的選擇與運(yùn)用要符合學(xué)生的認(rèn)知水平特點(diǎn)，符合教學(xué)內(nèi)容的要求，擯棄形式主義，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)思維能力。

（一）學(xué)習(xí)起始：讓知識(shí)結(jié)構(gòu)化

學(xué)生獲取的是分散的缺乏聯(lián)系的無(wú)序知識(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)重新編碼、排序，運(yùn)用概念圖、圖表、知識(shí)樹(shù)等可視化圖像手段可以把零散的知識(shí)點(diǎn)梳理成清晰的“知識(shí)網(wǎng)”。針對(duì)低年級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)，新知教學(xué)開(kāi)始階段，教師可以提供一個(gè)整體的知識(shí)概念圖，讓學(xué)生明晰將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容;復(fù)習(xí)整理階段，可以由教師提供或在教師幫助下繪成復(fù)習(xí)圖，運(yùn)用整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖建構(gòu)知識(shí)體系。例如，在“周長(zhǎng)與面積”的整理與復(fù)習(xí)一課中，學(xué)生在計(jì)算、討論等基礎(chǔ)上梳理出概念圖表（如圖4）后，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)的方法進(jìn)一步理解周長(zhǎng)與面積的聯(lián)系。

圖4 ? 周長(zhǎng)與面積的區(qū)別

（1）在格子圖中畫(huà)一畫(huà)，想一想周長(zhǎng)與面積有什么聯(lián)系。（格子圖略）

周長(zhǎng)是16厘米（邊長(zhǎng)為整數(shù)厘米）的長(zhǎng)方形有哪幾個(gè)？畫(huà)一畫(huà)，并算一算這些圖形的面積，填在表格里。

（2）練后組織反饋，呈現(xiàn)結(jié)果并追問(wèn)：

觀察所畫(huà)的圖形和表格里的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？引導(dǎo)討論，得出結(jié)論并板書(shū)（聯(lián)系：周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)、正方形，正方形面積最大），結(jié)合課件的動(dòng)態(tài)演示圖進(jìn)行強(qiáng)化。

（3）辨析：“邊長(zhǎng)是4厘米的正方形的周長(zhǎng)與面積相等”這句話對(duì)嗎？

在這個(gè)片段中，教師運(yùn)用了概念圖表、畫(huà)圖、枚舉、列表等多種方法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究長(zhǎng)、正方形的周長(zhǎng)與面積的區(qū)別與聯(lián)系，經(jīng)歷知識(shí)再生成的理解過(guò)程，使知識(shí)豎成線、橫成片，形成關(guān)于周長(zhǎng)與面積這兩個(gè)容易混淆的數(shù)學(xué)概念的知識(shí)結(jié)構(gòu)?？梢暬母拍顖D、圖示、動(dòng)態(tài)演示圖等為學(xué)生提供了認(rèn)知支架，使知識(shí)生成迅捷有效。

（二）探究新知：讓思維可視化

在新知探究階段，讓學(xué)生將“思維路徑”以圖式的手段表現(xiàn)出來(lái)，將有形的文字、圖、算式與無(wú)形的解題思路有機(jī)融合在一起，使思維過(guò)程外顯可視，展現(xiàn)了知識(shí)建構(gòu)過(guò)程的趣味性和生成性。如“乘加混合運(yùn)算”中利用圖式理解乘加、乘減運(yùn)算順序。

（1）你知道2×4+1表示什么意義嗎？如果讓你來(lái)畫(huà)圖，你覺(jué)得會(huì)是怎么一幅圖？先在小腦袋里想一想，然后畫(huà)下來(lái)。

（2）匯報(bào)，展示學(xué)生的作業(yè)，比較說(shuō)理。

（3）嘗試計(jì)算并匯報(bào)：你是先算什么的？為什么要先算2×4？可以先算4+1嗎？

（4）根據(jù)數(shù)據(jù)圖畫(huà)，想一想，還可以怎樣列式？

生匯報(bào)：1+2×4、3×4-3、2×5-1、……

“先乘除后加減”是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的一項(xiàng)規(guī)定，似乎是一種約定俗成的說(shuō)法，用圖表征思維過(guò)程使思維的方法與過(guò)程得到外顯。在這里，教學(xué)從學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用圖說(shuō)明2×4+1的兩種意義，因?yàn)槌朔ㄊ羌臃ǖ暮?jiǎn)便運(yùn)算，表示求幾個(gè)相同加數(shù)的和，這樣學(xué)生就能借助圖來(lái)掌握算法并理解算理：根據(jù)2個(gè)4（或者4個(gè)2）相加先算2×4，然后再加1;如果先算4+1沒(méi)有意義。此外，在這個(gè)過(guò)程中，通過(guò)圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行縱向比、橫向比、與以前經(jīng)驗(yàn)比、相似點(diǎn)比，暴露知識(shí)形成的思維路徑，展現(xiàn)知識(shí)建構(gòu)過(guò)程的趣味性和豐富性。

（三）方法運(yùn)用：讓策略模型化

所謂“模型”，是指學(xué)習(xí)過(guò)程中的分析、比較、歸納與概括等心理活動(dòng)，必須借助于圖式表征這個(gè)基礎(chǔ)，通過(guò)圖式思維學(xué)生經(jīng)歷了以已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的構(gòu)造性活動(dòng)，而不是一種純粹的操作行為。例如，在“連乘問(wèn)題”教學(xué)時(shí)，在解決“小朋友在跳集體舞，剛好排成3個(gè)方陣。每個(gè)方陣有2行，每行5人。一共有多少人？”這個(gè)問(wèn)題中，讓學(xué)生根據(jù)下列要求解題并解釋?zhuān)?/p>

（1）根據(jù)題意畫(huà)圖，1個(gè)小朋友用一個(gè)“○”表示。

（2）列式計(jì)算，并在圖上把先算的那一步圈出來(lái)。

（3）想一想，有沒(méi)有不同的解決方法？

圖5 ?“連乘問(wèn)題”圖式

引導(dǎo)學(xué)生選擇自己喜歡的圖形符號(hào)進(jìn)行圖式表征（圖5），為理解數(shù)量關(guān)系起到了“橋梁”作用，學(xué)生的頭腦中逐步建構(gòu)了連乘問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。在這里，學(xué)生通過(guò)圖形表征，將有形的文字、圖、算式與無(wú)形的解題思路有機(jī)融合在一起，通過(guò)同中求異、異中求同，與以前經(jīng)驗(yàn)比、相似點(diǎn)比，暴露知識(shí)形成的思維路徑，展現(xiàn)了知識(shí)建構(gòu)過(guò)程的趣味性和豐富性。

圖式思維直接關(guān)聯(lián)學(xué)生未來(lái)的學(xué)習(xí)與生活，用圖意識(shí)、用圖能力應(yīng)從小滲透，同時(shí)這更應(yīng)該是學(xué)生從小要練就的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“童子功”。讓圖式思維成為學(xué)生的一種習(xí)慣，讓學(xué)生主動(dòng)地將圖式思維運(yùn)用到數(shù)學(xué)以至任何學(xué)科的學(xué)習(xí)之中。相信這是讓學(xué)生終身受益的學(xué)習(xí)方式。

（浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)富春第二小學(xué) ? 311400）