馬理

數(shù)的運算是小學數(shù)學教學中的重要內容之一。從小學數(shù)學課程的實際來看，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的運算始終是學習的主線，其他數(shù)學知識都必須跟隨著這根主線穿插、展開。學生對運算算理理解的意義毋庸置疑，算理理解是算法掌握的基礎，幫助學生記憶算法，完善數(shù)學知識結構，進而更容易地同化順應新的運算知識，算理理解是運算教學一個良性的學習過程。運算的算理只有被深刻理解了，學生才能真正掌握運算知識的本質，運算才能正確、熟練。本文筆者就結合教學實踐來談一談促進學生運算算理理解的幾點策略。

一、立足學習起點，回歸知識本源，促進運算算理的經(jīng)驗性理解

（一）理一理，明確算理理解的實際起點

學習是建立在學生已有的知識和經(jīng)驗上的。也就是說，新知識的學習必須要找到學生現(xiàn)有知識的生長點，在此基礎上生成新的知識和經(jīng)驗，算理教學亦是如此。

四年級 “小數(shù)加法和減法”一課，內容看似簡單，只要學生知道了“小數(shù)點對齊”這一規(guī)則，再反復鞏固即可，但在以往實際教學中，筆者發(fā)現(xiàn)經(jīng)過反復操練，學生仍然會出現(xiàn)末位對齊的錯誤。看來，即便是簡單計算，缺少了對學生已有的知識和經(jīng)驗的對接，就不能實現(xiàn)真正的理解。于是，筆者在教學前先對學生的已有知識進行了整理，而后進行了教學設計。

【案例】小數(shù)加法和減法

小數(shù)加、減法的教學，先通過整數(shù)加、減法“475+2”引入，引導學生思考：2與誰相加？2為什么非得與5相加？讓學生回憶 “相同數(shù)位對齊才能相加、減”。接著將題改為“4.75+0.2”，請學生算算這道小數(shù)加法，爭議得數(shù)是“4.77”還是“4.95”。引導思考：你有什么辦法證明得數(shù)是“4.95”呢？學生有的通過添單位“元”或者“米”進行考慮，有的通過小數(shù)的基本性質，在0.2末尾添上0，改變0.2的計數(shù)單位來說明，還有的認為相同數(shù)位上的數(shù)才能相加，所以十分位上的“2”和十分位上的“7”相加。對小數(shù)加法的算理進行了多元詮釋后，再對比“475+2”和“4.75+0.2”的豎式，引導思考：“475+2”的2和5 對齊，也就是末位對齊，“4.75+0.2”是小數(shù)點對齊，這兩種方法看上去不一樣，內在的道理是不是一樣呢？

在小數(shù)加、減法之前，學生有四年的整數(shù)加、減法的學習，對“末位對齊”這一技巧已經(jīng)非常嫻熟，對整數(shù)中“相同數(shù)位對齊才能相加減”也有了一定的認識。但同時 “末位對齊”也會對學生學習新知帶來負遷移。在教學中需要選擇合適的例子與原有的“相同數(shù)位對齊才能相加減”進行對接。上例中立足于學生的整數(shù)加法的起點，把整數(shù)加、減法中“末位對齊”的算法，規(guī)整到小數(shù)加、減法“小數(shù)點對齊”中，對比理解兩者本質上都是相同數(shù)位上的數(shù)相加、減，給小數(shù)加、減法的算理建構找到合適的生長點。

（二） 退一步，回到算理理解的知識本源

數(shù)的概念、運算意義、運算法則、運算性質、運算定律等是算理理解的知識本源。如：整數(shù)加、減法的知識本源是加、減法的意義，以及數(shù)的概念;小數(shù)加、減法和乘除法的知識本源是對小數(shù)的意義的認識，分數(shù)加、減法的知識本源是對分數(shù)的意義的認識，四則混合運算的知識本源是運算意義 、運算性質、運算定律等等。在計算教學中，退一步，回到算理理解的知識本源往往能讓算理理解更加深刻。

在“同分母分數(shù)的加、減法”的教學中，上課教師對同分母分數(shù)的加、減法的教學就從“整數(shù)單位”和“分數(shù)單位”的概念引出的，將教學的精力放在對知識本源的追蹤上。

【案例】同分母分數(shù)的加、減法

出示問題情境：

第一個：1厘米、2厘米、3厘米、4厘米……

1分米、2分米、3分米、4分米……

在上面的兩行數(shù)據(jù)中每次挑出兩個，組成一個加法算式。請你寫出幾個有代表性的算式，并計算出它們的結果。

第二個：，，，，，，，，，……

，，，，，，，，，……

在上面的兩行數(shù)中每次挑出兩個，組成一個加法算式。請你寫出幾個有代表性的算式，并計算出它們的結果。

對于五年級的學生來說，計算類似3厘米加2厘米的問題，似乎起點太低了，但正因為有了3厘米加2厘米的理解，學生對+的理解順理成章，其間教師沒有任何提示，但學生通過兩個問題的解決，自主感悟到單位相同的可以相加、減，單位不同必須轉化成相同單位后才能相加、減，同分母就是同單位，對同分母加、減法的算理理解也水到渠成。

二、借助“表象”支撐，注重多元表征，促進運算算理的形式化理解

運算的算理從一定意義上說是抽象的、理性的。根據(jù)小學生的年齡特點、生活經(jīng)歷出發(fā)，借助“表象”支撐，在直觀中理解算理，是非常必要的。

（一）借助直觀支撐理解算理

合理運用學具、教具、多媒體，進行直觀操作演示，是算理探究過程中教師常用的策略。

【案例】 除數(shù)是整十數(shù)的筆算

除數(shù)是整十數(shù)的除法，學生在已有的除數(shù)是一位數(shù)除法的基礎上，往往會出現(xiàn)以下錯誤：

出現(xiàn)以上錯誤的原因是學生受到除數(shù)是一位數(shù)除法筆算的負遷移，雖然是140÷30，但其實學生腦中思考的仍然是140÷3，怎樣讓學生理解除以30后商4的定位、豎式表達的意思，教師可以嘗試使用小棒圖和方塊圖來突破除數(shù)是整十數(shù)的筆算算理的理解。

例1：92÷30=

例：1： ?92÷30 =

例2：140÷30 =

除數(shù)是整十數(shù)的除法，商的位置是個難點，請學生嘗試著列出豎式，并借助圈一圈，說明商是幾，商4寫在哪一位上。學生有了直觀圖的支撐，容易理解豎式中每一個數(shù)的含義。類似的教學還有，除數(shù)是一位數(shù)的筆算，小數(shù)加、減法等，初始課看似十分簡單但進入后期學習卻容易出錯，在這類重點起始課中強化算理的直觀演示，以求為運算方法的建構建立明確的表象，將能很好地幫助學生積累經(jīng)驗。

（二）借助情境支撐理解算理

運算方法的建構以具體情境為背景時，往往可以化抽象為直觀，幫助學生理解算理主動建構算法。

【案例】除數(shù)是兩位數(shù)除法（試商、調商）

1.創(chuàng)設問題情境

153元買同一款魔方，可以買幾個？怎樣列式？

2.學生嘗試解決“153÷21=”

反饋，引導 思考

（1）你是怎樣試商的？在試商時發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）結合情境說說為什么會出現(xiàn)這樣的情況。

3. 學生嘗試解決“153÷32= 、153÷38=”

反饋，引導思考

（1）你是怎樣試商的？在試商時發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）結合情境說說為什么會出現(xiàn)這樣的情況。

（3）對比153÷21= 、153÷32= 有什么共同的特點？為什么初商會大？

（4）對比153÷32= 、153÷38= 有什么不同的特點？為什么除數(shù)都是三十幾，“153÷32” 初商會大？“153÷38” 初商會??？

將除數(shù) “四舍五入”是最基本的試商方法，但“四舍”法初商會偏大，“五入”法初商會偏小。如果讓學生死記硬背，往往適得其反。通過購物這一情境可以幫助學生更好地理解調商的過程。 “153÷32”因為將單價看成30元，所以實際購買5個魔方用的錢數(shù)就從160元變成了150元，實際錢數(shù)153元小于160元，不夠買5個只能買4個，所以要調商成4。通過兩組算式 “153÷21= 、153÷32=”、“153÷32= 、153÷38=” 的對比，更能讓學生感受到調商的原因。

（三）數(shù)形結合支撐算理理解

數(shù)形結合就是通過數(shù)和形之間的對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法。在計算中，應用數(shù)軸、平面幾何圖形或立體幾何圖形，使數(shù)的大小以形的大小來呈現(xiàn)，數(shù)與數(shù)之間的運算關系以形的組合來表達，能使數(shù)的計算算理更直觀化。

【案例】異分母分數(shù)加減法

人教版教材中的異分母分數(shù)加減法

浙教版教材中的異分母分數(shù)加減法

兩本教材均是選用了圖形來幫助學生理解異分母分數(shù)加、減法的算理，借助對圓形的折、分，學生很容易理解異分母分數(shù)加、減法的關鍵是“單位”的統(tǒng)一。

在高年級分數(shù)四則運算的教學中，教師可以借助幾何圖形來說明分數(shù)四則運算的算理，而整數(shù)加、減法中的“形”往往是學生自己創(chuàng)設的符號。也就是說，這里的“形”可以是學生自己創(chuàng)設的符號，可以是幾何圖形，可以是線段圖，還可以是數(shù)軸。借助形的幾何直觀性來闡明算理不僅可以使抽象的數(shù)學計算算理直觀化，而且有利于學生抽象思維和形象思維的協(xié)調發(fā)展。

三、溝通知識脈絡，突出內涵本質，促進運算算理的結構化理解

通過問題和情境的創(chuàng)設，借助直觀建立“表象”，幫助學生擺脫經(jīng)驗中的非本質認識。在這一基礎上，教師還應該通過與其他知識比較、分類、分層，從而找到知識間的相同點、不同點以及層次關系，溝通知識的脈絡，達成學生算理理解的精細化，實現(xiàn)形式化理解向結構化理解的轉化。

（一）展示思路，對比溝通，實現(xiàn)算法和算理融合

1.展示思路

在算理理解中，教師要引導學生通過觀察、對比、辨析，在群體的交流對話中，展示思路、感悟算法。

【案例】十幾減9退位減法

根據(jù)問題“有15個氣球，賣了9個，還剩幾個？”列出算式“15-9”，引導思考：你能用什么方法解決這個問題呢？要求先獨立思考，再同桌交流，學生可以借助擺小棒來說明。教師將學生不同計算方法書寫在黑板上。

方法一：借助小棒擺一擺從15根小棒中拿去9根得到6根。

方法二：想加做減法 ? 想9+（ 6 ）=15 ? 所以15-9=6

方法三：破十法

方法四：連續(xù)減

四種方法的算法顯示出學生不同的思維，數(shù)小棒得出結果是利用了減法的意義，“相加做減法”是根據(jù)加、減法的關系，“破十法”和“連續(xù)減”利用了數(shù)的組成順向思維，在這四種方法中，“破十法”和“連續(xù)減”的交流是重點，且這兩種方法對于一年級的學生來說比較難理解，教學中需要通過圖例來輔助理解算理?！捌剖ā笔峭宋粶p法豎式算理的基礎，是最有價值的，因此，教師還需通過多媒體演示來突破“破十”難點。借助典型的探究材料，引導學生展示不同的算法，在展示中充分交流，理解不同算法的算理，在對比中為建構退位減法的算理打下基礎。

2.溝通反思

課堂中教師要適時引導學生將新學運算與相關運算比較，找到相同與不同，并用數(shù)學語言規(guī)范表述，實現(xiàn)算法和算理的融合，不斷地將理解引入更高層次。

如：小數(shù)乘法單元，教學“小數(shù)乘整數(shù)”時，可以和“整數(shù)乘法”算法對比;教學“小數(shù)乘小數(shù)”時，又可以和“小數(shù)乘整數(shù)”對比，從而引導學生感受“小數(shù)乘法”小數(shù)點的位置問題。小數(shù)除法單元，教學“小數(shù)除小數(shù)”時與“小數(shù)除以整數(shù)”對比，在知識整理的過程中，“小數(shù)除法”還要和“小數(shù)乘法”對比。從一定意義上說，學生對運算的理解和掌握是在不斷的比較中逐步建構的。教師應該抓住機會適時聯(lián)系溝通知識點之間關系，實現(xiàn)算法和算理融合。

（二）選擇針對性學習材料，增進知識內涵的理解

要實現(xiàn)對算理的鞏固、應用和轉化，離不開一定量的計算練習。但不是所有的練習都能夠有效地促進學生對算理的理解，過多繁雜、低效的計算練習反而會引起學生的反感。因此，筆者認為應突出以下兩種練習。

1.突出基本算理的練習

在學生初學運算方法時，設計突出算理理解的基本練習，對學生進一步理解算理是不可缺少的。

【案例】多位數(shù)乘一位數(shù)的基本算理練習

多位數(shù)乘一位數(shù)的算理是建立在數(shù)意義和計算意義的理解上的，所以筆者認為還可以增加加法和乘法的轉化練習進一步感悟算理。

2.深化算理理解的練習

選擇安排合適練習材料，讓學生通過觀察、猜測、比較，可以不斷地深化對計算算理的理解，在培養(yǎng)學生的數(shù)感同時，也達到靈活計算的目的。

【案例】多位數(shù)乘一位數(shù)的練習

1.算一算、比一比。你有什么發(fā)現(xiàn)？

25×4= ? ? ? ? ? ? ? 16×5= ? ? ? ? ? ? ? 14×5=

24×5= ? ? ? ? ? ? ? 15×6= ? ? ? ? ? ? ?; 15×4=

2. 先計算，再比較大小

反饋引導：比較說說上面每組“雙胞胎”算式哪部分積是相等的。想一想兩個算式積的大小取決于哪兩個數(shù)相乘的結果呢？

3. 在○里填上“>”“<”或“=”

12×3○21×3 ? ? ?26×5○25×6 ? ? ?38×7○78×3

12×7○7×12 ? ? ? ? 38×2○38+39 ? ? ? ? 114 ×6○116×7

以上各題以“積的大小比較”為主線，著重考察學生對多位數(shù)乘一位數(shù)的算理理解，能力核心是運用對比思維來思考數(shù)與數(shù)、算式與算式之間的關系。引導學生分析、比較，使得學生的思維更加豐富、更加精細，有利于學生對算理的深度認知。

四、明暗結合，凸顯思想方法，促進運算算理的文化性理解

學生學習運算不僅是為了獲得技能，更重要的是發(fā)展數(shù)學思維、掌握數(shù)學思想方法。理解性學習的最高層級是文化性理解，筆者認為就是指在數(shù)學教學中滲透數(shù)學的思考方法，從而使學生能用數(shù)學的眼光來看待周圍事物，將數(shù)學的思考方法應用于解決生活實際問題或其他學科的學習。在運算教學中的數(shù)學思想方法主要有化歸思想、類比思想、數(shù)形結合思想、歸納思想、模型思想、推理思想等。如果說知識技能的教學是“明線”，那么數(shù)學思想方法應該是每一節(jié)數(shù)學課的“暗線”，追求以“明”促“暗”、明暗結合。

【案例】小數(shù)除法的練習課教學片段

1.計算2.76÷0.12

說說你是怎么想的。

生：根據(jù)商的變化規(guī)律，轉化成276÷12，算出商是23，所以2.76÷0.12的商也是23。

師：根據(jù)商的變化規(guī)律，你能寫出其他一些相關的商也是23的算式嗎？

2.根據(jù)2.76÷0.12=23，寫出以下各題的結果

在這個練習中通過題組間的對比深刻理解小數(shù)除法算理，以達到靈活計算小數(shù)除法的目標，這是教學的“明線”。在練習中引導學生經(jīng)歷運用積、商的變化規(guī)律作出正確解答的過程，蘊含著推理、化歸等數(shù)學思想和方法，這是教學的“暗線”，也是“主線”。

（浙江省杭州市勝藍實驗學校 ?310004）