在游戲中學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建?！?/h1>
2015-09-10 07:22:44馬貞
教學(xué)月刊·小學(xué)數(shù)學(xué) 2015年1期
馬貞
所謂“數(shù)學(xué)建?！保窗熏F(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋現(xiàn)實(shí)問題。數(shù)學(xué)知識(shí)的這一運(yùn)用過程也就是數(shù)學(xué)建模?！肮稊?shù)和最小公倍數(shù)”的數(shù)學(xué)模型該如何構(gòu)建呢？全國第十一屆小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)觀摩活動(dòng)上廣東省的駱奇老師執(zhí)教了“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”，他用自己的課堂很好地詮釋了這一過程，通過探索“尾巴重新接回的秘密”，把一堂數(shù)學(xué)課上得風(fēng)生水起，現(xiàn)結(jié)合其中的教學(xué)片段與各位共賞。
【教學(xué)片段一】
師：今天，老師給大家?guī)砹艘粋€(gè)很好玩的游戲，想玩嗎？請(qǐng)看，這是一個(gè)正六邊形。這個(gè)呢？也可以說是一個(gè)正四邊形。兩張圖片拼起來是一只可愛的小猴！接下來我們就用這兩張圖片來玩一個(gè)游戲。我把正六邊形固定不動(dòng)，讓正四邊形繞正六邊形按同一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正四邊形開始轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，猴子的尾巴——（斷開了?。?/p>
師：我想請(qǐng)大家猜一猜，從這個(gè)時(shí)候算起，轉(zhuǎn)動(dòng)幾次，猴子的尾巴又能重新接回？到底幾次？怎樣才能知道？行，我來轉(zhuǎn)，你們大聲數(shù)?。ń處熮D(zhuǎn)動(dòng)圖片，學(xué)生數(shù)。）到第6次，暫停轉(zhuǎn)動(dòng)，接回了嗎？繼續(xù)轉(zhuǎn)！學(xué)生繼續(xù)數(shù)，到第12次時(shí)，尾巴重新接回。如果繼續(xù)轉(zhuǎn)，到第幾次尾巴還能重新接回？（24次?。┰倮^續(xù)？（36次?。┤绻^續(xù)寫下去，還能寫多少個(gè)？這個(gè)游戲叫“尾巴重新接回”。
【賞析】
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。”游戲是數(shù)學(xué)課堂上常用的情境，但駱老師設(shè)計(jì)的這個(gè)情境不一樣，它不是游戲與數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單疊加，三言兩語就直奔數(shù)學(xué)中心，讓學(xué)生有一種“上當(dāng)受騙”的感覺?！拔舶椭匦陆踊亍迸c“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”有什么關(guān)系？不用說學(xué)生，就是后面聽課的教師也是一愣。這種懸念激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望，真正達(dá)到了“轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲，未成曲調(diào)先有情”的效果。
史寧中教授說：新一輪課程改革其實(shí)是“過程中的教育”。“轉(zhuǎn)動(dòng)幾次，猴子的尾巴又能重新接回？”這是一個(gè)基于現(xiàn)實(shí)的真問題，學(xué)生興趣盎然，紛紛進(jìn)行大膽猜測(cè)，6次、12次、18次、24次不等。到底對(duì)不對(duì)呢？轉(zhuǎn)一下嘛！學(xué)生的眼睛緊緊盯著黑板，生怕錯(cuò)過了每一次的轉(zhuǎn)動(dòng)。6次，尾巴沒有接回，學(xué)生很愕然。12次，終于對(duì)了！這樣的情境源于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)而又略高于認(rèn)知，答案感覺簡(jiǎn)單其實(shí)不簡(jiǎn)單，結(jié)果好像是其實(shí)不是，學(xué)生的探究欲望一旦被撩撥起來，真是欲罷不能。
【教學(xué)片段二】
師：如果再玩一次這個(gè)游戲，你們有沒有信心？請(qǐng)看屏幕，動(dòng)物變了，更重要的是——圖形也變了，幾邊形和幾邊形？（8邊形和5邊形）轉(zhuǎn)動(dòng)幾次，尾巴又能重新接回？請(qǐng)看屏幕，我來轉(zhuǎn)，你們數(shù)，教師通過課件來轉(zhuǎn)動(dòng)尾巴。誰猜對(duì)了？掌聲送給剛才猜對(duì)的同學(xué)！
師：這么好玩的游戲，你們想不想自己玩一玩？好，聽清楚老師的要求。待會(huì)兒老師會(huì)給你們一些這樣的圖片（出示5邊形+4邊形、8邊形+4邊形的圖片），你們以小組為單位，也像剛才那樣，先猜，再轉(zhuǎn)，最后將數(shù)據(jù)填在表格里，（出示表格）能看懂嗎？好，下面請(qǐng)同學(xué)們分小組來合作玩這個(gè)游戲。
【賞析】
借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)明化、形象化，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。第一次玩這個(gè)游戲，學(xué)生大都處于一種懵懂的興奮狀態(tài)，關(guān)注的是游戲本身“好玩”，第二次玩這個(gè)游戲，教師提出明確的觀察要求：“什么變了？更重要的是什么變了？”看似隨意一問，實(shí)質(zhì)是教者的深思熟慮。不經(jīng)意間把學(xué)生的注意力從游戲情境引向數(shù)學(xué)思考：從多邊形邊數(shù)看，第一次6和4不互質(zhì)，第二次8和5互質(zhì);從接回次數(shù)看，第一次數(shù)目比較小，第二次比較大;從操作形式看，第一次手動(dòng)示范，第二次課件演示。
這么好玩的游戲?qū)W生早就按捺不住了！前蘇聯(lián)教育家阿莫納什維利指出：“兒童單靠動(dòng)腦，只能理解和掌握知識(shí)，如果加上動(dòng)手，他會(huì)明白知識(shí)的實(shí)際意義?！鼻皟纱斡螒?qū)W生獲得的是間接的經(jīng)驗(yàn)，但這種間接經(jīng)驗(yàn)又是必需的，它直接引導(dǎo)著學(xué)生接下來的猜想與實(shí)驗(yàn)?！凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行?！睂W(xué)生一邊操作、一邊記錄、一邊比較和思考，在潛意識(shí)中有一種直覺，這個(gè)游戲不簡(jiǎn)單，可能背后隱含著什么規(guī)律。兩組多邊形的邊數(shù)也是有意為之，一組互質(zhì)，另一組呈倍數(shù)關(guān)系，有利于學(xué)生從不同情況的接回次數(shù)中去歸納和發(fā)現(xiàn)。
【教學(xué)片段三】
師：剛才，我們總共玩了三次尾巴重新接回的游戲，第一次，猜對(duì)的人不多。第二次，猜對(duì)的人多了起來。到第三次你們自己玩的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)一下子就猜對(duì)了。咦！你們是不是有什么發(fā)現(xiàn)？這些重新接回的次數(shù)與什么有關(guān)？又是怎樣的關(guān)系呢？先請(qǐng)大家在小組內(nèi)說一說，然后請(qǐng)小組代表匯報(bào)。
生1：我們小組發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)圖形邊數(shù)相乘就能得到尾巴重新接回的次數(shù)。
師：你能舉個(gè)例子嗎？
生1：比如說4乘 6等于24，24就是重新接回次數(shù)中的一個(gè)。5乘8等于40，40也是重新接回次數(shù)中的一個(gè)。同樣，四八三十二、四五二十都出現(xiàn)在重新接回的次數(shù)中。
師：這是他們組的發(fā)現(xiàn)，其他同學(xué)對(duì)他們的發(fā)現(xiàn)有什么評(píng)價(jià)？
生2：他們的發(fā)現(xiàn)是對(duì)的，但不全，而且不一定是第一個(gè)，比如四六二十四就是第二次重新接回的數(shù)。
師：雖然兩個(gè)圖形的邊數(shù)乘起來能夠得到一些重新接回的數(shù)，但還有一些，它們并不是邊數(shù)的乘積，也重新接回了。
生3：我們小組發(fā)現(xiàn)重新接回的次數(shù)既是圖1（左邊圖形）邊數(shù)的倍數(shù)，又是圖2（右邊圖形）邊數(shù)的倍數(shù)。
師：你能不能結(jié)合黑板上的數(shù)據(jù)來說明？
生3：比如說12、24、36，都是重新接回的次數(shù)， 12既是6的倍數(shù)又是4的倍數(shù)，24是6的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，36也是6的倍數(shù)和4的倍數(shù)。
師：其他組呢？
生3：也是一樣的，40是8的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，80是8的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，120是8的倍數(shù)也是5的倍數(shù)。
師：這是他們小組的發(fā)現(xiàn)，你們有什么看法？（沒有學(xué)生舉手）那好！我們鼓掌通過！
【賞析】
“尾巴重新接回的奧秘是什么呢？”這是一個(gè)基于現(xiàn)實(shí)情境的“真”問題，回顧三次玩游戲的過程，猜對(duì)的人數(shù)從不多到逐步多了起來，再到很多學(xué)生一下子就猜對(duì)了，朦朦朧朧中學(xué)生覺得這里面有奧妙，有規(guī)律。這個(gè)規(guī)律是什么呢？課堂上對(duì)學(xué)生的信任就是給學(xué)生以力量。教師智慧的“退”造就了學(xué)生勇敢的“進(jìn)”，學(xué)生的思維始終處于一種心欲求而不得，口欲言而不能的“憤”“悱”狀態(tài)。
學(xué)習(xí)無非是每一個(gè)兒童內(nèi)部建構(gòu)的個(gè)性化的、個(gè)別化的“意義的經(jīng)驗(yàn)”。在積累豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生有一種表達(dá)的沖動(dòng)，迫切需要把自己的發(fā)現(xiàn)與教師和同伴分享。相同的游戲活動(dòng)，不同的學(xué)生獲得的經(jīng)驗(yàn)未必相同，在這種個(gè)性化的表述中，學(xué)生呈現(xiàn)的是一種“原生態(tài)”的思維，盡管粗糙，但彰顯了自己“樸素”的思想。對(duì)話中學(xué)生之間的“交鋒”很激烈，不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，“發(fā)現(xiàn)”在爭(zhēng)論中取得共識(shí)。課堂呈現(xiàn)的是一種深度參與和有過程的思考。
【教學(xué)片段四】
師：通過剛才的討論和匯報(bào)，我們發(fā)現(xiàn)，原來尾巴重新接回的奧秘就是兩個(gè)正多邊形邊數(shù)的公倍數(shù)，第一次接回就是它們的最小公倍數(shù)！ 如果現(xiàn)在還讓你們玩這個(gè)游戲，有把握嗎？比如說正8邊形和正6邊形（如下圖），要知道正6邊形至少轉(zhuǎn)動(dòng)幾次尾巴重新接回，其實(shí)就是求8和6的？（最小公倍數(shù)。）
生：最小公倍數(shù)！（24）
師：這么快！能不能把你們的想法寫下來？
生4：我先找出6的倍數(shù)和8的倍數(shù)，再找它們共同的倍數(shù)。
師：哦，他是先寫出6的倍數(shù)，再寫出8的倍數(shù)，再找出它們共同的倍數(shù)。剛才老師在下面看的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)還有一種很特別的做法，你們能不能看懂？（屏幕演示）
生5：6不是8的倍數(shù)，12也不是8的倍數(shù)，18也不是8的倍數(shù)，24既是6的倍數(shù)也是8的倍數(shù)。
師：他的做法其實(shí)就是先依次將6的倍數(shù)寫下來，看看它是不是同時(shí)也是8的倍數(shù)。能聽明白嗎？
生：能。
師：你還有什么想說的？
生6：這種做法是找6的倍數(shù)來比較，看是不是8的倍數(shù)。我覺得因?yàn)槲覀円业氖?和6的公倍數(shù)，因?yàn)?大一些，我們可以用8來試，這樣試的次數(shù)少一些。
【賞析】
對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)而言，“建?！钡倪^程，實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)化”的過程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)建構(gòu)的過程。新課上到此處，大家才恍然大悟，原來尾巴重新接回的奧秘就是求兩個(gè)正多邊形邊數(shù)的公倍數(shù)。在這里，情境、問題與概念有機(jī)融合在一起，只要提到公倍數(shù)，學(xué)生頭腦中馬上就會(huì)出現(xiàn)“尾巴重新接回”的情境，學(xué)生獲得的是一種程序性知識(shí)，是關(guān)于最小公倍數(shù)的“數(shù)學(xué)模型”。
西方科學(xué)教育思想的倡導(dǎo)者斯賓塞曾經(jīng)說過：“教學(xué)要從直觀開始，以抽象結(jié)束?！碑?dāng)學(xué)生積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，思維發(fā)展到一定的層次，這時(shí)就要進(jìn)行必要的抽象，進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”?；仡櫛竟?jié)課，“數(shù)學(xué)化”的過程其實(shí)就是“建?！钡倪^程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。有了“模型”意識(shí)，當(dāng)學(xué)生再遇到“尾巴重新接回”時(shí)便很快知道了該怎么做。站在“終點(diǎn)”回望探究之旅，學(xué)生對(duì)公倍數(shù)的認(rèn)識(shí)更深入了，由此而產(chǎn)生的興趣，必將深刻而持久地影響著他們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
（江蘇省海安縣明道小學(xué) ? 226600）
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馬貞
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【教學(xué)片段一】
師：今天，老師給大家?guī)砹艘粋€(gè)很好玩的游戲，想玩嗎？請(qǐng)看，這是一個(gè)正六邊形。這個(gè)呢？也可以說是一個(gè)正四邊形。兩張圖片拼起來是一只可愛的小猴！接下來我們就用這兩張圖片來玩一個(gè)游戲。我把正六邊形固定不動(dòng)，讓正四邊形繞正六邊形按同一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正四邊形開始轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候，猴子的尾巴——（斷開了?。?/p>
師：我想請(qǐng)大家猜一猜，從這個(gè)時(shí)候算起，轉(zhuǎn)動(dòng)幾次，猴子的尾巴又能重新接回？到底幾次？怎樣才能知道？行，我來轉(zhuǎn)，你們大聲數(shù)?。ń處熮D(zhuǎn)動(dòng)圖片，學(xué)生數(shù)。）到第6次，暫停轉(zhuǎn)動(dòng)，接回了嗎？繼續(xù)轉(zhuǎn)！學(xué)生繼續(xù)數(shù)，到第12次時(shí)，尾巴重新接回。如果繼續(xù)轉(zhuǎn)，到第幾次尾巴還能重新接回？（24次?。┰倮^續(xù)？（36次?。┤绻^續(xù)寫下去，還能寫多少個(gè)？這個(gè)游戲叫“尾巴重新接回”。
【賞析】
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。”游戲是數(shù)學(xué)課堂上常用的情境，但駱老師設(shè)計(jì)的這個(gè)情境不一樣，它不是游戲與數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單疊加，三言兩語就直奔數(shù)學(xué)中心，讓學(xué)生有一種“上當(dāng)受騙”的感覺?！拔舶椭匦陆踊亍迸c“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”有什么關(guān)系？不用說學(xué)生，就是后面聽課的教師也是一愣。這種懸念激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望，真正達(dá)到了“轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲，未成曲調(diào)先有情”的效果。
史寧中教授說：新一輪課程改革其實(shí)是“過程中的教育”。“轉(zhuǎn)動(dòng)幾次，猴子的尾巴又能重新接回？”這是一個(gè)基于現(xiàn)實(shí)的真問題，學(xué)生興趣盎然，紛紛進(jìn)行大膽猜測(cè)，6次、12次、18次、24次不等。到底對(duì)不對(duì)呢？轉(zhuǎn)一下嘛！學(xué)生的眼睛緊緊盯著黑板，生怕錯(cuò)過了每一次的轉(zhuǎn)動(dòng)。6次，尾巴沒有接回，學(xué)生很愕然。12次，終于對(duì)了！這樣的情境源于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)而又略高于認(rèn)知，答案感覺簡(jiǎn)單其實(shí)不簡(jiǎn)單，結(jié)果好像是其實(shí)不是，學(xué)生的探究欲望一旦被撩撥起來，真是欲罷不能。
【教學(xué)片段二】
師：如果再玩一次這個(gè)游戲，你們有沒有信心？請(qǐng)看屏幕，動(dòng)物變了，更重要的是——圖形也變了，幾邊形和幾邊形？（8邊形和5邊形）轉(zhuǎn)動(dòng)幾次，尾巴又能重新接回？請(qǐng)看屏幕，我來轉(zhuǎn)，你們數(shù)，教師通過課件來轉(zhuǎn)動(dòng)尾巴。誰猜對(duì)了？掌聲送給剛才猜對(duì)的同學(xué)！
師：這么好玩的游戲，你們想不想自己玩一玩？好，聽清楚老師的要求。待會(huì)兒老師會(huì)給你們一些這樣的圖片（出示5邊形+4邊形、8邊形+4邊形的圖片），你們以小組為單位，也像剛才那樣，先猜，再轉(zhuǎn)，最后將數(shù)據(jù)填在表格里，（出示表格）能看懂嗎？好，下面請(qǐng)同學(xué)們分小組來合作玩這個(gè)游戲。
【賞析】
借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)明化、形象化，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。第一次玩這個(gè)游戲，學(xué)生大都處于一種懵懂的興奮狀態(tài)，關(guān)注的是游戲本身“好玩”，第二次玩這個(gè)游戲，教師提出明確的觀察要求：“什么變了？更重要的是什么變了？”看似隨意一問，實(shí)質(zhì)是教者的深思熟慮。不經(jīng)意間把學(xué)生的注意力從游戲情境引向數(shù)學(xué)思考：從多邊形邊數(shù)看，第一次6和4不互質(zhì)，第二次8和5互質(zhì);從接回次數(shù)看，第一次數(shù)目比較小，第二次比較大;從操作形式看，第一次手動(dòng)示范，第二次課件演示。
這么好玩的游戲?qū)W生早就按捺不住了！前蘇聯(lián)教育家阿莫納什維利指出：“兒童單靠動(dòng)腦，只能理解和掌握知識(shí)，如果加上動(dòng)手，他會(huì)明白知識(shí)的實(shí)際意義?！鼻皟纱斡螒?qū)W生獲得的是間接的經(jīng)驗(yàn)，但這種間接經(jīng)驗(yàn)又是必需的，它直接引導(dǎo)著學(xué)生接下來的猜想與實(shí)驗(yàn)?！凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行?！睂W(xué)生一邊操作、一邊記錄、一邊比較和思考，在潛意識(shí)中有一種直覺，這個(gè)游戲不簡(jiǎn)單，可能背后隱含著什么規(guī)律。兩組多邊形的邊數(shù)也是有意為之，一組互質(zhì)，另一組呈倍數(shù)關(guān)系，有利于學(xué)生從不同情況的接回次數(shù)中去歸納和發(fā)現(xiàn)。
【教學(xué)片段三】
師：剛才，我們總共玩了三次尾巴重新接回的游戲，第一次，猜對(duì)的人不多。第二次，猜對(duì)的人多了起來。到第三次你們自己玩的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)一下子就猜對(duì)了。咦！你們是不是有什么發(fā)現(xiàn)？這些重新接回的次數(shù)與什么有關(guān)？又是怎樣的關(guān)系呢？先請(qǐng)大家在小組內(nèi)說一說，然后請(qǐng)小組代表匯報(bào)。
生1：我們小組發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)圖形邊數(shù)相乘就能得到尾巴重新接回的次數(shù)。
師：你能舉個(gè)例子嗎？
生1：比如說4乘 6等于24，24就是重新接回次數(shù)中的一個(gè)。5乘8等于40，40也是重新接回次數(shù)中的一個(gè)。同樣，四八三十二、四五二十都出現(xiàn)在重新接回的次數(shù)中。
師：這是他們組的發(fā)現(xiàn)，其他同學(xué)對(duì)他們的發(fā)現(xiàn)有什么評(píng)價(jià)？
生2：他們的發(fā)現(xiàn)是對(duì)的，但不全，而且不一定是第一個(gè)，比如四六二十四就是第二次重新接回的數(shù)。
師：雖然兩個(gè)圖形的邊數(shù)乘起來能夠得到一些重新接回的數(shù)，但還有一些，它們并不是邊數(shù)的乘積，也重新接回了。
生3：我們小組發(fā)現(xiàn)重新接回的次數(shù)既是圖1（左邊圖形）邊數(shù)的倍數(shù)，又是圖2（右邊圖形）邊數(shù)的倍數(shù)。
師：你能不能結(jié)合黑板上的數(shù)據(jù)來說明？
生3：比如說12、24、36，都是重新接回的次數(shù)， 12既是6的倍數(shù)又是4的倍數(shù)，24是6的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，36也是6的倍數(shù)和4的倍數(shù)。
師：其他組呢？
生3：也是一樣的，40是8的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，80是8的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，120是8的倍數(shù)也是5的倍數(shù)。
師：這是他們小組的發(fā)現(xiàn)，你們有什么看法？（沒有學(xué)生舉手）那好！我們鼓掌通過！
【賞析】
“尾巴重新接回的奧秘是什么呢？”這是一個(gè)基于現(xiàn)實(shí)情境的“真”問題，回顧三次玩游戲的過程，猜對(duì)的人數(shù)從不多到逐步多了起來，再到很多學(xué)生一下子就猜對(duì)了，朦朦朧朧中學(xué)生覺得這里面有奧妙，有規(guī)律。這個(gè)規(guī)律是什么呢？課堂上對(duì)學(xué)生的信任就是給學(xué)生以力量。教師智慧的“退”造就了學(xué)生勇敢的“進(jìn)”，學(xué)生的思維始終處于一種心欲求而不得，口欲言而不能的“憤”“悱”狀態(tài)。
學(xué)習(xí)無非是每一個(gè)兒童內(nèi)部建構(gòu)的個(gè)性化的、個(gè)別化的“意義的經(jīng)驗(yàn)”。在積累豐富活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生有一種表達(dá)的沖動(dòng)，迫切需要把自己的發(fā)現(xiàn)與教師和同伴分享。相同的游戲活動(dòng)，不同的學(xué)生獲得的經(jīng)驗(yàn)未必相同，在這種個(gè)性化的表述中，學(xué)生呈現(xiàn)的是一種“原生態(tài)”的思維，盡管粗糙，但彰顯了自己“樸素”的思想。對(duì)話中學(xué)生之間的“交鋒”很激烈，不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，“發(fā)現(xiàn)”在爭(zhēng)論中取得共識(shí)。課堂呈現(xiàn)的是一種深度參與和有過程的思考。
【教學(xué)片段四】
師：通過剛才的討論和匯報(bào)，我們發(fā)現(xiàn)，原來尾巴重新接回的奧秘就是兩個(gè)正多邊形邊數(shù)的公倍數(shù)，第一次接回就是它們的最小公倍數(shù)！ 如果現(xiàn)在還讓你們玩這個(gè)游戲，有把握嗎？比如說正8邊形和正6邊形（如下圖），要知道正6邊形至少轉(zhuǎn)動(dòng)幾次尾巴重新接回，其實(shí)就是求8和6的？（最小公倍數(shù)。）
生：最小公倍數(shù)！（24）
師：這么快！能不能把你們的想法寫下來？
生4：我先找出6的倍數(shù)和8的倍數(shù)，再找它們共同的倍數(shù)。
師：哦，他是先寫出6的倍數(shù)，再寫出8的倍數(shù)，再找出它們共同的倍數(shù)。剛才老師在下面看的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)還有一種很特別的做法，你們能不能看懂？（屏幕演示）
生5：6不是8的倍數(shù)，12也不是8的倍數(shù)，18也不是8的倍數(shù)，24既是6的倍數(shù)也是8的倍數(shù)。
師：他的做法其實(shí)就是先依次將6的倍數(shù)寫下來，看看它是不是同時(shí)也是8的倍數(shù)。能聽明白嗎？
生：能。
師：你還有什么想說的？
生6：這種做法是找6的倍數(shù)來比較，看是不是8的倍數(shù)。我覺得因?yàn)槲覀円业氖?和6的公倍數(shù)，因?yàn)?大一些，我們可以用8來試，這樣試的次數(shù)少一些。
【賞析】
對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)而言，“建?！钡倪^程，實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)化”的過程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)建構(gòu)的過程。新課上到此處，大家才恍然大悟，原來尾巴重新接回的奧秘就是求兩個(gè)正多邊形邊數(shù)的公倍數(shù)。在這里，情境、問題與概念有機(jī)融合在一起，只要提到公倍數(shù)，學(xué)生頭腦中馬上就會(huì)出現(xiàn)“尾巴重新接回”的情境，學(xué)生獲得的是一種程序性知識(shí)，是關(guān)于最小公倍數(shù)的“數(shù)學(xué)模型”。
西方科學(xué)教育思想的倡導(dǎo)者斯賓塞曾經(jīng)說過：“教學(xué)要從直觀開始，以抽象結(jié)束?！碑?dāng)學(xué)生積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，思維發(fā)展到一定的層次，這時(shí)就要進(jìn)行必要的抽象，進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”?；仡櫛竟?jié)課，“數(shù)學(xué)化”的過程其實(shí)就是“建?！钡倪^程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。有了“模型”意識(shí)，當(dāng)學(xué)生再遇到“尾巴重新接回”時(shí)便很快知道了該怎么做。站在“終點(diǎn)”回望探究之旅，學(xué)生對(duì)公倍數(shù)的認(rèn)識(shí)更深入了，由此而產(chǎn)生的興趣，必將深刻而持久地影響著他們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。
（江蘇省海安縣明道小學(xué) ? 226600）
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