袁　淋，李曉平，李松岑

（1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室，成都610500；2.中國石化中原油田普光分公司，四川達(dá)州636155）

油氣田開發(fā)

低滲水驅(qū)油藏水平井見水后產(chǎn)能研究新方法

袁淋1，李曉平1，李松岑2

（1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室，成都610500；2.中國石化中原油田普光分公司，四川達(dá)州636155）

在利用水平井開發(fā)低滲水驅(qū)油藏的過程中，油井見水是制約其產(chǎn)量的一個重要因素。基于Joshi水平井產(chǎn)能分析理論，將水平井三維滲流問題簡化為2個二維平面滲流問題，考慮啟動壓力梯度，利用保角變換方法分別獲得了2個二維平面內(nèi)的產(chǎn)量公式，再結(jié)合水驅(qū)油藏中非活塞式驅(qū)替過程油水兩相滲流特征，最終求得了低滲水驅(qū)油藏中水平井產(chǎn)油量計算新公式。通過實例計算與對比發(fā)現(xiàn)，本文公式與水平井單相經(jīng)典產(chǎn)能公式計算結(jié)果雖然均比實際產(chǎn)油量大，但是本文公式計算結(jié)果與實際產(chǎn)油量相對誤差最小，為2.94%，從而證明本文公式準(zhǔn)確性較高、實用性較好。此項研究為低滲水驅(qū)油藏水平井見水后產(chǎn)量預(yù)測提供了新的思路。

低滲儲層；水驅(qū)開發(fā)；水平井；油水兩相；油井產(chǎn)能

0　引言

在利用水平井開發(fā)低滲水驅(qū)油藏過程中，由于黏度差異、毛細(xì)管現(xiàn)象以及油層非均質(zhì)性等因素的影響，驅(qū)替方式通常為非活塞式驅(qū)替，且在驅(qū)替相與被驅(qū)替相之間存在一油水兩相滲流的過渡帶，加之啟動壓力梯度的影響，使得低滲水驅(qū)油藏中水平井周圍的滲流更加復(fù)雜，因而用常規(guī)水平井單相產(chǎn)能公式無法準(zhǔn)確預(yù)測其產(chǎn)能［1-5］。國內(nèi)外學(xué)者［6-14］將理論與實驗相結(jié)合，研究了低滲油藏中油水兩相滲流規(guī)律，但對于水驅(qū)油藏水平井見水后產(chǎn)能的研究尚存在不足。筆者認(rèn)為水平井見水后外部滲流場為驅(qū)替相的單相滲流，內(nèi)部滲流場為油水兩相滲流，進而在考慮啟動壓力梯度的基礎(chǔ)上，求得低滲水驅(qū)油藏水平井見水后產(chǎn)油量預(yù)測新公式，并通過實例證明新公式的準(zhǔn)確性以及產(chǎn)水對水平井產(chǎn)能的影響，以期為低滲水驅(qū)油藏水平井合理工作制度的研究提供理論依據(jù)。

1　產(chǎn)能公式推導(dǎo)

流體在水平井周圍地層中的滲流為橢球形三維滲流。對于該三維滲流問題的處理，目前最常用的方法是Joshi［3，15］提出的將三維滲流簡化為水平平面與垂直平面2個二維滲流。在水驅(qū)油藏見水后，水平平面內(nèi)的滲流為水相的滲流，而垂直平面內(nèi)的滲流為油水兩相的滲流。在2個二維滲流平面內(nèi)分別求取產(chǎn)能公式，再利用等值滲流阻力法與水電相似原理便可獲得水平井產(chǎn)能公式。

1.1水平平面內(nèi)的產(chǎn)能公式

流體在水平平面內(nèi)的滲流為橢圓形供給邊界中存在一排液坑道的滲流問題［5］，引入儒柯夫斯基變換，取保角變換函數(shù)，即

式中：L為水平段長度，m；Z與ξ分別為儒柯夫斯基變換前后2個復(fù)平面內(nèi)的變量，Z=x+iy，ξ=u+iv。

通過此變換，將Z1平面內(nèi)長半軸為a、短半軸為b的橢圓滲流場轉(zhuǎn)換成Z2平面內(nèi)半徑為（a+b）/（L/2）的圓形區(qū)域，并將線段（-L/2，0）到（L/2，0）映射成單位圓周，這就等價于半徑為（a+b）/（L/2）的泄油區(qū)域內(nèi)一口半徑為1的直井的滲流問題（圖1）。

經(jīng)過儒柯夫斯基變換后，啟動壓力梯度變?yōu)?/p>

式中：λ′為保角變換后的啟動壓力梯度，MPa/m；re為泄油半徑，m；λ為啟動壓力梯度，MPa/m；a為橢圓形泄油區(qū)域長半軸長度，m；b為橢圓形泄油區(qū)域短半軸長度，m。

圖1　水平平面內(nèi)保角變換示意圖Fig.1　The sketch map of conformal mapping in horizontal plane

水平平面內(nèi)的滲流為單相水的流動，考慮啟動壓力梯度的運動方程為［16］

式中：v為油藏中任一點的滲流速度，m/d；kh為油藏水平方向滲透率，mD；μw為地層水黏度，mPa·s；p為油藏中任一點的壓力，MPa；r為油藏中任一點的徑向距離，m。

分離變量，將式（3）在r區(qū)間［1，（a+b）/（L/2）］上積分，化簡得到水平平面內(nèi)的壓降為

式中：pe為油藏驅(qū)動壓力，MPa；pF為內(nèi)部滲流場驅(qū)動壓力，MPa；h為油藏厚度，m；qL為日產(chǎn)液量，m3/d。

1.2垂直平面內(nèi)的產(chǎn)能公式

垂直平面內(nèi)的滲流可看成上下封閉邊界中一點匯的滲流問題，引入儒柯夫斯基變換，取保角變換函數(shù)

通過此變換，將Z1平面的帶型區(qū)域（-0.5h＜y＜0.5h）轉(zhuǎn)換成Z2平面的單位圓形區(qū)域，Z1平面上的匯點（0，0）變成Z2平面上的圓心（0，0）（圖2）。

圖2　垂直平面內(nèi)保角變換示意圖Fig.2　The sketch map of conformal mapping in vertical plane

Z1平面上的井筒半徑rw在Z2平面上變成ρw

式中：rw為水平井井筒半徑，m；ρw為保角變換后的水平井井筒半徑，m。

啟動壓力梯度變?yōu)?/p>

垂直平面內(nèi)為油水兩相滲流，考慮啟動壓力梯度的油水兩相運動方程為［17］

式中：kv為油藏垂直方向滲透率，mD；krw為水相相對滲透率；kro為油相相對滲透率；μo為原油黏度，mPa·s。

式中：pwf為水平井井底流壓，MPa。

在垂直平面內(nèi)，油藏的含水飽和度分布滿足徑向Buckley-Levereet方程［16］：

式中：φ為儲層孔隙度，%；ΣQ1為累計產(chǎn)液量，m3；rf為垂直平面內(nèi)供給半徑，m，文中為1 m；fw為油藏中任一點的分流率，%；Sw為油藏中任一點的含水飽和度，%。

當(dāng)r為井筒半徑時，則此時位于油水驅(qū)替前緣，rf=1，則式（10）可以寫為

式中：Swf為前緣含水飽和度，%。

綜合式（10）和（11）可得

式（12）等號兩邊同時微分得

將式（13）代入式（9），并利用分流率的表達(dá)式

則式（9）可以變化為

1.3水平井產(chǎn)能公式

結(jié)合式（4）與（15），可得到水平井的產(chǎn)液量公式，即

利用產(chǎn)液量與產(chǎn)油量之間的關(guān)系，將式（16）轉(zhuǎn)化為產(chǎn)油量公式

其中

式中：qo為日產(chǎn)油量，m3/d。

A的求取方法有2種：一是利用數(shù)值積分法求解，根據(jù)梯形公式或辛普森公式進行計算；二是采用圖形擬合法求解?？紤]到數(shù)值積分法計算結(jié)果精度不高，因此采用圖形擬合法求解，具體步驟如下：①根據(jù)兩相滲透率實驗測試數(shù)據(jù)做油水兩相相對滲透率曲線；②根據(jù)含水率計算公式，結(jié)合相滲曲線，做分流率隨含水飽和度變化的關(guān)系曲線，再過（Swr，0）點做該曲線的切線，切點對應(yīng)的含水飽和度即為水驅(qū)前緣含水飽和度；③利用分流率曲線，計算求得分流率導(dǎo)數(shù)隨含水飽和度變化的關(guān)系曲線，擬合得到分流率導(dǎo)數(shù)與含水飽和度的表達(dá)式；④根據(jù)第①～②步分流率計算結(jié)果以及第③步分流率導(dǎo)數(shù)與含水飽和度擬合關(guān)系式，計算得到B與fw′（Sw）關(guān)系曲線，進而擬合得到二者之間關(guān)系式，將變量fw′（Sw）在區(qū)間［0，fw′（Swf）］上積分得到A的值。

2　實例計算與分析

某低滲水驅(qū)油藏處于開發(fā)中后期，日產(chǎn)液量較高，但油井含水率較高，產(chǎn)油量低，其中一水平井參數(shù)如表1所列。

表1　某低滲水驅(qū)油藏一水平井基本參數(shù)Table1　The parameters of a horizontal well in one low permeability water flooding reservoir

若要計算水平井產(chǎn)液量以及產(chǎn)油量，則必須先計算出A的值。根據(jù)所給相滲測試資料，做該區(qū)塊油水兩相相對滲透率曲線（圖3）。

圖3　油水兩相相對滲透率曲線Fig.3　The relative permeability curve of oil-water two phase

根據(jù)該相滲曲線，利用式（16）分流率計算公式獲得分流率曲線（圖4）。

圖4　分流率隨含水飽和度變化曲線Fig.4　The change of shunt index with water saturation

過（0.3，0）點做分流率曲線的切線，切點對應(yīng)的含水飽和度為47%，即前緣含水飽和度，對應(yīng)的前緣分流率約為0.7。根據(jù)該分流率曲線，通過計算可以得到分流率導(dǎo)數(shù)曲線（圖5）。

圖5　分流率導(dǎo)數(shù)曲線Fig.5　The derivative curve of shunt index

通過擬合發(fā)現(xiàn)，采用六次多項式擬合，相關(guān)系數(shù)為0.975 1，準(zhǔn)確性較高，則得到分流率導(dǎo)數(shù)與含水飽和度的關(guān)系式為

結(jié)合式（19）、相滲曲線以及分流率曲線，做B與fw′（Sw）關(guān)系曲線（圖6）。

圖6　B與fw′（Sw）的擬合關(guān)系曲線Fig.6　The fitting curves between B and fw′（Sw）

為了提高擬合精度，可以進行分段擬合，從0增加到fw′（Sw）max為第一段，fw′（Sw）max遞減到fw′（Swf）為第二段。由擬合結(jié)果可以看出，相關(guān)系數(shù)為1，擬合程度較高，可以得到關(guān)系式為

fw′（Sw）max的值通過分流率導(dǎo)數(shù)曲線可以得到，約為5.5，對式（20）進行積分得到A值為84.305 2。將表1中的參數(shù)代入式（16）和（17），進而求得產(chǎn)液量為30.628 m3/d，產(chǎn)油量為8.06 m3/d。

將所給已知參數(shù)代入考慮啟動壓力梯度的水平井單相經(jīng)典產(chǎn)能公式進行計算，并將計算結(jié)果（表2）與實際產(chǎn)油量7.83 m3/d進行對比。

表2　水平井單相經(jīng)典產(chǎn)能公式與本文公式產(chǎn)油量計算結(jié)果對比Table2　Comparison of results calculated by new formula and single-phase productivity formula of horizontal well

從表2可以看出，本文公式與水平井單相經(jīng)典產(chǎn)能公式計算結(jié)果雖然均比實際產(chǎn)油量偏高，但本文公式計算結(jié)果與實際產(chǎn)油量相對誤差最小，為2.94%。這是因為水平井見水后，井筒周圍滲流場由純油區(qū)變?yōu)橛退畠上鄥^(qū)，滲流阻力增加，進而導(dǎo)致產(chǎn)油量比水平井單相經(jīng)典產(chǎn)能公式計算結(jié)果偏低，說明水平井井底見水對其產(chǎn)油量具有較大的影響。因此，水驅(qū)油藏開發(fā)過程中應(yīng)采取合理控水措施，以延緩水的突破，延長無水采油期。

3　結(jié)論

（1）在考慮啟動壓力梯度的基礎(chǔ)上建立了低滲水驅(qū)油藏滲流數(shù)學(xué)模型，求得了水平井產(chǎn)液量以及產(chǎn)油量公式，實例計算表明本文公式與水平井單相經(jīng)典產(chǎn)能公式計算結(jié)果雖然均比實際產(chǎn)油量偏高，但是本文公式計算結(jié)果更加接近實際產(chǎn)油量。

（2）在水驅(qū)油藏中，由于井底水體的突破，使得井筒附近的滲流變?yōu)橛退畠上酀B流，并且含水飽和度沿徑向呈非均勻分布，而遠(yuǎn)井地帶仍為單相水的滲流。

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（本文編輯：于惠宇）

New method for productivity study of horizontal well after water breakthrough in low permeability water flooding reservoir

YUAN Lin1，LI Xiaoping1，LI Songcen2
（1.State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China；2.Gas Production Plant，Puguang Branch，Zhongyuan Oilfield Company，Sinopec，Dazhou 636155，Sichuan，China）

During the development of low permeability water flooding reservoir with horizontal well，water breakthrough is an important factor to restrict the production.Based on the Joshi theory of productivity of horizontal well，this paper simplified3Dflowofhorizontalwellintotwo2Dflows；consideringthestartuppressuregradient，usedconformal mapping method to obtain productivity formulas in two 2D flow planes respectively；combined with the flow characteristics of oil-water two phase during non-piston-like displacement in water flooding reservoir，eventually obtained a new production formula of horizontal well in low-permeability water flooding reservoir.Through case study and comparison，the results calculated by new formula and single-phase productivity formula of horizontal well are more than the actual output，but the result calculated by new formula has a small relative error with actual output，only of 2.94%.It demonstrates that the new formula has a high degree of accuracy and is very practical.The study will provide a new method for predicting the production after water breakthrough of horizontal well in low permeability water flooding reservoir.

low permeability reservoir；developing with water flooding；horizontal well；oil-water two phase；productivityofoil well

TE328

A

1673-8926（2015）03-0127-06

2014-10-30；

2014-12-04

國家杰出青年科學(xué)基金項目“油氣滲流力學(xué)”（編號：51125019）資助

袁淋（1990-），男，西南石油大學(xué)在讀碩士研究生，研究方向為油氣藏工程與滲流力學(xué)。地址：（610500）四川省成都市新都區(qū)西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室B403室。E-mail：yuanlin343@163.com

李曉平（1963-），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事滲流力學(xué)、試井分析及油氣藏工程領(lǐng)域的教學(xué)和科研工作。E-mail：nclxphm@126.com。