張秋長(zhǎng)

(廈門(mén)大學(xué)嘉庚學(xué)院,福建漳州363105)

光在金屬界面?zhèn)鞑サ膶?shí)折射角計(jì)算

張秋長(zhǎng)

(廈門(mén)大學(xué)嘉庚學(xué)院,福建漳州363105)

通過(guò)對(duì)光波矢量分別定義等幅面單位矢量和等相面單位矢量,根據(jù)光的傳播表達(dá)式,分別運(yùn)用相應(yīng)的邊界條件,并分別求出了光通過(guò)介質(zhì)/金屬、金屬/介質(zhì)后的實(shí)折射角.通過(guò)數(shù)值計(jì)算可知:對(duì)于第1種情況獲得的結(jié)果與Born和Wolf通過(guò)廣義的斯涅耳折射定律得到的結(jié)果一致;金屬/介質(zhì)的實(shí)折射角除了和入射角、介質(zhì)的折射率、金屬的復(fù)光學(xué)常數(shù)有關(guān)外,還與金屬中等幅面單位矢量和等相面單位矢量的夾角有關(guān),且當(dāng)2個(gè)單位矢量之間的夾角滿(mǎn)足一定的關(guān)系時(shí),折射角隨著入射角的增大出現(xiàn)先增大后減小的現(xiàn)象.

幾何光學(xué);光折射;Snell定律;復(fù)光學(xué)常數(shù);光傳輸

早在17世紀(jì)上半葉,Snell和Descartes就發(fā)現(xiàn)當(dāng)光線(xiàn)穿越由不同介質(zhì)構(gòu)成的界面時(shí)會(huì)發(fā)生折射的現(xiàn)象,并總結(jié)出了Snell折射定律,成為現(xiàn)代光學(xué)原理的重要基礎(chǔ)[1].這一定律被廣泛應(yīng)用于理解光在非吸收的透明物質(zhì)中的傳播行為.但當(dāng)被擴(kuò)展和應(yīng)用于強(qiáng)的光吸收材料,如金屬邊界時(shí),這一問(wèn)題至今仍未能被很好地認(rèn)識(shí)和理解.

過(guò)去的幾十年中許多學(xué)者對(duì)光散射幾何光學(xué)近似(geometrical optics approximation,GOA)進(jìn)行了研究[2-13],GOA方法能夠克服Mie理論計(jì)算大顆粒散射振幅耗時(shí)的缺點(diǎn).而對(duì)于吸收性顆粒GOA的研究,存在計(jì)算吸收性顆粒中光的傳播路徑和菲涅爾系數(shù)的困難[14],有研究者通過(guò)引入有效折射率,提出了在吸收性介質(zhì)中菲涅耳系數(shù)的計(jì)算公式,也有研究者將吸收顆粒里的非均勻波近似看作均勻波,給出了弱吸收顆粒近似計(jì)算的結(jié)果,但對(duì)于吸收性稍微強(qiáng)的顆粒,以及強(qiáng)的吸收性顆粒,這種近似不再成立[9,15].因?yàn)楫?dāng)光折射入吸收性介質(zhì)時(shí),對(duì)應(yīng)的折射角是一個(gè)復(fù)數(shù),必須用等效折射角來(lái)描述光的實(shí)際傳播路徑.本文研究了光在金屬中的傳播以及光在金屬界面的折射規(guī)律.分別求出了光通過(guò)介質(zhì)/金屬、金屬/介質(zhì)邊界時(shí)的實(shí)折射角.2組實(shí)折射角的大小均和入射角、介質(zhì)的折射率、金屬的復(fù)光學(xué)常數(shù)有關(guān);此外光入射金屬/介質(zhì)邊界時(shí)的實(shí)折射角還與金屬中等幅面單位矢量和等相面單位矢量的夾角有關(guān).

1 光在金屬邊界的實(shí)折射角問(wèn)題

Born和Wolf根據(jù)麥克斯韋方程和邊界條件,給出了一組計(jì)算公式,用于分析和處理光從介質(zhì)入射到金屬時(shí),已知介質(zhì)(折射率為na)一側(cè)的入射角θa和金屬的光學(xué)常數(shù)~n=n+iκ,即可計(jì)算在金屬一側(cè)發(fā)生的實(shí)折射角[16]:

上式中折射角θτ是基于Snell公式的一般意義上在金屬一側(cè)的復(fù)折射角,nm和θm分別是基于Snell公式的金屬等效實(shí)數(shù)折射率和光在金屬一側(cè)的實(shí)折射角,q和δ是計(jì)算過(guò)程中引入的中間參數(shù).假設(shè)光從大氣(na=1)入射金屬銀(~n=0.2+i3.44)[2],按公式(1)計(jì)算光在金屬銀一側(cè)的實(shí)折射角θm隨入射角θa的變化關(guān)系,結(jié)果如圖1所示.當(dāng)θa較小時(shí),金屬銀一側(cè)的θm與θa近似成線(xiàn)性變化關(guān)系,并且由公式(1)可得sin2θa≈0,nm≈n,與金屬折射率的虛部無(wú)關(guān).而在大的入射角情況下,θm隨θa的變化趨于平坦.

依據(jù)同樣的原理,Garcia-Pomar等給出了光從金屬入射到介質(zhì)的情況的計(jì)算公式,已知金屬銀一側(cè)的入射角θm,則在介質(zhì)一側(cè)發(fā)生的實(shí)折射角θa滿(mǎn)足如下關(guān)系[17]:

圖1 金屬銀一側(cè)的實(shí)折射角θm與大氣一側(cè)入射角θa的關(guān)系Fig.1 Real refractive angleθm at the silver side shows the relationship with the incidence angleθa at the air side

圖2 大氣一側(cè)的實(shí)折射角θa與銀一側(cè)的入射角θm的關(guān)系Fig.1 Real refractive angleθa at the air side shows the relationship with the incidence angleθm at the silver side

當(dāng)光在金屬銀中以入射角θm穿過(guò)銀和大氣的界面時(shí),按式(2)計(jì)算出光在大氣一側(cè)的折射角θa隨入射角θm的變化關(guān)系,結(jié)果顯示在圖2中.由圖2可知,大氣一側(cè)的出射角θa與銀一側(cè)的實(shí)入射角θm具有圖1中類(lèi)似的變化關(guān)系.若假設(shè)光從介質(zhì)一側(cè)入射,穿過(guò)平行的金屬銀膜,發(fā)生實(shí)折射角,又以該折射角作為入射角,從介質(zhì)一側(cè)出射,由于式(1)、(2)中的等效折射率nm具有不同的表達(dá)式,可知介質(zhì)一側(cè)的出射角并不等于初始入射角.從圖1中可知,當(dāng)大氣一側(cè)的入射角為0.6 rad時(shí),金屬銀一側(cè)的實(shí)折射角約等于1.3 rad,而在圖2中,若以1.3 rad作為金屬銀一側(cè)的入射角,在大氣一側(cè)的折射角約為0.055 rad,約是初始入射角的1/10,這與實(shí)驗(yàn)觀(guān)察的結(jié)果不一致,即介質(zhì)一側(cè)的出射角應(yīng)等于初始入射角,所以上述模型具有一定的局限性.雖然2組公式都基于相同的原理,但是由于第2組計(jì)算公式入射角是復(fù)數(shù)角,而處理過(guò)程代入計(jì)算的是實(shí)數(shù)角度,忽略了復(fù)數(shù)角對(duì)折射角的影響.所以利用2種模型得到的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果不一致.為了獲得和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致的理論模型,本文通過(guò)對(duì)光波矢量定義等幅面單位矢量和等相面單位矢量,根據(jù)光的傳播表達(dá)式,分別運(yùn)用相應(yīng)的斯涅耳折射定律,求解得到光在金屬界面發(fā)生的實(shí)折射角,通過(guò)分析獲得理論和實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)一.

2 光從介質(zhì)入射到金屬的實(shí)折射角

光波在金屬中的傳播如圖3所示,它的等幅面一般不與等相面重合,這樣的波稱(chēng)為非均勻波,等幅面和等相面的單位矢量分別為q和s,兩單位矢量之間的夾角為ξ=cos-1(q·s).把平面電磁波E(r,t)= E(r)e-iωt,H(r,t)=H(r)e-iωt代人麥克斯韋方程,可以得到光波在金屬中滿(mǎn)足如下方程[16]:

圖3 光在金屬中的傳播Fig.3 Light propagation in metal

從式(4)可知金屬的復(fù)光學(xué)常數(shù)并不是真正的物質(zhì)常數(shù),而是隨入射光的頻率改變.雖然根據(jù)經(jīng)典電磁理論,只有厚度異常薄的金屬樣品才能讓入射光有所透過(guò),但在金屬自由電子氣的Drude模型中,當(dāng)光的頻率足夠大,可預(yù)期金屬的光學(xué)行為基本上如同介電質(zhì),比如有些金屬在長(zhǎng)波區(qū)不透明并且反射高,而在可見(jiàn)和紫外的某一臨界波長(zhǎng),它們變得透明[16,18].

同時(shí)金屬中的光波可表示成:

相位常數(shù)、衰減常數(shù)與光學(xué)常數(shù)的實(shí)部、虛部之間的關(guān)系如下:

由于n,κ均不為0,從上式可知,ξ≠π/2,即兩單位矢量不會(huì)垂直.經(jīng)計(jì)算可得:

設(shè)入射波為均勻平面電磁波,Ei(r)=E0i· e-iksi s i·r,其中ksi=nik0(ni為介質(zhì)的折射率),為簡(jiǎn)便起見(jiàn),考慮入射波在入射面yz平面內(nèi),如圖4所示.

圖4 光在金屬中界面的折射與傳播Fig.4 Light propagation and its refraction at the metal interface

其中入射角為θi,折射角為θt,ξt為z軸和qt的夾角,兩單位矢量之間的夾角ξt=cos-1(qt·st),則根據(jù)相位的連續(xù)性可知,折射波的等幅面單位矢量和等相面單位矢量也均在入射面yz平面內(nèi),由于兩單位矢量不可能垂直,從圖4可知折射角θt肯定小于π/2,并且存在:

根據(jù)式(9)可得折射到金屬的實(shí)折射角θt如下:

從式(10)可知,折射到金屬的實(shí)折射角θt和入射角、介質(zhì)的折射率、金屬的復(fù)光學(xué)常數(shù)有關(guān).若用等效折射率nm表示式(10)中的平方根,則式(10)可以表示成斯涅耳定律的形式.nm除了取決于表征金屬的物理量,而且還取決于入射角.

圖5 金屬銀一側(cè)的實(shí)折射角θt與大氣一側(cè)入射角θi的關(guān)系Fig.1 Real refractive angleθt at the silver side shows the relationship with the incidence angleθi at the air side

按公式(10)計(jì)算光在金屬銀一側(cè)的實(shí)折射角θt隨大氣一側(cè)入射角θi的變化關(guān)系,結(jié)果如圖5所示.對(duì)比圖5和圖1可知兩曲線(xiàn)完全一致,說(shuō)明新的處理方法與Born和Wolf得到的結(jié)果一致.

3 光從金屬入射到介質(zhì)的實(shí)折射角

對(duì)于光從金屬入射到介質(zhì),考慮折射后的波為E′(r)=E′0·e-i(k′sts′t+ik′qt q′t)·r,考慮入射波在入射面yz平面內(nèi)(如圖6所示),入射角為θ′i,入射波等幅面單位矢量和法線(xiàn)的夾角為ζ′i,折射角為θ′t,折射波等幅面單位矢量和法線(xiàn)的夾角為ζ′t,折射波兩單位矢量之間的夾角ξt′=cos-1(q′t·s′t),由于金屬中波的相位波矢和衰減波矢在界面上均有切向分量,所以折射波的相位常數(shù)k′st,衰減常數(shù)k′qt之間的關(guān)系如下:

圖6 光從金屬折射到介質(zhì)Fig.6 Light refraction from metal into medium

從式(11)可知,折射后的波為非均勻平面波,等幅面單位矢量q′t和等相面單位矢量s′t之間的夾角ξ′t=π/2,即兩單位矢量相互垂直.

同理,由邊界條件可知:

由式(11)、(12)可得折射到介質(zhì)中的實(shí)折射角θ′t由下式?jīng)Q定:

從式(13)可知,如果只給出與式(2)相同的已知條件,則式(13)計(jì)算不出實(shí)折射角的大小,因?yàn)樵诮橘|(zhì)一側(cè)的實(shí)折射角除了和入射角、介質(zhì)的折射率、金屬的復(fù)光學(xué)常數(shù)有關(guān)外,還與金屬中光波的等幅面單位矢量和等相面單位矢量的夾角有關(guān),這是公式(2)沒(méi)有考慮的參數(shù).

假設(shè)當(dāng)光從金屬銀(~n=0.2+i3.44)入射大氣(ni=1)界面時(shí),按公式(13)計(jì)算,分別考慮ζ′i=θ′i,ζ′i= θ′i/2,ζ′i=0時(shí)折射角θ′t隨入射角θ′i變化關(guān)系,從圖7可知對(duì)于ζ′i=θ′i,曲線(xiàn)和圖2非常吻合,說(shuō)明公式(2)只是式(13)的特殊情況,即等幅面和等相面相互平行;而當(dāng)ζ′i=θ′i/2時(shí),由圖可知折射角θ′t隨入射角θ′i增大出現(xiàn)先增加后減小的現(xiàn)象,若以1 rad作為金屬銀一側(cè)的入射角,由圖可得在大氣一側(cè)的折射角約分別為0.05 rad、1 rad,由此可知兩單位矢量之間的夾角ξ=cos-1(q·s)的大小對(duì)折射角大小的影響很大.所以當(dāng)光波在金屬中的等幅面與等相面重合(均勻光波),可以使用公式(2)進(jìn)行計(jì)算,而對(duì)于更一般的情況還需考慮等幅面單位矢量和等相面單位矢量的夾角對(duì)實(shí)折射角的影響,此時(shí)需要使用式(13)進(jìn)行計(jì)算.

圖7 大氣一側(cè)的實(shí)折射角θ′t與銀一側(cè)的入射角θ′i的關(guān)系Fig.7 Real refractive angleθ′t at the air side shows the relationship with the incidence angleθ′i.

當(dāng)ζ′i=0時(shí),即等幅面單位矢量qt垂直入射界面,此時(shí)由于金屬中波的衰減波矢在界面上的切向分量為零,所以折射波的波矢為一實(shí)數(shù)k′st=nik0,此時(shí)折射波為均勻波,相應(yīng)的邊界條件式(12)變?yōu)槿缦?

若光從介質(zhì)一側(cè)入射,穿過(guò)平行的金屬膜,發(fā)生折射,從大氣一側(cè)出射,綜合式(9)、(14)可知θi等于θ′t,即大氣一側(cè)的出射角等于初始入射角.這與實(shí)驗(yàn)觀(guān)察到大氣一側(cè)的出射角等于初始入射角的結(jié)果一致.

4 結(jié) 論

本文通過(guò)對(duì)光波矢量分別定義等幅面單位矢量和等相面單位矢量,研究了光在金屬中的傳播.對(duì)兩矢量運(yùn)用相應(yīng)的邊界條件,分別求出光通過(guò)介質(zhì)/金屬、金屬/介質(zhì)邊界時(shí)的實(shí)折射角.光通過(guò)介質(zhì)/金屬的實(shí)折射角與入射角、介質(zhì)的折射率、金屬的復(fù)光學(xué)常數(shù)有關(guān);而光入射金屬/介質(zhì)邊界時(shí)的實(shí)折射角除了和入射角、介質(zhì)的折射率、金屬的復(fù)光學(xué)常數(shù)有關(guān)外,還與金屬中等幅面單位矢量和等相面單位矢量的夾角有關(guān),當(dāng)兩單位矢量的夾角按一定的規(guī)律變化,折射角隨著入射角的增大先增大后減小;均勻光波從介質(zhì)一側(cè)入射,穿過(guò)金屬膜,發(fā)生實(shí)折射角,又以該實(shí)折射角作為入射角,從介質(zhì)一側(cè)出射,則介質(zhì)一側(cè)的出射角并不是一個(gè)確定的值,還必須給出等幅面單位矢量和等相面單位矢量的夾角才能確定出射角的大小.

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The Calculation of the Refraction Angle of Light Propagation at Metal Interface

ZHANG Qiu-zhang
(Xiamen University Tan Kah Kee College,Zhangzhou 363105,China)

The light propagation within a metal and the refraction at the interface of metals are studied.On the basis of unit vectors denoting the planes of constant field amplitude and constant phase,respectively,the light propagation and attenuation are described by the complex refractive index of the metal and the angle between the unit vectors,with the expression for the light propagation. Subject to corresponding boundary conditions,refractive angles of the light through the metal/medium and medium/metal interface have been obtained.The numerical analysis shows that resutls for the metal/medium case agree with those the Born and Wolf using snell′s law.The angle of refraction metal/medium depend not only on the incident angle,the refractive index of medium,and the complex refractive index of metal,but also on the angle between the planes of constant amplitude and of constant phase.While the angle between the two unit vectors satisfies a certain relation,the angle of refraction increases first and then decreases with the increase of incident angle.

geometric optics;light refraction;Snell law;complex optical constants;light propagation

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.02.016

O 435

A

0438-0479(2015)02-0242-05

2014-02-20 錄用日期:2014-05-29

Email:zqzhang@xujc.com

張秋長(zhǎng).光在金屬界面?zhèn)鞑サ膶?shí)折射角計(jì)算[J].廈門(mén)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,54(2):242-246.

:Zhang Qiuzhang.The calculation of the refraction angle of light propagation at metal interface[J].Journal of Xiamen U-niversity:Natural Science,2015,54(2):242-246.(in Chinese)