萬軒，張萬里，趙克全

（1.重慶電訊職業(yè)學院基礎部，重慶402247；2.重慶師范大學數(shù)學學院，重慶401331）

基于改進集的集值Ekeland變分原理

萬軒1，張萬里2，趙克全2

（1.重慶電訊職業(yè)學院基礎部，重慶402247；2.重慶師范大學數(shù)學學院，重慶401331）

Ekeland變分原理在最優(yōu)化理論及應用研究中具有十分重要的作用.利用非線性標量化函數(shù)及相應的非凸分離定理建立了基于改進集的集值Ekeland變分原理.新的Ekeland變分原理包含了一些經(jīng)典的Ekeland變分原理作為其特例.

改進集；Ekeland變分原理；集值映射；非線性標量化函數(shù)

1　引言

眾所周知，經(jīng)典的Ekeland變分原理在最優(yōu)化理論及應用，控制理論和非線性分析等很多領域中都具有十分廣泛的應用［1-2］.近年來，許多學者對經(jīng)典的Ekeland變分原理進行了深入研究，獲得了一系列具有重要理論意義與價值的研究成果［3-9］.特別地，文獻［3］分別基于完備序空間和完備度量空間建立了廣義集值Ekeland變分原理.文獻［4］建立了局部凸空間中的一類變形的集值Ekeland變分原理，即Ha型集值Ekeland變分原理，并研究了這類集值Ekeland變分原理的穩(wěn)定性.文獻［5］基于完備度量空間利用集值度量等概念對向量值Ekeland變分原理進行推廣，得出了一類新的帶集值度量的Ekeland變分原理.隨后，Guti′errez等人又在文獻［6］中基于度量空間（不必完備）利用一類近似解建立了一類集值Ekeland變分原理.此外，文獻［8］對文獻［4］中所建立的Ha型集值Ekeland變分原理進行了推廣，并建立了相應的等價性結果.文獻［9］中利用集值擬度量進一步推廣了文獻［5］中獲得的主要結果，建立了集值擬度量的集值Ekeland變分原理，并由此獲得了向量優(yōu)化問題近似解的一些相關研究結果.

文獻［10］基于comprehensive集提出了有限維空間中改進集的概念，并研究了改進集的一些拓撲性質.文獻［11］將改進集及E-有效解概念推廣到了一般實分離局部凸拓撲線性空間并研究了它們的一些性質.目前，改進集已成為研究向量優(yōu)化問題近似解，特別是統(tǒng)一形式的近似解的重要工具之一［12-14］.特別地，文獻［12］基于改進集提出了鄰近E-次似凸性概念和集值向量優(yōu)化問題弱E-最優(yōu)解概念，并建立了鄰近E-次似凸性假設條件下的擇一性定理和近似解的線性標量化定理等.文獻［13］基于改進集提出了E-Benson真有效解的概念，并基于E-次似凸性下的擇一性定理建立了這類近似真有效解的線性標量化定理和拉格朗日乘子定理等.

受文獻［8-9，12-13］中相關研究工作的啟發(fā)，本文利用改進集和非線性標量化函數(shù)等工具建立了集值映射的Ekeland變分原理.本文所建立的新的集值Ekeland變分原理包含了一些經(jīng)典形式的Ekeland變分原理作為其特例.

2　預備知識

假定（X，d）是度量空間，Y是局部凸空間，Rn表示n維歐幾里得空間，Rn+表示Rn中的非負象限錐，N+表示正整數(shù)全體.設A?Y，int A、?A和YA分別表示A的拓撲內部、A的邊界和A的補集.A的錐包為：

錐K?Y稱為點的，若K∩（-K）=｛0｝.設K為Y中具有非空拓撲內部的閉凸點錐，Y中由K誘導的偏序定義為對任意的x，y∈Y，x≤Ky?y-x∈K.

設F：X?Y為集值映射.稱F為K-閉的，若對任意的x∈X，F(xiàn)（x）+K是閉的.稱F（X）是K-有界的，若存在有界集M?Y使得F（X）?M+K.

定義2.1［8］稱（X，d）為（F，K）-下完備的，若Cauchy點列｛xn｝?X收斂且滿足對任意的正整數(shù)n，F(xiàn)（xn）?F（xn+1）+K.

定義2.2［8］稱F為K-序列下單調的，若對任意的正整數(shù)n，F(xiàn)（xn）?F（xn+1）+K且蘊含

其中k∈Y，?≠K?Y，inf?=+∞.

引理2.1［8］設k∈int K，則Ψk，K是次線性下半連續(xù)函數(shù)且具有如下性質：

（i）Ψk，K（y）＜r?y∈rk-int K；

（ii）Ψk，K（y）≤r?y∈rk-K；

（iii）Ψk，K（y）=r?y∈rk-?K；特別地，Ψk，K（k）=1，Ψk，K（λk）=λ，?λ∈R1；

（iv）Ψk，K（y）≥r?y?rk-int K；

（v）Ψk，K（y）＞r?y?rk-K；

（vi）Ψk，K（y+λk）=Ψk，K（y）+λ，?y∈Y，?λ∈R1；

（vii）y1≤Ky2?Ψk，K（y1）≤Ψk，K（y2）.

定義2.3［1012］稱非空集E?Y為關于K的改進集，若0?E且E+K=E.Y中關于K的全體改進集簇記為

注2.1由文獻［12］中的引理2.1可知，int K≠?蘊含int E≠?.

3　基于改進集的集值Ekeland變分原理

本節(jié)主要利用非線性標量化函數(shù)及其相應的非凸分離定理建立基于改建集的集值Ekeland變分原理，并討論它的一些特殊情形.

則?滿足自反性和傳遞性.

注3.1令k0∈int K，ε＞0且E=εk0+K.則定理3.1可退化為文獻［8］中定理3.1的λ=1的情況.

注3.2令k∈int K，ε＞0，δ＞0且E=（ε+δ）k+K.則定理3.1退化為文獻［6］中定理5.2的λ=1的情況.

若F為單值的，則下面的推論3.1是定理3.1的直接結果.

［1］Ekeland I.On the variational principle［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1974，47（2）：324-353.

［2］Ekeland I.Nonconvex minimization problems［J］.Bulletin（New Series）of the American Mathematical Society，1979，1（3）：443-474.

［3］Chen Guangya，Huang Xuexiang，Hou S H.General Ekeland′s variational principle for set-valued mappings［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2000，106（1）：151-164.

［4］Ha T X D.Some variants of the Ekeland variational principle for a set-valued map［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2005，124（1）：187-206.

［5］Guti′errez C，Jim′enez B，Novo V.A set-valued Ekeland′s variational principle in vector optimization［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，2008，47（2）：883-903.

［6］Guti′errez C，Jim′enez B，Novo V，et al.Strict approximate solutions in set-valued optimization with applications to the approximate Ekeland variational principle［J］.Nonlinear Analysis，2010，73（12）：3842-3855.

［7］Khanh P Q，Quy D N.On generalized Ekeland′s variational principle and equivalent formulations for set-valued mappings［J］.Journal of Global Optimization，2011，49（3）：381-396.

［8］Qiu Jinghui.On Ha′s version of set-valued Ekeland′s variational principle［J］.Acta Mathematica Sinica，English Series，2012，28（4）：717-726.

［9］Qiu Jinghui.Set-valued quasi-metrics and a general Ekeland′s variational principle in vector optimization［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，2013，51（2）：1350-1371.

［10］Chicco M，Mignanego F，Pusillo L，et al.Vector optimization problem via improvement sets［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2011，150（3）：516-529.

［11］Guti′errez C，Jim′enez B，Novo V.Improvement sets and vector optimization［J］.European Journal of Operational Research，2012，223（2）：304-311.

［12］Zhao Kequan，Yang Xinmin，Peng Jianwen.Weak E-optimal solution in vector optimization［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2013，17（4）：1287-1302.

［13］Zhao Kequan，Yang Xinmin.E-Benson proper efficiency in vector optimization［J］.Optimization，2015，64（4）：739-752.

［14］Zhao Kequan，Yang Xinmin.A unified stability result with perturbations in vector optimization［J］.Optimization Letters，2013，7（8）：1913-1919.

Ekeland′s variational principle via improvement sets for set-valued maps

Wan Xuan1，Zhang Wanli2，Zhao Kequan2
（1.Department of Foundation，Chongqing Telecommunication Polytechnic College，Chongqing402247，China；2.College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing401331，China）

Ekeland′s variational principles have been playing a very important role in optimization theory and it′s applications.In this paper，based on improvement sets，we establish an Ekeland′s variational principle for set-valued maps by using a kind of nonlinear scalarization function and its corresponding nonconvex separation theorem.New Ekeland′s variational principle includes some classical Ekeland′s variational principles as its special cases.

improvement sets，Ekeland′s variational principle，set-valued maps，nonlinear scalarizaion function

O176；O177.9

A

1008-5513（2015）06-0567-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.003

2015-05-15.

國家自然科學基金（11301574，11271391）；重慶市基礎與前沿研究計劃項目（cstc2015jcyjA00027）；重慶市教委科學技術研究項目（KJ1500303）；第二批重慶市高等學校青年骨干教師資助計劃.

萬軒（1987-），碩士，講師，研究方向：向量優(yōu)化理論與方法.

2010 MSC：65K10