關(guān)于模糊數(shù)貼近度問題的研究

雷一鳴，代兵，包玉娥

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043）

關(guān)于模糊數(shù)貼近度問題的研究

雷一鳴，代兵，包玉娥

（內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼028043）

利用模糊集和區(qū)間數(shù)的貼近度理論，討論了模糊數(shù)的貼近度問題.通過區(qū)間數(shù)與模糊數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)區(qū)間數(shù)貼近度的一般表示形式，給出了構(gòu)造一些模糊數(shù)貼近度的具體計算公式的方法；并通過實例說明了所得到的貼近度公式的有效性和實用性，解決了常用貼近度公式所不能解決的問題.

區(qū)間數(shù)；模糊數(shù)；貼近度

1　引言

貼近度是不確定性數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用中的重要概念之一，在模式識別、圖象處理以及決策分析等領(lǐng)域中，具有廣泛的應(yīng)用.在不確定性數(shù)學(xué)理論中，關(guān)于模糊集的貼近度，早在1983年汪培莊教授提出了模糊集貼近度的概念［1］.從此，貼近度成為模糊數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的一個有力工具.針對實際問題的需要，很多學(xué)者根據(jù)貼近度的公理化定義構(gòu)建了多種模糊集貼近度公式［2-7］，為解決實際問題提供了合理有效的方法.本文在文獻［8］中利用模糊集的貼近度理論，討論了有關(guān)區(qū)間數(shù)貼近度的表示規(guī)律，給出了兩種區(qū)間數(shù)貼近度的一般表示形式；并舉例說明了根據(jù)區(qū)間數(shù)貼近度的一般表示形式可以構(gòu)造多種貼近度公式.

模糊數(shù)是實數(shù)域上的一類特殊模糊集，在模糊分析學(xué)及其應(yīng)用研究中起著非常重要的作用.在實際應(yīng)用中，經(jīng)常用模糊數(shù)來表示所屬性決策領(lǐng)域中的許多決策信息［9-11］.因此，研究模糊數(shù)的貼近度理論及其應(yīng)用問題也具有重要的理論意義和實際應(yīng)用價值.由于區(qū)間數(shù)和模糊數(shù)的應(yīng)用實際上均為屬性值為實數(shù)的信息系統(tǒng)在維度上的化簡.因此本文在文獻［8］的基礎(chǔ)上，利用模糊集和區(qū)間數(shù)的貼近度理論研究了模糊數(shù)的貼近度問題，并得到了一些區(qū)間數(shù)貼近度誘導(dǎo)出的模糊數(shù)貼近度的具體計算公式.

2　預(yù)備知識

設(shè)R為實數(shù)集，則模糊集u：R→［0，1］稱為模糊數(shù)［12］，如果u是正規(guī)的，凸的上半連續(xù)的，且支集是緊集.模糊數(shù)全體構(gòu)成的空間稱為模糊數(shù)空間，記為F0.實數(shù)集R上的模糊集全體記為F（R），則F0?F（R）.

將模糊集貼近度的公理化定義［2］，限制在F（R）的子集F0上，就得到下面模糊數(shù)貼近度的公理化定義.

定義2.1設(shè)u，v，w∈F0，若映射N：F0×F0→［0，1］；（u，v）→N（u，v）滿足下列條件：

（1）N（u，v）=N（v，u）；

（2）N（u，v）=1?u=v；

（3）u≤v≤w?N（u，w）≤N（u，v）且N（u，w）≤N（v，w），

則稱N（u，v）為模糊數(shù)u與v的貼近度.

分別為區(qū)間數(shù)a的期望值與寬度.

定義2.2［8］設(shè)a，b，c∈［R］，若映射N：［R］×［R］→［0，1］；（a，b）→N（a，b）滿足條件：

（1）N（a，b）=N（b，a）；

（2）N（a，b）=1?a=b；

（3）a?b?c?N（a，c）≤N（a，b）且N（a，c）≤N（b，c），

則稱N（a，b）為模糊數(shù)a與b的貼近度.

定理2.1［8］設(shè)函數(shù)N：［R］×［R］→［0，1］，對任意a，b∈［R］，為

滿足如下條件：

（1）f（a，b）=f（b，a）；

（2）f（a，b）=0?a=b；

（3）a?b?c?f（a，c）≥f（a，b）且f（a，c）≥f（b，c），

則N（a，b）=g（f（a，b））為區(qū)間數(shù)a與b的貼近度.

3　主要結(jié)果

下面利用區(qū)間數(shù)的貼近度理論討論模糊數(shù)的貼近度問題，并給出計算模糊數(shù)貼近度的一些具體計算公式.

定理3.1設(shè)函數(shù)

例3.1設(shè)u=〈0，1，2〉，v=〈1，2，4〉，w=〈5，6，8，10〉，求

三個模糊數(shù)的隸屬函數(shù)圖如圖3.1所示.

圖3　.1u=〈0，1，2〉，u=〈1，2，4〉，u=〈5，6，8，10〉

由圖3.1也可以直觀地看出u與v的貼近程度比u與w的程度大的多.三個模糊數(shù)u，v，w之間的貼近程度排序為：

如果把三個模糊數(shù)u，v，w看成是有限論域U=［0，10］上的三個模糊集，則通過Haming貼近度和Euclid貼近度公式分別計算u，v，w之間的貼近度得：

計算結(jié)果表明：三個模糊數(shù)u，v，w之間的貼近程度度排序為：

這與所引進的EW-型貼近度公式的計算結(jié)果是一致，即EW-型貼近度公式具有一定的適用性.

例3.2設(shè)u=〈0，1，2〉，v=〈1，2，3〉，u=〈5，6，8，10〉.

（1）將三個模糊數(shù)u，v，w看成是有限論域U=［0，10］上的三個模糊集，則通過Haming貼近度Euclid貼近度公式分別計算得：

（2）用測度貼近度公式計算得：

三個模糊數(shù)u，v，w的隸屬函數(shù)圖如圖3.2所示.

圖3　.2u=〈0，1，2〉，v=〈1，2，3〉，u=〈5，6，8，10〉.

由圖3.2，發(fā)現(xiàn)常用貼近度公式不能完全區(qū)分三個模糊數(shù)u，v，w之間的貼近程度.但是用引進的EW-型貼近度公式能解決此類問題.計算結(jié)果為：

即貼近程度度排序為：

計算結(jié)果與直觀看到的結(jié)果一樣，這說明EW-型貼近度公式的有效性和實用性.

4　結(jié)論

模糊集的貼近度表示兩個模糊集的貼近程度，在模式識別、模糊信息處理以及決策分析等領(lǐng)域中，具有廣泛的應(yīng)用.在實際應(yīng)用中，經(jīng)常用實數(shù)域上的一類特殊模糊集—模糊數(shù)來表示所屬性決策領(lǐng)域中的許多決策信息等.模糊數(shù)又可以用一族區(qū)間數(shù)來刻劃.因此，本文利用模糊集和區(qū)間數(shù)的貼近度理論，討論了模糊數(shù)的貼近度問題.根據(jù)區(qū)間數(shù)與模糊數(shù)之間的關(guān)系，給出了構(gòu)造一些模糊數(shù)貼近度的具體計算公式的方法.這些對模糊數(shù)的貼近度理論及其實際應(yīng)用的研究提供了一種新的思想方法.

［1］汪培莊.模糊集合論及其應(yīng)用［M］.上海：上?？茖W(xué)出版社，1983.

［2］羅承忠.模糊集引論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2009.

［3］Lui X C.Entropy，distance measure and similarity measure of fuzzy sets and their relations［J］.Fuzzy Sets and Systems，1992，52：305-318.

［4］曾文藝，李洪興.模糊度與貼近度的關(guān)系研究［J］.系統(tǒng)工程與實踐，1999，6：76-79.

［5］崔寶珍，曾文藝.基于Hausdroff距離和Lp度量的直覺模糊集合貼近度的注記［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2009，3：122-126.

［6］劉兆君.模糊集貼近度的一般表示形式［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2009，18：163-169.

［7］李醫(yī)民，王曉梅.基于Type-2模糊貼近度在生態(tài)上的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2010，20：74-82.

［8］彭曉芹，包玉娥，趙博.關(guān)于區(qū)間數(shù)貼近度的一般表示形式的研究［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2014，22：258-262.

［9］徐澤水.基于期望值的模糊多屬性決策法及其應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2004，1：109-119.

［10］蘭蓉，范九倫.三角模糊數(shù)上的完備度量及其在決策中的應(yīng)用［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，2010，3：314-319.

［11］Shu P W.Power average operators of trapezoidal intuitionistic fuzzy numbers and application to multiattribute group decision making［J］.Applied Mathematical Modelling，2013，37：4112-4126.

［12］Wu C X，Zhao Z T.Some notes on the characterization of compact sets of fuzzy sets with Lp metric［J］.Fuzzy Sets and Systems，2008，159：2104-2115.

［13］包玉娥，彭曉芹，趙博.基于期望值與寬度的區(qū)間數(shù)距離及其完備性［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2013，27（6）：133-139.

［14］吳從炘，趙志濤，任雪昆.模糊分析學(xué)與特殊泛函空間［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013.

The research of degree of closeness about fuzzy numbers

Lei Yiming，Dai Bing，Bao Yu′e

（College of Mathematics，Inner Mongolia University for the Nationalities，Tongliao028043，China）

Degree of closeness about fuzzy numbers has been discussed by degree of closeness about fuzzy sets and interval numbers.According to the general expressions of degree of closeness about interval numbers and the connection of interval numbers and fuzzy numbers，some formulas of degree of closeness about fuzzy numbers has been structured.Then by examples，both availability and practicability of the formulas of degree of closeness about fuzzy numbers has been illustrated，and the formulas can apply when common formulas become useless in some circumstances.

interval numbers，fuzzy numbers，degree of closeness

O178

A

1008-5513（2015）06-0611-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.009

2015-07-20.

國家自然科學(xué)基金（11461052）；內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金（2014MS0107）.

雷一鳴（1989-），碩士生，研究方向：模糊分析及其應(yīng)用.

包玉娥（1962-），博士，教授，研究方向：不確定數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用.

2010 MSC：03E72