馬小艷，王玉杰

（安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，安徽蕪湖241003）

具有四個素因子的奇虧完全數(shù)

馬小艷，王玉杰

（安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，安徽蕪湖241003）

設(shè)n為自然數(shù)，σ（n）表示n的所有正因子和函數(shù).令d是n的真因子，若n滿足σ（n）=2n-d，則稱n為虧因子為d的虧完全數(shù).本文給出了具有四個素因子的奇虧完全數(shù)的一些性質(zhì)的刻畫.

虧完全數(shù)；因子和函數(shù)；階

1　引言

設(shè)n為自然數(shù)，令?（n），ω（n），σ（n）分別表示n的歐拉函數(shù)，不同素因子的個數(shù)和因子和函數(shù).若σ（n）＞2n，稱n為盈數(shù).若σ（n）＜2n，稱n為虧數(shù).設(shè)d是n的真因子，若σ（n）=2n+d，則稱n為盈因子為d的盈完全數(shù).特別地，d=1時，稱n為準(zhǔn)完全數(shù)；若σ（n）=2n-d，則稱n為虧因子為d的虧完全數(shù).特別地，d=1時，則稱n為殆完全數(shù).2012年，文獻(xiàn)［1］給出了盈完全數(shù)的上界，并且構(gòu)造出三種類型的盈完全數(shù)：

類型1：n=2t-1（2t-2k-1），其中2t-2k-1是素數(shù)，盈因子為2k.

類型2：n=22p-1（2p-1），其中p和2p-1為素數(shù)，盈因子為2p（2p-1）.

類型3：n=2p-1（2p-1）2，其中p和2p-1為素數(shù)，盈因子為2p-1.

2013年，文獻(xiàn)［2］有如下結(jié)論：除了40之外，所有具有兩個不同素因子的盈完全數(shù)只有上述三種類型.同年，文獻(xiàn)［3］在此基礎(chǔ)上又證明了：不存在具有三個不同素因子的奇盈完全數(shù)；刻畫了素因子個數(shù)不超過2的所有虧完全數(shù)的結(jié)構(gòu)：若n為虧完全數(shù)且ω（n）≤2，則n=2α且盈因子d=1或n=2α（2α+1+2s-1）且盈因子d=2s，其中1≤s≤α且2α+1+2s-1為奇素數(shù).最近，文獻(xiàn)［4］又證明不存在具有三個素因子的奇虧完全數(shù).在本文中，設(shè)m≥2為正整數(shù)，a∈Z.若（a，m）=1，稱滿足ax≡1（mod m）的最小正整數(shù)x為a對模m的階，記作ordm（a）.本文主要研究具有四個素因子的奇虧完全數(shù)［5-7］.

2　主要結(jié)果和證明

證明根據(jù)引理1，2，3，即可得證.

［1］Poliack P，Shevelev P.On perfect and near-perfect numbers［J］.Number Theory，2012，132：3037-3046.

［2］Ren Xiaozhi，Chen Yonggao.On near-perfect numbers with two distinct prime factors［J］.Bull.Aust.Math.Soc.，2013，88：520-524.

［3］Tang Min，Ren Xiaozhi，Li Meng.On near-perfect and deficient-perfect numbers［J］.Colloq.Math.，2013，133：221-226.

［4］Tang Min，F(xiàn)eng Min.On deficient-perfect numbers［J］.Bull.Aust.Math.Soc.，2014，90：186-194.

［5］Cohen G L.On odd perfect numbers（II），multiperfect numbers and quasiperfect numbers［J］.Aust.Math.Soc.，1980，29：369-384.

［6］Hagis P，Cohen G L.Some results concerning quasiperfect numbers［J］.Aust.Math.Soc.，1982，33：275-286.

［7］Anavi A，Pollack P，Pomerance C.On congruences of the form σ（n）≡a（mod n）［J］.Int.Number Theory，2013，9：115-124.

On deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors

Ma Xiaoyan，Wang Yujie

（School of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，Wuhu241003，China）

For a positive integer n，let σ（n）denote the sum of the positive divisors of n.Let d be a proper divisor of n，we call n a deficient-perfect number if σ（n）=2n-d.In this paper，we characterize some properties of deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors.

deficient-perfect numbers，the sum of the positive divisors，order

O156

A

1008-5513（2015）06-0643-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.013

2015-09-10.

國家自然科學(xué)基金（11471017）.

馬小艷（1990-），碩士生，研究方向：組合數(shù)論.

2010 MSC：11A25