周本和

不等式的證明有利于考查考生思維的深刻性和創(chuàng)新性，往往備受命題者的“青睞”。筆者整理了高中階段不等式證明的有關(guān)問題，常用方法有：比較法、綜合法、分析法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等。在證題過程中，?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”，前者我們稱為綜合法，后者稱為分析法。綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已。具體地證明一個不等式時，可能需交替使用多種方法才能奏效。

一、比較法

例1 設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求證：a2+b2+c2<2（ab+bc+ac）。

證明∵a2+b2+c2-2（ab+bc+ac）

=a2-2ab+b2+c2-2ac+a2+c2-2bc+b2-a2-b2-c2

=（a-b）2+（c-a）2+（c-b）2-a2-b2-c2

=（a-b）2-c2+（c-a）2-b2+（c-b）2-a2

=（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）

又∵a，b，c為△ABC的三邊，

∴a-b+c>0，a-b-c<0，c-a+b>0，c-a-b<0，c-b+a>0，c-b-a<0

∴（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）<0

∴a2+b2+c2<2（ab+bc+ac）

利用不同的組合，然后利用求差比較法可以得到。

點評：分析法與綜合法往往是結(jié)合起來運用的，把分析法和綜合法孤立起來運用是比較少的。在構(gòu)建命題的證明思路時，有時分析法居主導(dǎo)地位，綜合法伴隨著它；有時卻剛好相反，綜合法居主導(dǎo)地位，而分析法伴隨著它。特別是對于那些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，不論是從“已知”推向“未知”，或是由“未知”靠攏“已知”，都有一個比較困難的過程，單靠分析法或綜合法都是比較困難的，人們常常把分析法與綜合法兩者并用，即常采取同時從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問題的一個中間目標(biāo)。本例中，用綜合法由條件①②式推出了③式成立，再從結(jié)論出發(fā)將要證明的結(jié)論轉(zhuǎn)化為只需要證明③式成立，從而使命題得證。

三、三角換元法

點評：代數(shù)問題三角化，往往可充分利用三角函數(shù)的特有性質(zhì)，使較為復(fù)雜的問題得以簡化，從而獲得簡捷解法。如本例中充分利用了與相似這一特殊關(guān)系，設(shè)使證明簡潔明快。

四、構(gòu)造函數(shù)法

例4 已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：abc+2>a+b+c。

證明：原不等式等價于（bc-1）a+（2-b-c）>0，

構(gòu)造一次函數(shù)f（x）=（bc-1）x+（2-b-c）（-1

則f（-1）=（1-bc）+（1-b）+（1-c）>0，

f（1）=bc-1+2-b-c=（1-b）（1-c）>0，

于是，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，f（x）在區(qū)間

[-1，1]上恒大于0。而a∈（-1，1），故f（a）>0，即（bc-1）a-b-c+2>0。所以abc+2>a+b+c。

點評：函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，應(yīng)用廣泛。在不等式證明中，若能根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，則可充分利用函數(shù)的性質(zhì)，使問題簡明。