基于高斯模型的多重超聲回波信號重數(shù)估計

汪 艷，張小鳳，張光斌，孫秀娜，王彩峰

（陜西師范大學 物理學與信息技術學院，陜西省超聲學重點實驗室，陜西 西安710119）

超聲回波信號不僅包含超聲換能器的脈沖響應，而且包含傳輸路徑的信息。在實際應用中，要獲得檢測樣品的參數(shù)，就離不開對目標回波的正確分析，精確地估計超聲回波信號對超聲無損檢測至關重要［1］。當超聲波在多層材料內傳播時，遇到不同的界面會發(fā)生多次反射和折射，產生多重超聲回波。如果對多重超聲回波的重數(shù)無法辨識，就很難正確地從多重回波中獲取各層材料的相關參數(shù)。

近年來，很多學者利用超聲波來測量多層材料的參數(shù)。董明利等［2］對超聲波在多層結構復合材料中的傳播特性進行了分析，設計了測量多層復合材料厚度及各種缺陷的超聲檢測系統(tǒng)。湯愛芳［3］對多層結構復合材料的傳播特性進行了研究，分析了超聲波檢測的物理原理和復合材料特點，并采用小波多分辨率的手段對接收到的超聲信號進行去噪，提高了信號的可檢測度。李偉等［4］采用超聲脈沖反射法對多層復合材料的特性進行檢測，結果表明使用超聲波檢測復合材料的精度較高。然而，這些文獻在對多層材料的超聲回波信號進行分析時，都沒有涉及對多層材料回波重數(shù)的估計。張宏普等［5］提出了一種用于識別多層介質回波重數(shù)的算法，可以將多重回波中的首次回波提取出來。這一研究對超聲無損檢測技術在多層材料檢測領域的應用具有一定的意義。

本文以超聲回波的非線性高斯模型為基礎，對信號進行小波變換后，利用人工蜂群算法，在時頻域估計出多層材料超聲回波信號的參數(shù)，根據(jù)估計的參數(shù)值，采用信息論準則，實現(xiàn)多重回波重數(shù)的估計，并對其正確性和實用性進行分析和驗證。

1 超聲回波信號的小波變換

超聲換能器的脈沖響應可以模擬成時間平移為tc的高斯回波信號，其表達式［6］為

其中，fc、α分別是高斯回波信號的中心頻率和帶寬因子，β為幅度系數(shù)，φ為相位，tc為到達時間。將公式（1）用歐拉公式展開：

任意函數(shù)x（t）∈L2（R）的連續(xù)小波變換定義［7］為

其中，ψ＊a，b（t）表示小波函數(shù)的復共軛，a是比例因子，b是平移因子。小波變換可以將時域函數(shù)映射到“時間－尺度”域上，通過調整尺度因子a和平移因子b，可以得到時間－尺度分布，從而得到時間－頻率分布。

對于多重回波信號，其高斯模型可以表示為

其中βi、tic和φi分別是第i重回波的幅度、到達時間和相位，取θi＝ ｛βi，tic，φi｝表示待估計的參數(shù)。將（2）、（5）式帶入到（3）式中，可以得到多重回波的小波變換為

式中，

2 多重超聲回波信號的重數(shù)估計

2．1 目標函數(shù)的選取

在公式（6）中，已經給出多重回波信號的小波變換形式。一般情況下，信號在傳輸過程中，信道中都會存在噪聲，則含有噪聲的多重回波信號的小波變換表達式為

其中，v（τ，ω）是噪聲信號的小波變換。由公式（7）可知，信號小波變換后的非線性最小二乘均方誤差可表示［8－9］為

其中，y（τ，ω），W（τ，ω，θi）分別指含有噪聲信號的小波變換和基于模型的超聲回波信號的小波變換。觀察公式（6）可以發(fā)現(xiàn)，W（τ，ω，θi）可以近似地看成是βi的線性函數(shù)，則公式（8）可以寫成如下形式：

其中，

y（τ，ω）和h（τ，ω）可以用矩陣H和Y分別表示為依據(jù)式（9）所確定的目標函數(shù)，求使s（θ）達到最小值時對應的參數(shù)向量θ，即可獲得超聲回波的參數(shù)估計。

2．2 應用人工蜂群算法估計回波參數(shù)

在實現(xiàn)高斯回波信號的參數(shù)估計中，根據(jù)信號進行小波變換后所確定的目標函數(shù)，選用人工蜂群算法［10］（Artificial Bee Colony Algorithm，ABC）估計回波的參數(shù)。ABC算法是模擬實際蜜蜂采蜜機制來解決實時參數(shù)優(yōu)化問題。與遺傳算法、粒子群算法、差分算法等典型智能優(yōu)化算法相比，該算法具有參數(shù)設置和尋優(yōu)操作簡單、收斂速度快等優(yōu)點，在函數(shù)優(yōu)化方面具有明顯的優(yōu)越性［11］。利用人工蜂群算法進行參數(shù)估計時，將蜂群分為引領蜂、跟隨蜂和偵察蜂3種類型，3個控制參數(shù)分別為蜂群大小N、局部循環(huán)次數(shù)L、全局循環(huán)次數(shù)M。ABC算法的具體步驟如下：

步驟1：參數(shù)初始化，設置內外循環(huán)初始值為1；

步驟2：在全局循環(huán)范圍內產生隨機分布的初始解，并計算各個解的適應度；

步驟3：對選擇的搜索公式做鄰域搜索產生新解，計算新解的適應度；假如新解的適應度大于初始解的適應度，則用新解更新初始解，否則，初始解就保持不變；并計算更新解對應的概率；

步驟4：計算更新解對應的概率；

步驟5：跟隨蜂根據(jù)概率的大小選擇蜜源，然后再進行搜索產生新解，并計算新解的適應度，與步驟3相同，判斷是否需要更新解；

步驟6：完成搜索后，記錄得到的最優(yōu)解，內循環(huán)加1，跳轉到步驟4，直到內循環(huán)值等于設置的內循環(huán)次數(shù)；

步驟7：完成內循環(huán)后，置外循環(huán)加1，偵察蜂判斷是否有需要丟棄的蜜源，若有，則用新解代替丟棄解；

步驟8：令內循環(huán)為1跳轉到步驟3，直至外循環(huán)等于設置的最大外循環(huán)次數(shù)或者達到滿足終止條件的最優(yōu)解。

2．3 基于AIC準則的回波重數(shù)估計

由Akaike信息準則AIC確定的最優(yōu)回波的重數(shù)可以表示［12］為

式中，AIC準則中的信息量值用Z表示，S、M、N分別表示最小均方誤差、樣本的容量大?。∕＝τM·ωM）以及回波的重數(shù)。該準則的選取平衡了回波模型的復雜性和估計的一致性。第一項使Z隨S的減小而減小，第二項是為了防止模型過大以及防止過估計而增加的罰函數(shù)，求使Z值達到最小時，對應的N值就是估計出的回波的重數(shù)。在進行回波重數(shù)估計時，需要預先假設待估計的波形重數(shù)，一般要大于實際的波形重數(shù)。

實現(xiàn)超聲回波重數(shù)估計的流程圖如下：

圖1 超聲回波信號的重數(shù)估計流程圖Fig．1 The flow chart of estimating the number of echo signal

3 算法性能仿真

3．1 重疊的雙重超聲回波重數(shù)估計

為了驗證算法的有效性，對多重回波信號的重數(shù)進行估計。在進行參數(shù)估計時，對于雙重回波信號，選取相同的中心頻率和帶寬因子，即fc＝5 MHz、α＝20MHz，待估計參數(shù)的真實值設置為θ1＝（1．0，2．5，1．0），θ2＝（0．8，3．0，2．0）。估計時，信號的采樣頻率fs設為50MHz、信噪比為10dB。依據(jù)高斯回波模型，仿真的雙重疊加的超聲回波信號時域波形如圖2所示。將圖2中信號進行小波變換，小波變換時頻圖如圖3所示。從圖3可以看出回波的中心頻率在5MHz，時間在2．5和3．0μs左右時，時頻圖具有很好的時頻聚集性。

圖2 SNR＝10dB時雙重回波信號的時域波形Fig．2 Time domain waveform of double echo signal with SNR＝10dB

圖3 SNR＝10dB時雙重回波信號的小波變換時頻圖Fig．3 Double echo signal wavelet transform time－frequency diagrams with SNR＝10dB

采用公式（9）的目標函數(shù)，利用ABC算法估計多重回波信號的參數(shù)。進行參數(shù)估計時，為了平衡估計的精確性和運算時間，ABC算法的參數(shù)設置為：蜂群個數(shù)N＝20，局部循環(huán)次數(shù)L＝20，全局循環(huán)次數(shù)M＝500。參數(shù)估計結果為10次估計的平均值，如表1所示。從表1的參數(shù)估計結果可以看出，估計值與真實值非常接近。

表1 SNR＝10dB時雙重回波信號參數(shù)估計結果Tab．1 Parameter estimation results of double echo signal with SNR＝10dB

為了估計回波的重數(shù)，預先假設回波的重數(shù)為3，將表1中估計的幅度系數(shù)和到達時間帶入式（10），可以得到由AIC準則估計出的多重回波信號的重數(shù)，仿真結果如圖4所示。從圖4中可以看出，在回波重數(shù)為2時，Z達到最小值，因此估計出的多重回波重數(shù)為2，估計結果與真實情況一致。

圖4 AIC準則估計回波重數(shù)Fig．4 AIC criterion to estimate echo number

3．2 重疊的三重超聲回波重數(shù)估計

與兩重回波的估計過程相似，三重回波估計時也選取相同的中心頻率和帶寬因子，即fc＝5 MHz、α＝20MHz，待估計的參數(shù)設置為θ1＝（1．0，1．5，1．0），θ2＝（0．8，2．0，1．5），θ3＝ （0．4，2．5，2．0）。在信噪比為15dB、采樣頻率為50MHz時三重回波信號的仿真時域波形如圖5所示，對圖5中信號進行小波變，小波變換的時頻圖如圖6所示。從圖6可以看出，回波的中心頻率在5MHz，時間在1．5、2．0和2．5μs左右時，時頻圖具有很好的時頻聚集性。使用ABC算法估計出的多重回波的參數(shù)結果如表2所示。

圖5 SNR＝15dB時三重回波信號時域波形Fig．5 Time domain waveform of triple echo signal with SNR＝15dB

圖6 SNR＝15dB時三重回波信號的小波變換時頻圖Fig．6 Triple echo signal wavelet transform time－frequency diagrams with SNR＝15dB

表2 SNR＝15dB時三重回波信號參數(shù)估計結果Tab．2 Parameter estimation results of triple echo signal with SNR＝15dB

假設回波的重數(shù)為5，將表2數(shù)據(jù)帶入（10）式，則可用AIC準則計算出的Z值隨多重回波信號重數(shù)的變化關系（如圖7所示）。從圖7中可以看出，當回波重數(shù)為3時，Z值最小，因此認為多重回波的重數(shù)為3，估計結果與真實情況一致。

圖7 AIC準則估計回波重數(shù)Fig．7 AIC criterion to estimate echo number

3．3 回波重數(shù)估計性能的分析

為了驗證本文算法在估計超聲回波信號重數(shù)上的正確性，對算法的估計性能進行分析，在不同信噪比條件下，對結果的正確概率進行了計算，繪制出多重疊加的超聲回波信號的重數(shù)估計的正確概率分布圖（如圖8所示）。圖中短虛線對應的是二重回波的曲線，實線對應的是三重回波的曲線，長虛線對應的是五重回波的曲線。從圖形中可以看出，隨著信噪比的增加，正確估計的概率也在增加，信噪比在10 dB以上時，回波重數(shù)估計的正確率較高，可以達到90%以上。但是在低信噪比時，重數(shù)估計的正確概率比較差。二重、三重和五重回波的重數(shù)估計結果正確概率的對比可以看出，兩重回波的正確檢測概率稍微大于三重和五重的檢測概率，隨著回波重數(shù)的增多，估計性能也會有所下降。

圖8 正確檢驗概率隨信噪比的變化Fig．8 Correct inspection probability variation with noise ratio of the signal

4 實驗測試回波的重數(shù)估計

為了驗證算法的實用性，對水池實驗測量的超聲回波信號的重數(shù)進行估計。水池實驗測試的儀器有：水槽一個、數(shù)字示波器一臺（RIGOL DS052E）、超聲脈沖發(fā)射及接收儀一臺（5077PR）、收發(fā)兩用超聲探頭一個，探頭的頻率為2．25MHz。實驗測試的樣品由厚度7．10mm的鋼柱和6．26mm的鋁柱組成。用數(shù)字示波器采集到的實驗測試回波波形如圖9所示。

圖9 示波器的水池實驗波形Fig．9 Tank test waveform from the oscilloscope

對實驗測試的回波進行參數(shù)估計，估計結果如表3所示。在做水池實驗時，水中的試塊離超聲探頭的距離為11．400mm，聲波在水、鋼塊中的傳播速度分別為1 483、5 960m／s。根據(jù)表3中估計的到達時間可知，信號在鋼中的傳播時間Δt＝2．390 6 μs，計算出鋼柱的厚度為7．124 0mm，估計結果與實驗測試樣品的真實值基本一致。

表3 實驗測試波形參數(shù)估計結果Tab．3 Estimation results of test waveform parameter

根據(jù)表3中的參數(shù)估計結果，繪制出的回波重數(shù)與Z之間的關系如圖10所示，從圖中可以看出實驗回波為兩重回波，這與實驗初始的設置條件相符合，從而證明了本文算法的有效性和實用性。

圖10 AIC準則估計回波重數(shù)Fig．10 AIC criterion to estimate echo number

5 結 論

本文依據(jù)超聲回波信號的高斯模型，對超聲回波信號進行小波變換，應用人工蜂群算法，在時頻域對回波的各個參數(shù)進行了估計，同時，根據(jù)回波參數(shù)的估計結果，應用AIC信息準則對多重回波的重數(shù)進行了估計。仿真結果表明，基于小波變換的超聲回波參數(shù)估計方法，不僅可以實現(xiàn)回波參數(shù)的精確估計，而且通過計算回波的AIC準則中的值，可以估計多重回波信號的重數(shù)，在信噪比大于10dB時，回波重數(shù)估計的正確概率可以達到90%。該研究對多層材料回波檢測具有一定的意義。

［1］武良丹，張小鳳，賀西平．基于模擬退火算法的超聲回波參數(shù)估計［J］．應用聲學，2007，26（5）：313－317．

［2］董明利，祝連慶，穆婕，等．多層結構復合材料的超聲檢測系統(tǒng)設計［J］．儀器儀表學報，2006，27（6）：179－181．

［3］湯愛芳．多層結構復合材料的超聲技術研究［D］．北京：北京信息科技大學機械工業(yè)學院，2006．

［4］李偉，李建增，周海林，等．多層復合材料超聲檢測的數(shù)值模擬［J］．系統(tǒng)仿真技術，2012，8（1）：32－36．

［5］張宏普，賀西平，武良丹，等．基于小波變換的多層介質超聲回波信號降噪處理［J］．聲學技術，2007，26（4）：257－260．

［6］Demirli Ramazan．Model based estimation of ultrasonic echoes：analysis，algorithms，and applications［D］．Chicago：Lllinois Institute of Technology Armour College of Engineering，2001．

［7］張德豐．MATLAB小波分析［M］．北京：機械工業(yè)出版社，2012：53－58．

［8］Wu Chienfu．Asymptotic theory of nonlinear least squares estimation［J］．The Annals of Statistics，1981，9：501－513．

［9］Choi Jongeun，Hong Jung Wuk．Characterization of wavelet coefficients for ultrasonic signals［J］．Journal of Applied Physics，2010，107（11）：114909．

［10］Anderew White，Hong Jung Wuk，Hong Soonsung，et al．Parameter estimation for wavelet transformed Ultrasonic signals［J］．Nondestructive Testing and Evaluation International，2011，44：32－40．

［11］Dervis Karaboga，Basturk Basturk．A powerful and efficient algorithm for numerical function optimization：Artificial bee colony（ABC）algorithm［J］．Journal of Global Optimization，2007，39（3）：459－471．

［12］周京華，張小鳳，張光斌．基于人工蜂群算法的超聲回波參數(shù)估計［J］．計算機工程與應用，2014，50（14）：189－193．