岳昌慶

初中“解直角三角形”教學(xué)中，間接介紹了一組三角誘導(dǎo)公式：在Rt△ABC中，A+B=90°，則sinA=cosB， cosA=sinB， tanA=cotB， cotA=tanB.用文字表述為“名稱互余角互余”.

到了高中階段，隨著角的范圍擴(kuò)大至全體實(shí)數(shù)，該誘導(dǎo)公式也仍然成立.雖然有了新的解釋、證明與記憶方法，但仍可用“名稱互余角互余”來記憶.這一記憶方法只要驗(yàn)證了兩個(gè)角（各自在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值，不一定是銳角）的和是90°（即）后，即在“角互余”及三角函數(shù)“名稱互余”的前提下，這兩個(gè)三角函數(shù)值相等.這一記憶方法縮略了應(yīng)用公式前的一步——等量代換，而這一步“等量代換”在教學(xué)中，讓很多初學(xué)誘導(dǎo)公式的學(xué)生望而卻步.

以下略舉幾例該誘導(dǎo)公式在高中教學(xué)中的趣用.

【例1】化簡sin（π-α）+cos（π-α），其中n∈Z.

【分析】原式=sin（nπ--α）+cos（nπ+-α），

常規(guī)思路：分n為奇數(shù)、偶數(shù)分別討論均可得：原式=0.

也可這么來觀察，（-nπ++α）+（nπ+-α）=，于是，應(yīng)用“名稱互余角互余”的解法為：

因?yàn)閟in（-nπ++α）=cos（nπ+-α），

所以，原式=-sin（-nπ++α）+cos（nπ+-α）

=-cos（nπ+-α）+cos（nπ+-α）=0.

【例2】設(shè)α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，則（ ）.

A.3α-β=π B.2α-β=π

C.3α+β=π D.2α+β=π

【略解】tanα===cot，

又由已知可得α∈（0，），∈（0，），-∈（，），所以，α+=，故選D.

【例3】函數(shù)y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x）的最大值為 ，最小值為 .

【分析】常規(guī)思路之一：用兩角和與差的正、余弦公式打開得y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x）

=3sinxcos10°+3cosxsin10°+5sin80°cosx-5cos80°sinx

=3sinxcos10°+3cosxsin10°+5cos10°cosx-5sin10°sinx

=sinx（3cos10°-5sin10°）+cosx（3sin10°+5cos10°）

=sin（x+ψ）

=sin（x+ψ） （其中，ψ為輔助角，tanψ=）.

也可這么來觀察，（x+10°）+（80°-x）=90°，于是，應(yīng)用“名稱互余角互余”的解法如下：

5sin（80°-x）=5cos（x+10°），

y=3sin（x+10°）+5sin（80°-x）

=3sin（x+10°）+5cos（x+10°）

=sin（x+10°+ψ）（其中，ψ為輔助角，tanψ=，ψ為第一象限角）.

故最大值為，最小值為-.

【例4】已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+）+cos（2x-）.

（Ⅰ）求f（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-，]上的最大值和最小值.

【分析】常規(guī)思路：同上例，需將sin（2x+）及cos（2x-）分別根據(jù)兩角和的正弦及兩角差的余弦公式展開、合并同類項(xiàng)后，再用輔助角公式，最終化為3sin（2x+）的形式，問題得解.

也可這么來觀察，（2x+）+（-2x）=，于是，應(yīng)用“名稱互余角互余”的解法如下：

f（x）=2sin（2x+）+cos（-2x）=2sin（2x+）+sin（+2x）=3sin（2x+）

（Ⅰ）最小正周期T=π，遞增區(qū)間為[kπ-，kπ+]（k∈Z）.

（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[-，]上的最大值和最小值分別為-，3.

【例5】已知sin（-α）=，則cos（+2α）的值為（ ）.

A. B.- C. D.-

【分析】本題將+2α看成 2（+α），而（+α）+（-α）=，于是，應(yīng)用“名稱互余角互余”的解法如下：

【解】由已知可得sin（-α）=cos（+α）=，所以，cos（+2α）=2cos2（+α）-1=-. 故選D.

以下為練習(xí)，供讀者參考.

【作業(yè)1】化簡sin（π-α）-cos（π-α），其中n∈Z.

【作業(yè)2】計(jì)算sin（x-）+cos（x+）= .

【作業(yè)3】已知sin（α-）=，則cos（α+）的值為 .

【作業(yè)4】已知sin（α-）=，則cos（α+）的值為（ ）.

A. B.- C. D.-

【作業(yè)5】若α是第三象限角，且cos（75°+α）=，則cos（15°-α）+sin（α-15°）的值為 .

【作業(yè)6】已知sin（-x）=，則sin2x的值為 .

【作業(yè)7】求函數(shù) f（x）=sin（+4x）+cos（4x-）的最小正周期和遞減區(qū)間.

【作業(yè)8】[2014年高考全國課標(biāo)Ⅰ理第8題5分]設(shè)α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，則（ ）.

A.3α-β= B.2α-β=

C.3α+β= D.2α+β=

答：【作業(yè)1】0. 【作業(yè)2】0. 【作業(yè)3】-. 【作業(yè)4】 D.【作業(yè)5】. 【作業(yè)6】.【作業(yè)7】，[+，+]（k∈Z）. 【作業(yè)8】B.endprint