用于軸心軌跡提純的小波精細(xì)積分算法

曹永寧，楊　勇

(1.寧夏職業(yè)技術(shù)學(xué)院　工業(yè)工程系，銀川 750021；2.瑞斯康達(dá)科技發(fā)展股份有限公司,北京 100085)

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用于軸心軌跡提純的小波精細(xì)積分算法

曹永寧1，楊勇2

(1.寧夏職業(yè)技術(shù)學(xué)院工業(yè)工程系，銀川 750021；2.瑞斯康達(dá)科技發(fā)展股份有限公司,北京 100085)

轉(zhuǎn)子軸心軌跡是分析轉(zhuǎn)子故障原因的重要依據(jù)。實(shí)測(cè)的軸心軌跡由于存在噪聲干擾需要經(jīng)過(guò)提純方能用于轉(zhuǎn)子故障分析。針對(duì)最新提出的偏微分方程軸心軌跡提純新方法，提出小波精細(xì)積分提純算法。數(shù)值結(jié)果表明，小波精細(xì)積分法可有效濾除信號(hào)中的噪聲，且消噪之后的信號(hào)畸變小，保證了濾波前后信號(hào)固有結(jié)構(gòu)不變。

軸心軌跡；提純；小波精細(xì)積分

0　引言

轉(zhuǎn)子軸心軌跡是分析轉(zhuǎn)子故障原因的重要依據(jù)[1-2]。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)軸心軌跡表現(xiàn)為重疊且長(zhǎng)短軸長(zhǎng)度接近的橢圓時(shí)，表明轉(zhuǎn)子是正常的。如果該橢圓的長(zhǎng)短軸長(zhǎng)度差距過(guò)大，表明軸承間隙或剛度差異較大。如果轉(zhuǎn)子不對(duì)中，軸心軌跡表現(xiàn)為月牙狀、香蕉狀或8字形；若轉(zhuǎn)子和軸承產(chǎn)生摩擦，軸心軌跡圖中會(huì)出現(xiàn)多處鋸齒狀尖角或小環(huán)。轉(zhuǎn)子發(fā)生亞異步自激振動(dòng)時(shí)，其軸心軌跡往往很不穩(wěn)定，不僅形狀及大小時(shí)刻在發(fā)生較大的變化，而且還會(huì)出現(xiàn)大圈套小圈的情況。

實(shí)測(cè)轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)往往含有噪聲，噪聲的存在會(huì)導(dǎo)致軸心軌跡圖表現(xiàn)為雜亂無(wú)章的狀態(tài)，給轉(zhuǎn)子故障分析帶來(lái)障礙。因此，在對(duì)軸心軌跡圖進(jìn)行分析前需要進(jìn)行提純。常見(jiàn)的提純技術(shù)包括小波變換法[3],數(shù)字形態(tài)學(xué)濾波[4]等，但這些方法一般都存在頻帶選擇不明確，降噪畸變大，初相位影響嚴(yán)重等問(wèn)題[5]。為克服以上問(wèn)題，近年來(lái)提出了基于偏微分方程的軸心軌跡提純技術(shù)[3,6],有效克服了上述問(wèn)題。偏微分方程大多采用差分法進(jìn)行求解，精度和效率都受到限制。本文將小波精細(xì)積分法引入偏微分方程的求解[7-9]，進(jìn)一步提高了軸心軌跡提純的精度和效率，進(jìn)而對(duì)軸心軌跡識(shí)別精度以及自動(dòng)化提供了有效支持。

1軸心軌跡提純的偏微分方程模型及其

小波數(shù)值解

1.1偏微分方程模型

用于軸心軌跡提純的偏微分方程模型常采用如下熱傳導(dǎo)方程[3]：

(1)

方程的解S就是濾波后的信號(hào)。顯然，方程(1)的解和正常數(shù)c及方程的演化參數(shù)τ密切相關(guān)。盡管方程(1)是線性偏微分方程，但初始信號(hào)是帶有噪聲的振動(dòng)信號(hào)，我們無(wú)法直接得到方程(1)的精確解析解。文獻(xiàn)[3-4]給出了方程的差分法求解格式。由數(shù)值分析理論知識(shí)可知，差分法的穩(wěn)定性與時(shí)間參數(shù)t和方程演化參數(shù)τ的離散網(wǎng)格大小相關(guān)。對(duì)于不同的振動(dòng)信號(hào)，需要同時(shí)調(diào)試這兩個(gè)參數(shù)方能得到收斂解。對(duì)工程技術(shù)人員提出了較高的要求，不利于該方法的應(yīng)用推廣。因此下面給出一種和偏微分方程演化參數(shù)無(wú)關(guān)的小波精細(xì)積分算法。

1.2小波精細(xì)積分算法

按照小波精細(xì)積分法的基本理論，u(x,t)可近似表示為:

(2)

式中wj(t-tn)是小波基函數(shù)的離散表達(dá)式，此處我們?nèi)∪缦耂hannon-Gabor小波：

(3)

其中j∈z是小波尺度參數(shù)，r是小波的窗口大小參數(shù)，一般取3.2，ti是振動(dòng)信號(hào)時(shí)間參數(shù)的離散表達(dá)，即

Shannon-Gabor小波(3)對(duì)應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別為：

(4)

(5)

將(2)～(5)式帶入(1)，則熱傳導(dǎo)方程(1)可被離散為如下微分方程組：

(6)

其中

(7)

(8)

微分方程組(6)的解析解為

(9)

H=exp(M·t)

由于該方法只在振動(dòng)信號(hào)時(shí)域空間離散，熱傳導(dǎo)方程的演化時(shí)間空間采用了解析法求解，算法的穩(wěn)定性只取決于振動(dòng)信號(hào)時(shí)域空間離散網(wǎng)格的大小，從而大大提高了算法的穩(wěn)定性和計(jì)算精度。

令Δt=t/2N(N為正整數(shù))，取

H=I+Hα=I+MΔt+(M·Δt)2×[I+(MΔt)/3+(MΔt)2/12]/2

表示exp(M·t)泰勒展開(kāi)的前五項(xiàng)，則

H=[exp(M·Δt)]2N=(I+Hα)2(N-1)×(I+Hα)2(N-1)

這樣的分解一直進(jìn)行N次，便可精確得到H的值。將矩陣H代入迭代公式(9)可得到不同時(shí)間參數(shù)下偏微分方程(1)的數(shù)值解。

2　基于偏微分方程的軸心軌跡提純

利用偏微分方程法對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪，然后合成得到軸心軌跡圖。為體現(xiàn)本文方法的優(yōu)勢(shì)，對(duì)差分法和小波精細(xì)積分法進(jìn)行了對(duì)比。小波精細(xì)積分法中，尺度參數(shù)j=9，差分法離散點(diǎn)數(shù)為512。

圖1是在傳動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)上測(cè)得的軸x,y方向振動(dòng)實(shí)際數(shù)據(jù)，其中軸轉(zhuǎn)速為750r/min，采樣頻率為4096Hz,其最大振動(dòng)幅值為20μm。

圖1　帶噪聲振動(dòng)信號(hào)

由帶噪聲振動(dòng)信號(hào)直接得到的軸心軌跡圖如圖2所示。由于噪聲的影響，軸心軌跡圖顯得雜亂無(wú)章，無(wú)法判斷轉(zhuǎn)子故障原因。

圖2　帶噪聲軸心軌跡圖

以X振動(dòng)方向?yàn)槔?，圖3和圖4分別給出了差分法和小波精細(xì)積分法兩種基于偏微分方程的信號(hào)降噪結(jié)果。

圖3　差分法信號(hào)降噪結(jié)果

圖4　小波精細(xì)積分法信號(hào)降噪結(jié)果

由于小波精細(xì)積分法的穩(wěn)定性和時(shí)間步長(zhǎng)無(wú)關(guān)，表中并未列出小波精細(xì)積分法的步長(zhǎng)。對(duì)比圖3和圖4不難看出，在相同的時(shí)間參數(shù)下得到的振動(dòng)信號(hào)濾波結(jié)果類似，但小波精細(xì)積分法得到的濾波結(jié)果更光滑一些。由于模型相同，降噪有效性相同，但小波精細(xì)積分法的精度更高一些，數(shù)值解的衰減更小。事實(shí)上，隨著時(shí)間參數(shù)的不斷加大，差分法同樣可以得到更為光滑的結(jié)果。圖5所示軸心軌跡圖反映了差分法和小波精細(xì)積分法的精度。事實(shí)上，小波精細(xì)積分法是一種半解析法，不存在解誤差的疊加問(wèn)題，求解精度更高。圖5也反映了這點(diǎn)。

圖5　降噪后的軸心軌跡圖

3　結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)已有軸心軌跡提純算法存在的問(wèn)題, 給出了軸心軌跡提純偏微分方程模型的小波精細(xì)積分算法。相對(duì)于差分法，小波精細(xì)積分法是一種半解析方法，該方法結(jié)合了小波多尺度方法和精細(xì)積分法的雙重優(yōu)點(diǎn)。在求解軸心軌跡提純偏微分方程模型時(shí)，具有絕對(duì)穩(wěn)定性，時(shí)間步長(zhǎng)不受限制，可大大提高計(jì)算效率，并為軸心軌跡的自動(dòng)識(shí)別提供了較為精確的依據(jù)。

[1] 張丹,侯力,曾穎鋒,等. 基于小波消噪的主軸回轉(zhuǎn)精度動(dòng)態(tài)測(cè)量法[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2015(5):73-79.

[2] 陸峰,沈鴻波,張曉飛,等.基于垂直兩點(diǎn)法的電主軸回轉(zhuǎn)精度分析[J].組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2014(11):14-18.

[3] 籍永建,王紅軍,孟哲,等.基于小波去噪算法的主軸軸心軌跡提純研究[J]. 制造業(yè)自動(dòng)化,2014,36(9):44-45,58.

[4] 張文斌,周曉軍,楊先勇,等.基于諧波窗方法的轉(zhuǎn)子軸心軌跡提純[J]. 振動(dòng)與沖擊,2009,28(8):74-82.

[5] 尹愛(ài)軍,孫麗萍,王見(jiàn). 偏微分方程在軸心軌跡提純中的應(yīng)用[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào), 2011,34(12):72-77.

[6] 吳宏鋼,尹愛(ài)軍,秦樹(shù)人. 基于PDE的振動(dòng)信號(hào)去噪研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào),2009,45(5):91-94.

[7] Shu Li Mei. HPM-based Dynamic Wavelet Transform and Its Application in Image Denoising[J].Mathematical Problems in Engineering,2013,2013:1-14.

[8] Hua Hong Yan. Adaptive wavelet precise integration method for nonlinear Black-Scholes model based on variational iteration method[J]. Abstract and Applied Analysis,2013,2013:1-6.

[9] L Liu.Construction of interval Shannon wavelet and its application in solving nonlinear Black-Scholes equation[J]. Mathematical Problems in Engineering,2014,2014:1-9.

(編輯李秀敏)

Wavelet Precise Integration Method for Purification to Locus of Journal Center

CAO Yong-ning1,YANG Yong2

(1. Department of Industrial Engineering,Ningxia Vocational and Technical College,Yinchuan 750021,China; 2.Raisecom Technology Co.,Ltd, Beijing 100085,China)

Locus of journal center is often employed to analyze the failure of rotor.In fact, there are much more noises exist in the original signal of the locus of journal center, which is against of the precise analysis to the failure to some extent. The partial differential equation method is a new kind of purification technique for the locus of journal center proposed in recent years. Based on this new method, the wavelet precise integration algorithm is proposed in this paper. As a matter of fact, the wavelet precise integration method (WPIM) is an efficient algorithm to solve the partial differential equation for the purification to the locus of journal center. The numerical experiments show that the proposed method can eliminate the noises in the original signal effectively, and it won’t change the essential feature of the original signal, this is helpful to improve the correctness of the analysis to the locus of journal center.

locus of journal center; purification; wavelet precise integration method

1001-2265(2015)11-0016-03DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.11.005

2015-07-20；

2015-08-15

國(guó)家自然科學(xué)基金(41171337)

曹永寧(1965—)，男，寧夏人,寧夏職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，碩士，研究方向?yàn)楝F(xiàn)代設(shè)計(jì)方法及理論，(E-mail)1286319247@qq.com。

TH166;TG506

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