☉江蘇省張家港市港區(qū)初級(jí)中學(xué)　黃　亞

強(qiáng)化審題注重分析明晰思路尋求突破
——初中數(shù)學(xué)解題思維起點(diǎn)確定的若干策略

☉江蘇省張家港市港區(qū)初級(jí)中學(xué)黃亞

解題就是“解決問(wèn)題”，即求出數(shù)學(xué)題的答案.這個(gè)答案在數(shù)學(xué)上也叫做“解”，所以，解題就是找出題的解的活動(dòng).解題過(guò)程就是根據(jù)問(wèn)題條件，利用數(shù)學(xué)相關(guān)的基本知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有計(jì)劃、有步驟、有目的地邏輯推理活動(dòng).它應(yīng)該包括從拿到題目到完全解出的所有環(huán)節(jié)或每一個(gè)步驟，通常有四個(gè)自然的階段：理解題意、思路探求、書寫表達(dá)、回顧反思.要圓滿完成這一活動(dòng)，除了強(qiáng)化審題、理解題意外，首要的是選擇準(zhǔn)確、科學(xué)的思維起點(diǎn)，使解題思維活動(dòng)由問(wèn)題的初態(tài)指向問(wèn)題終態(tài).實(shí)踐表明：當(dāng)思維起點(diǎn)合理時(shí)，解題過(guò)程就會(huì)得心應(yīng)手；當(dāng)思維起點(diǎn)偏離時(shí)，就容易誤入歧途，無(wú)法求解.因此，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的解題思維起點(diǎn)是一項(xiàng)十分重要的任務(wù)，也是學(xué)生提高解題能力的關(guān)鍵所在.下面結(jié)合本人課堂教學(xué)調(diào)研的一些實(shí)例，對(duì)初中數(shù)學(xué)解題思維起點(diǎn)確定的策略進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析，以期對(duì)讀者有一定的啟迪與思考，為初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)提供一點(diǎn)參考.

一、從問(wèn)題的條件出發(fā)，確定思維的起點(diǎn)，讓條件與結(jié)論之間有橋梁通達(dá)

從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)，通過(guò)分析、計(jì)算、推理、歸納等活動(dòng)，使得題設(shè)條件向所求結(jié)論清晰過(guò)度，達(dá)到“解決問(wèn)題”之目的，這是我們解題教學(xué)中常常采用的基本方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最容易聯(lián)接的思維起點(diǎn).

1.直接應(yīng)用題設(shè)條件作為思維起點(diǎn)

概念是最為基礎(chǔ)的知識(shí)，許多基本概念、定理、公理等就是解題的思維起點(diǎn)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)、依據(jù).

圖1

結(jié)合BE=2，解得AD=5，AE=3，于是DE=4.

點(diǎn)評(píng)：由三角函數(shù)的基本概念及菱形的基本特征為思維起點(diǎn)，我們很快尋求到了圖形中相關(guān)幾何量之間的關(guān)系，進(jìn)而求得了它們的長(zhǎng)度，最后再利用正切的定義解決了問(wèn)題.利用基本概念解題，這也是解題經(jīng)驗(yàn)累積的結(jié)果.“經(jīng)驗(yàn)題感”的一個(gè)重要構(gòu)成是美感，熟諳數(shù)學(xué)美，就能“以美啟真”、“以美尋真”，能夠從題意中領(lǐng)悟到審美感受，從而隨之產(chǎn)生解題的意向.

2.挖掘題設(shè)中的隱含條件作為思維起點(diǎn)

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題常常需要挖掘題設(shè)中的隱含條件，使題設(shè)條件明朗化、具體化，達(dá)到明晰解題方向，尋求最佳解題方案之目的.

例2已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，7），且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為3，圖像的對(duì)稱軸為直線x=1，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

解析：根據(jù)“在x軸上截得的線段長(zhǎng)為3，圖像的對(duì)稱軸為直線x=1”知，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的交點(diǎn)為），于是我們可以設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)（-1，7）代入得a= 4，所以這個(gè)二次函數(shù)的解析式為），即y=4x2-8x-5.

點(diǎn)評(píng)：利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換是求解二次函數(shù)解析式常用的一個(gè)策略，是簡(jiǎn)化二次函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的重要途徑，也是數(shù)學(xué)解題非常重要的思維起點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)予以強(qiáng)化.本例中，將條件“在x軸上截得的線段長(zhǎng)為3，圖像的對(duì)稱軸為直線x=1”等價(jià)轉(zhuǎn)化成“二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)為使得二次函數(shù)的解析式由y=ax2+bx+c（a≠0）簡(jiǎn)化為），解題思路清晰、明了，問(wèn)題很容易地被解決了.

二、分析問(wèn)題結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，確定思維的起點(diǎn)，讓結(jié)論與條件之間有雙向溝通

初中數(shù)學(xué)中有些問(wèn)題的結(jié)論不僅是解題的終點(diǎn)，也是解題的起點(diǎn)，調(diào)控著解題的全部思維過(guò)程，解題中若能恰如其分地用好這些結(jié)論的特征，并以此為突破口來(lái)確定思維的起點(diǎn)，往往能收到意想不到的效果.

例3已知mn≠1，3m2-2m-5=0，5n2+2n-3=0，其中m，n為實(shí)數(shù)，求的值.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含絕對(duì)值的式子，我們常常有兩種處理方案，一是利用解決，二是利用平方進(jìn)行轉(zhuǎn)化.因此，本例也可以先將平方求解.雖然這兩種方法都是解題教學(xué)中比較常見(jiàn)的方法，并且具有一定的技巧性，但關(guān)鍵是分析結(jié)論式子的結(jié)構(gòu)能產(chǎn)生思維起點(diǎn)，值得我們予以重視.

三、剖析幾何圖形的性質(zhì)特征，確定思維的起點(diǎn)，讓幾何性質(zhì)向數(shù)量關(guān)系順利轉(zhuǎn)化

有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題與圖形有關(guān)，這些圖形常具有特殊的圖形特征或數(shù)量關(guān)系.因此，解題時(shí)要有目的、有意識(shí)地觀察、剖析幾何圖形，有效捕捉圖形中的相關(guān)信息.并能以此作為思維的起點(diǎn)，我們的解題過(guò)程也許能取得事半功倍的效果.

1.以線段相等為基礎(chǔ)，構(gòu)造全等三角形作為思維起點(diǎn)

全等三角形的相關(guān)知識(shí)是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，通過(guò)三角形的全等可證得線段、角度的相等，因此，構(gòu)造全等三角形作為解題的思維起點(diǎn)，是解決幾何問(wèn)題非常簡(jiǎn)潔、有效的方法.

例4如圖2，在△ABC中，AB= AC=2，BD=CE，F(xiàn)是AC邊上的中點(diǎn)，則AD-EF與1的大小關(guān)系是ADEF_________1（填“＞”、“=”或“＜”）.

解析：在△ABC中，AB=AC，則∠B=∠C.

圖2

于是AD=AE，從而AD-EF=AE-EF＜AF.

點(diǎn)評(píng)：“一個(gè)好念頭的基礎(chǔ)是過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)”.本題解答過(guò)程主要抓住了AB=AC，BD=CE這兩對(duì)線段相等這一特征，恰當(dāng)?shù)靥砑恿溯o助線AE，再通過(guò)全等三角形的知識(shí)，將AD-EF轉(zhuǎn)化為AE-EF，使問(wèn)題得以解決.

2.以角度相等為基礎(chǔ)，構(gòu)造相似三角形作為思維起點(diǎn)

相似是兩個(gè)三角形之間的重要關(guān)系特征，兩個(gè)相似三角形能把它們對(duì)應(yīng)邊的比用等號(hào)聯(lián)系起來(lái)，這就將一個(gè)幾何問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解.而要識(shí)別兩個(gè)三角形是否相似，我們常常采用“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”，因此，以角度相等為基礎(chǔ)，構(gòu)造相似三角形作為思維起點(diǎn)，再運(yùn)用相似三角形所具有的性質(zhì)解決問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)中最為有效的方法之一.

圖3

解析：根據(jù)圖形特征，不難發(fā)現(xiàn)∠AOB=∠O1BA1，于是，我們過(guò)點(diǎn)A、O1分別作x軸的垂線，垂足分別是H、G，那么，Rt△AOH∽R(shí)t△O1BG，所以

點(diǎn)評(píng)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度固有的關(guān)系，構(gòu)造一對(duì)相似的Rt△AOH與Rt△O1BG是很自然的思維起點(diǎn).利用相似三角形的性質(zhì)求得線段的長(zhǎng)度，又是解決坐標(biāo)問(wèn)題最常用的方法.這其中，構(gòu)造相似三角形的過(guò)程，又很好地運(yùn)用了直覺(jué)思維，這實(shí)際上是運(yùn)用解題策略并進(jìn)行資源提取與分配的過(guò)程.

四、構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，確定思維的起點(diǎn)，讓“數(shù)”與“形”之間巧妙銜接

著名的數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過(guò)：“當(dāng)原問(wèn)題看起來(lái)不可解時(shí)，人類的高明之處就在于會(huì)迂回繞過(guò)不能直接克服的障礙，就在于能想出某個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助問(wèn)題.”在具體的解題教學(xué)中，我們常常會(huì)根據(jù)已知條件的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.把思維起點(diǎn)確立在模型的建立上，往往能使得數(shù)學(xué)問(wèn)題化抽象為直觀.

1.以代數(shù)式結(jié)構(gòu)作為思維起點(diǎn)，利用幾何方法解決代數(shù)問(wèn)題

某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若能根據(jù)數(shù)（式）的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，就能簡(jiǎn)化煩瑣復(fù)雜的計(jì)算.

圖4

易知當(dāng)點(diǎn)C、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，CP+DP最小.延長(zhǎng)DB至點(diǎn)E，使得BE=2，連接CE，易知△CED為直角三角形，故CP+DP的最小值為

點(diǎn)評(píng)：從代數(shù)結(jié)構(gòu)到幾何圖形，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)以“數(shù)”覓“形”的過(guò)程，學(xué)生可以從不同的側(cè)面去理解同一個(gè)問(wèn)題，加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，提供解決問(wèn)題的快捷、有效的方法.在解題教學(xué)中，還原問(wèn)題的本質(zhì)是一種卓有成效的分析方法，由此，我們往往能抓住事物內(nèi)在規(guī)律和實(shí)質(zhì)，揭示出問(wèn)題的本質(zhì)屬性，從中當(dāng)然可覓得思維起點(diǎn).本例還可以將轉(zhuǎn)化為，利用直角坐標(biāo)系來(lái)解決，讀者不妨一試.

2.以探索幾何量之間等量關(guān)系作為思維起點(diǎn)，利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題

某些幾何圖形問(wèn)題，根據(jù)圖形固有的性質(zhì)求解往往較為困難，如果能清晰地探索到幾何量之間的等量關(guān)系，巧用“代數(shù)模型”來(lái)求解，既可以避開添加輔助線的難點(diǎn)，又能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、可操作.

解析：由題意易知OB=AB，所以△ABC的周長(zhǎng)等于OC+AC.若設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）（x＞0，y＞0），那么△ABC的周長(zhǎng)等于x+y.

圖5

點(diǎn)評(píng)：本例中△ABC的周長(zhǎng)從“AB+BC+CA”到“OC+ AC”，再到“x+y”，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)以“形”想“數(shù)”的過(guò)程，這樣的思維訓(xùn)練對(duì)學(xué)生的發(fā)散思維能力的提升有所裨益，而整體求解“x+y”的值也是解決本例的關(guān)鍵.

五、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，確定思維的起點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)解題成為完善學(xué)生思維品質(zhì)的有效途徑

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中明確指出：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是指數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理，以及由其內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法.因此，數(shù)學(xué)思想方法是以具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法，它是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法的靈魂，是形成學(xué)生的良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.在解題教學(xué)中，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法作為思維起點(diǎn)，能完善學(xué)生思維品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.利用方程思想選擇思維起點(diǎn)

在一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程的學(xué)習(xí)中，方程（組）作為解題的工具，我們已經(jīng)逐步感受到了它的魅力.而在其他知識(shí)的學(xué)習(xí)中，很多問(wèn)題也是通過(guò)假設(shè)未知數(shù)，依據(jù)等量關(guān)系建立方程來(lái)解決的，利用方程思想選擇思維起點(diǎn)是問(wèn)題得以解決的關(guān)鍵所在.

例8如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，按如圖所示的方法將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C′處，則tan∠BDC= ________.

解析：AC=6，BC=8，所以AB= 10，設(shè)CD=x，則AD=6-x.

由折疊的性質(zhì)看，知C′D=x，C′A=10-8=2.

在Rt△AC′D中，C′D2+C′A2=AD2，即x2+22=（6-x）2，解

圖6

點(diǎn)評(píng)：本題的解答過(guò)程我們采用了如下模式：幾何問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程求解.這是一種很流行的關(guān)于解題的觀點(diǎn)，雖然這種方法不是萬(wàn)能的，但它所體現(xiàn)的化歸思想確實(shí)是非常有價(jià)值的.

2.利用由特殊到一般的思想選擇思維起點(diǎn)

在解題過(guò)程中，若把一個(gè)一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題特殊化后，能使該數(shù)學(xué)問(wèn)題具有更多、更優(yōu)的性質(zhì)，以此作為思維起點(diǎn)，我們就可以很容易地解決所給的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

圖7

（2）在（1）條件下，已知點(diǎn)P（t，0）為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若∠MPN＞90°，求t的取值范圍.

（2）利用∠MPN＞90°無(wú)法找到解題的切入口，我們不妨從特殊情形入手.設(shè)P1為x軸上一點(diǎn)，連接MP1、NP1，并且∠MP1N=90°.

過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為H，則△MOP1∽△P1HN，所以，整理得2t2-10t+7= 0，解得.所以滿足∠MP1N=90°的點(diǎn)有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別是.觀察圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P（t，0）在這兩個(gè)點(diǎn)之間時(shí)，∠MPN＞90°成立，故所求t的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)：特殊值法是通過(guò)對(duì)研究對(duì)象的特殊情形（如特殊位置、特殊圖形、特殊數(shù)值、特殊數(shù)量關(guān)系等）的分析，達(dá)到選擇或得到一般結(jié)論的解題技巧.利用由特殊到一般的思想作為思維起點(diǎn)來(lái)解決綜合性問(wèn)題，也是解答中考試題常用的方法之一.無(wú)論從一般聯(lián)想到特殊，還是特殊過(guò)渡到一般，都要有敏銳的直覺(jué)，并且需要能在短時(shí)間內(nèi)朦朧地插上幻想的翅膀，直接飛翔到最近的可能性上，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)領(lǐng)悟.

3.運(yùn)用分類討論的思想選擇思維起點(diǎn)

在我們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中是不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究的.例如，有些代數(shù)問(wèn)題中的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，并且這些字母不同的取值會(huì)影響到問(wèn)題的解決；有些幾何問(wèn)題中的圖形位置不確定，導(dǎo)致幾何量的相等關(guān)系、圖形的全等（相似）等出現(xiàn)不同的情形.直覺(jué)告訴我們，解決這類問(wèn)題的思維起點(diǎn)是恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類討論.

例10如圖8，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，∠A=∠B，AD=BC=3cm，AB=4cm，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是xcm/s，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t（s）.是否存在實(shí)數(shù)x、t，使得△ADP與△BPQ全等？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的實(shí)數(shù)x、t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖8

解析：設(shè)存在實(shí)數(shù)x、t，使得△ADP與△BPQ全等.

點(diǎn)評(píng)：本題中的兩個(gè)三角形都是“動(dòng)態(tài)三角形”，其中保持不變關(guān)系的是“∠A=∠B”，因此它們的全等關(guān)系是不確定的，要考慮全面，照顧到在已知條件下可能出現(xiàn)的多種情形，我們選擇分類討論作為思維起點(diǎn)，避免了“漏解”現(xiàn)象的出現(xiàn).

實(shí)踐表明，抓住解題思維突破口是思維素質(zhì)的重要組成部分，是解題教學(xué)的靈魂所在.

但是，學(xué)生平時(shí)解題中對(duì)思維起點(diǎn)的確定和解題方法的歸納是缺乏的，甚至是盲目的，而思維起點(diǎn)的確定和解題方法的歸納恰恰又是知識(shí)與能力升華的關(guān)鍵所在.當(dāng)然，思維起點(diǎn)的確定遠(yuǎn)不止上面所論述的幾種，數(shù)學(xué)問(wèn)題的千變?nèi)f化，決定了思維起點(diǎn)的確定也應(yīng)當(dāng)是豐富多彩的，況且同一個(gè)問(wèn)題也可能存在多種思維起點(diǎn)的確定方法，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中不斷總結(jié)，不斷探索.路漫漫兮，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)的路上，讓我們且行且求索.

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