☉甘肅省張掖市第三中學　李永明

捕捉、提取、組合、反饋四階段解題的思維剖析與思考*
——以2014年張掖卷第28題為例

☉甘肅省張掖市第三中學李永明

中考數(shù)學壓軸題是對學生所學知識的靈活運用，以及分析、解決問題能力的全面考查，由于它的知識覆蓋面廣、綜合性強、難度系數(shù)大，既考查基礎(chǔ)知識和基本技能，又考查數(shù)學思想方法和數(shù)學能力，特別是注重發(fā)展學生的創(chuàng)新能力方面，有較大的區(qū)分度.如何才能在壓軸題中提出有利于解題的問題呢？如何才能用科學的方法解決遇到的壓軸題呢？按照羅增儒教授的《數(shù)學解題學引論》一書指引，筆者結(jié)合2014年張掖卷第28題從理解題意中捕捉有用的信息和從記憶儲存中提取有關(guān)的信息兩個方面入手，認真反饋解題的思維過程，分析解題過程中的知識結(jié)構(gòu)和邏輯結(jié)構(gòu)，讓學生學會解題過程分析，進一步提高解題能力.現(xiàn)拙文呈現(xiàn)其“四階段”思維過程，以期拋磚引玉，與同行交流.

一、解題分析

（一）精心審題，捕捉基本信息

題目（2014年張掖）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，頂點為M的拋物線是由二次函數(shù)y=x2-3的圖像向右平移一個單位后得到的，它與y軸的負半軸交于點A，點B在此拋物線上，且橫坐標為3.

（1）求點M、A、B的坐標；

（2）連接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；

（3）點P是此拋物線上一點，且位于其對稱軸的右側(cè)，設(shè)PO與x正半軸的夾角為α，當α=∠ABM時，求點P的坐標.

認真閱讀例題，你能發(fā)現(xiàn)些什么？

本題是一道由拋物線和直角三角形結(jié)合的綜合問題，第（1）問是求拋物線的頂點坐標及另兩點的坐標，解題的關(guān)鍵是要確定拋物線的關(guān)系式，如何才能確定拋物線的關(guān)系式呢？如何才能從審題中捕捉有用的信息，正確解答所需要的條件呢？解題的思維就從這里展開.

圖1

1.從例題的文字敘述中獲取“符號信息”

頂點為M的拋物線是由二次函數(shù)y=x2-3的圖像向右平移一個單位后得到的；新拋物線與y軸的負半軸交于點A；點B在新拋物線上，且橫坐標為3.

這三條從例題的文字敘述中獲取全文字敘述的“符號信息”，還得要求學生從大腦中提取其數(shù)學表達式，進行加工再生，使其轉(zhuǎn)變成有直觀性、有實際意義的“符號信息”.例如：頂點為M的拋物線是由二次函數(shù)y=x2-3的圖像向右平移一個單位后得到的，平移后的拋物線關(guān)系式可表示為y=（x-1）2-3；新拋物線與y軸的負半軸交于點A，可表示為A（0，m），m為未知數(shù)；點B在新拋物線上，且橫坐標為3，可表示為B（3，n），n為未知數(shù).

2.從例題的圖形中獲取“形象信息”

頂點為M的拋物線是由二次函數(shù)y=x2-3的圖像向右平移一個單位后得到的，開口方向、形狀完全相同，二次函數(shù)y=x2-3的頂點坐標為（0，-3）向右平移一個單位后得到新拋物線的頂點M；新拋物線與y軸的負半軸交于點A的橫坐標為0等.這些信息都不是題目直接告訴的，而是要學生根據(jù)自己的學習經(jīng)歷，通過已知圖形直接感知到的，不同的人有不同的結(jié)果.

（二）溫故知新，提取有關(guān)信息

解題的第二步是溫故知新，從大腦中提取與本題有關(guān)信息和類似的題目.首先，學生通過精心審題，捕捉到了題目中有用的基本信息；其次，學生努力追憶在課本、資料出現(xiàn)過的類似題目，從大腦中提出與本例題有關(guān)的定義、公式、法則、公理、定理、類題和基本模式等解題依據(jù)，索取已知的知識，調(diào)動潛在的技能，進行信息的對比、借鑒和再生.這既是啟發(fā)學生從“題”中獲取信息，又是催促學生從“記憶”中索取信息.如果學生想到了與本題有關(guān)的信息，就把每一條都羅列出來，供下一步使用.如果學生想到的信息與本題無關(guān)，就等于告訴學生要進行下一步的行動.

從記憶儲存中提取與題目有關(guān)的信息，作為解題繼續(xù)進展的依據(jù)：拋物線橫向平移，縱坐標不變，拋物線縱向平移，橫坐標不變；知道拋物線的頂點式y(tǒng)=（x-h）2+k，求拋物線的頂點坐標；知道橫坐標，代入拋物線的解析式求縱坐標；正切的定義；勾股定理及逆定理.這些信息的選擇與提取，是與上一步“精心審題，捕捉基本信息”相關(guān)進行的，中間也許會經(jīng)過許多次的嘗試與失敗.

（三）去偽存真，組合有效信息進行解題

解題的第三步是組合有效信息進行解題.把從題目中捕捉到的有用信息與記憶儲存中提取的有關(guān)信息結(jié)合起來，進行加工、重組和再生，這實質(zhì)上就是解題思路的探求.把這兩方面的信息進行有效的組合，使之成為一個和諧的邏輯結(jié)構(gòu).

1.第（1）問解法

第（1）問把從題目中捕捉到的有用信息與記憶儲存中提取的有關(guān)信息結(jié)合起來畫出解題的信息過程，如圖2所示.

圖2

這就是解這道題第（1）問的平面結(jié)構(gòu)圖，包括有用捕捉、有關(guān)提取、有效組合三部分.把它的邏輯骨架抽取出來，就是解題的書寫過程.如果我們自覺地、堅持不懈地進行這樣的結(jié)構(gòu)分析，將有效提高學生運用解題思想方法、調(diào)動解題思想方法的能力和解決壓軸題的能力.

方法1：（解析法）由二次函數(shù)y=x2-3的頂點坐標為（0，-3），因為圖像向右平移一個單位，所以新二次函數(shù)的頂點坐標為（1，-3），由頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k（a≠0），其中，點（h，k）為頂點，可得拋物線的解析式y(tǒng)=（x-1）2-3，又知道M、A、B的橫坐標，代入解析式求出點M、A、B的縱坐標.

方法2：（平移法）如圖3，由從例題的文字敘述中獲取“頂點為M的拋物線是由二次函數(shù)y=x2-3的圖像向右平移一個單位后得到的”和從記憶儲存中提取“拋物線橫向平移，縱坐標不變”兩條信息有效組合，化“生”為“熟”就可以很簡單地求出A、B、M三點的坐標.解題的信息過程如圖4所示.

圖3

圖4

方法3：由二次函數(shù)y=x2-3知頂點M1（0，-3），向右平移一個單位后可得M（1，-3）；反之，B點的橫坐標3，向左平移一個單位后得到B1點的橫坐標為2，代入y=x2-3得B1點的縱坐標為1，即B（3，1）；由圖3知A點的橫坐標為0，點A向左平移一個單位后得到A1點的橫坐標為-1，代入y=x2-3得A1點的縱坐標為-2，即A（0，-2）.

2.第（2）問解法

在平面直角坐標系中求線段的長，一般有兩種方法：構(gòu)造法和兩點間的距離公式.

方法1：（構(gòu)造法）如圖5，作BC⊥y軸，垂足為C，構(gòu)造Rt△ABC；作MD⊥y軸，垂足為D，構(gòu)造Rt△AMD；過點B、M分別作y軸和x軸的平行線交于點E，構(gòu)造Rt△BME.由勾股定理分別求出AB=，用逆定理判斷△BAM是一個直角三角形，求出tan∠ABM=

圖5

方法2：（公式法）如圖5，因為點A（0，-2），B（3，1），由兩點間的距離公式同理可得AM和BM.（其他過程略）

3.第（3）問解法

在此題第（3）問的思考過程中，我們可以從以下幾方面進行思考：

方法1：（構(gòu)相似，列方程）如圖6，①當點P在x正半軸上方時，設(shè)PO與x正半軸的夾角為α，當α=∠ABM時，過P點作PE⊥y軸，垂足為E，則Rt△BAM∽Rt△PEO，由相似三角形的性質(zhì)得，由第（1）問，設(shè)P點的坐標為（x，x2-2x-2），則，解得

圖6

②當點P在x正半軸下方時，方法同上.（其他過程略）

方法2：（設(shè)交點，解方程）過程略.

（四）舉一反三，反饋解題過程

解題的第四步還應反饋解題過程.從信息論的觀點，反饋就是系統(tǒng)的輸出轉(zhuǎn)變成系統(tǒng)的輸入.任何系統(tǒng)只有通過反饋信息才能實現(xiàn)控制，沒有反饋信息的系統(tǒng)就不能實現(xiàn)控制.解題是一個可控的系統(tǒng)，為了有效地實現(xiàn)控制，必須要有信息的反饋.反饋解題過程不僅能改進完善解題的思路和方法，而且能提煉出對解題有指導作用的信息，進一步升華為學生搜索、捕獲、分析、加工和運用信息能力的總和.沒有解題反饋的過程是一個不完善的過程，下面筆者從解題中的反饋和解題后的反饋進行說明.

1.解題中的反饋與優(yōu)化

解題中的反饋通常稱為負反饋.如果我們把解題的現(xiàn)狀與目標之間的差異稱為目標差，那么負反饋的本質(zhì)就在于設(shè)計一個目標差，通過系統(tǒng)不斷地控制后果與目標作比較，使得它在控制的過程中慢慢減少，最后達到解題的目標.下面筆者以第（2）問為例來找目標差：

最顯著的目標差是：

①條件：連接AB、AM、BM，構(gòu)成三角形；

②結(jié)論：求∠ABM的正切值.

對此立即做出反應，如果△BAM是一個直角三角形，目標差將逐漸減小，問題就變的簡單化.

至此，我們已經(jīng)建立起了條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，整個思路就溝通了.這將是一個“目標差”逐漸減小、連續(xù)積累“目標差”、有目的地定向調(diào)控和有價值地漸次逼近的過程.

2.解題后的反饋與優(yōu)化

反饋原理對于解題的指導作用，不僅表現(xiàn)為解題中對目標差的調(diào)節(jié)，而且表現(xiàn)為解題后對數(shù)學命題的重新認識和對解題方法的評價.對數(shù)學命題的重新認識包括解法正確嗎？能否對問題的答案和解題過程進行有效的檢驗？是否對條件和結(jié)論作過適當討論？探索題目的背景時，是否對結(jié)論特殊化、一般化等.對解題方法的評價主要是探求方法的實質(zhì)，追求解法的優(yōu)化等問題，其內(nèi)容包括題目本身有什么特點？解題中是怎么利用這些特點找到解題突破口或成功思路的？教訓是什么？解題中應用了哪些知識與方法？其中關(guān)鍵在哪里？畫一張結(jié)構(gòu)圖；是否還有別的方法？更一般的方法？更特殊的方法？溝通其他學科的方法？更簡單的方法，更多的方法？方法本身對已知數(shù)據(jù)或已知關(guān)系的依賴是本質(zhì)的還是非本質(zhì)的？同樣的方法是否能立即做出推廣？實質(zhì)性的推廣需對方法做怎樣的改變或創(chuàng)新？提煉對今后解題有指導意義的方法論價值，逐步積累搜集信息、分析信息、加工信息、應用信息的能力.

二、對解題的幾點思考

研究解題過程，不是去尋找萬能的解題模式，而是力圖揭示人的思維活動過程和解題的有效途徑.思維活動過程中最富于創(chuàng)造性的是提出問題，解題的有效途徑是分析解題過程.因此，要充分運用數(shù)學知識，調(diào)動數(shù)學能力，即提出問題又不斷解決問題，去分析和思考解題過程，形成解題能力，提高解題效率，使其終身受益.

1.提煉信息，化“繁”為“簡”，生成解題途徑

認真讀題、審題、豐富的聯(lián)想、準確的判斷，精明的謀略、分清題型、要求、明白題意，從理解題意中捕捉有用的信息和從記憶儲存中提取有關(guān)的信息，盡可能把較復雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，把較抽象的問題轉(zhuǎn)化為較具體的問題，生成解題途徑.此題第（2）問，要用勾股定理的逆定理判斷△BAM是一個直角三角形，必須運用勾股定理來求線段AB、AM、BM的長，這個過程對于初中學生來說還是相當“繁”的，如果學生能直接應用兩點間的距離公式，這一過程就變的比較簡單了，兩點間的距離公式雖然是高中的知識，但它的實質(zhì)就是勾股定理的一個簡單應用，如果學生理解了，就可以把煩瑣的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，生成解題途徑.

2.精心捕捉，化“生”為“熟”，促成解題途徑

在解題教學過程中，通過細致的觀察、良好的記憶、深刻的洞察，從題目中捕捉有效的基本信息，把這些信息與課本例題、熟悉的類題聯(lián)系起來，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，尤其是轉(zhuǎn)化為已掌握的基本問題，產(chǎn)生“習題效應”，降低解題的難度，促成解題途徑.例如第（1）問求三點的坐標，如果精心捕捉到了新拋物線是由y=x2-3的圖像向右平移一個單位得到的，并且對應點的縱坐標不變，橫坐標增加一個單位.B點的橫坐標為3，反之向左平移一個單位后得到對應點的橫坐標為2，代入y=x2-3得對應點的縱坐標為1，即B（3，1）.

3.從“頭”到“尾”，尋找聯(lián)系，探尋解題途徑

如果題目沒有找到合適的解決途徑，可以從“頭”到“尾”，尋找聯(lián)系，探尋解題途徑.即根據(jù)題目所給的條件與結(jié)論，認真剖析條件與結(jié)論，重新辨認條件、結(jié)論、定義、定理等，改變問題的形式，充實引進的輔助因素，思考大致要用到哪些數(shù)學知識與數(shù)量關(guān)系，綜合應用邏輯思維和非邏輯思維的方法，從條件與結(jié)論的相互聯(lián)系中去探尋解決問題的途徑，如果所有這些有了清晰明了的細節(jié)、和諧的整體，那么解法一定就在眼前了.

總之，解題就是“解決問題”，“是指運用‘數(shù)學方式的理性思維’進行的思考，它重在培養(yǎng)學生獨立思考的能力和從數(shù)學的角度去分析問題的素養(yǎng)，讓學生學會獨立思考，體會數(shù)學思想和數(shù)學思維方式，使學生終生受益.特別是學會獨立思考，是數(shù)學課程培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的核心”，它是數(shù)學教師的立足之本，是數(shù)學活動的基本形式和主要內(nèi)容，是師生的一個興奮中心，它的學習有肋于學生邏輯思維的養(yǎng)成和歸納總結(jié)能力的提高，有利于培養(yǎng)學生思維的廣闊性和嚴謹性，教師要引導學生注重解決問題的過程、策略及整合思想方法，把握解題原則、剖析解題過程、落實解題策略、回望思想方法，讓學生經(jīng)歷一個由“被動”到“主動”的過程，從呵護、引領(lǐng)到放手、開放，逐步從“模擬解題”到自己“分析解題”，真正成為數(shù)學學習的主人，讓解題變的更高效.我們只有經(jīng)常學習解題理論，研究解題思想，掌握解題方法，在題目中捕捉有用的信息，從大腦中提取有關(guān)信息，進行加工、重組和再生，展示其邏輯結(jié)構(gòu)，使其眼前豁然開朗，感受到境界的提升，進而有效地解決壓軸題.

1.羅增儒.數(shù)學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

2.李永明.基于“四基”理念的教學目標的實踐與反思［J］.中學數(shù)學（下），2015（1）.

*本文為甘肅省教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度立項課題《基于“四基”理念高效課堂的案例研究》的階段性成果，課題編號：GS［2013］GHB0764.