☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 張明環(huán)
坐標(biāo)系中“找規(guī)律”題的求解策略
☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)張明環(huán)
“找規(guī)律”問(wèn)題是中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題,以坐標(biāo)系為背景的“找規(guī)律”題是此中最為常見(jiàn)的一類(lèi).這類(lèi)試題一般被編排在填空題或選擇題的“壓軸”位置,將矩形、菱形、正方形、全等三角形、相似三角形、直角三角形、銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)等知識(shí)融進(jìn)坐標(biāo)系中,此外,數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)變換等數(shù)學(xué)思想也會(huì)滲透進(jìn)去.解答這些題目,學(xué)生不僅要儲(chǔ)備充足的知識(shí),還應(yīng)具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)推理能力,當(dāng)然,與問(wèn)題解決匹配的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也是必須具備的.解答這類(lèi)考題,挖掘文本中蘊(yùn)含的數(shù)據(jù)信息和圖形中隱藏的變化規(guī)律是關(guān)鍵.在近期的壓軸題專(zhuān)題教學(xué)中,筆者充分利用這類(lèi)考題的信息“加載”特點(diǎn),形成了此類(lèi)考題的求解策略,為問(wèn)題解決找到了一條快捷通道.現(xiàn)結(jié)合2014年遼寧省丹東市中考卷第16題談?wù)劰P者的做法及思考,希望能給您的教學(xué)帶來(lái)一些啟示.
題目如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上,OA=,連接AB,過(guò)AB的中點(diǎn)C1分別作x軸和y軸的垂線(xiàn),垂足分別是A1、B1,連接A1B1,再過(guò)A1B1的中點(diǎn)C2作x軸和y軸的垂線(xiàn),照此規(guī)律依次作下去,則點(diǎn)Cn的坐標(biāo)為_(kāi)________.
圖1
簡(jiǎn)析:本題是一道典型的坐標(biāo)系中的找規(guī)律問(wèn)題,處在丹東卷填空題的最后一題,為填空“壓軸題”.主要考查了三角形的中位線(xiàn)定理、矩形、平行四邊形、相似三角形、位似、點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí),數(shù)形結(jié)合思想、模型思想也自然滲透在試題之中.想要順利解決本題,從題目的圖形條件和文本條件中找到求點(diǎn)C1、C2的坐標(biāo)的方法是起點(diǎn),而從這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)中挖掘出變化規(guī)律則是解題的關(guān)鍵.
(一)剖析試題,抽取數(shù)據(jù)
1.初讀圖形,發(fā)現(xiàn)基本圖形
試題分析,一般都是從文本入手.但對(duì)于坐標(biāo)系中的找規(guī)律問(wèn)題,筆者建議先觀察圖形,直觀感知圖形的變化規(guī)律,然后再結(jié)合文本細(xì)致分析,從而發(fā)現(xiàn)可能存在的變化規(guī)律.這道題目?jī)H從圖形看,所給的坐標(biāo)系中存在著多種常見(jiàn)的“直線(xiàn)形”,如Rt△AOB,矩形A1OB1C1,?A1B1BC1等.顯然,我們觀察圖形獲得了豐富的幾何基本圖形,研究好這些“直線(xiàn)形”在坐標(biāo)系中所具有的性質(zhì),對(duì)接下來(lái)的解題是十分重要的.再來(lái)詳細(xì)解讀這道試題的文本信息,我們會(huì)有更多的發(fā)現(xiàn),比如,“過(guò)AB中點(diǎn)C1分別作x軸和y軸的垂線(xiàn),垂足分別是A1、B1”可以得出A1B、C1A和C1B都是△OAB的中位線(xiàn);“照此規(guī)律依次作下去”告訴我們,如果按照題中的方法繼續(xù)作圖,這些“直線(xiàn)形”和中位線(xiàn)會(huì)大量出現(xiàn),邊的關(guān)系、角的關(guān)系、基本圖形的關(guān)系會(huì)依然存在.
2.文圖對(duì)應(yīng),提取原始數(shù)據(jù)
在題目所給的文本信息中,一共有兩個(gè)明顯的數(shù)據(jù):OA=1,OB=,除此以外,再無(wú)其他數(shù)據(jù).由此可見(jiàn),這兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)問(wèn)題解決是至關(guān)重要的,我們應(yīng)從這兩個(gè)數(shù)據(jù)“生出”更多的數(shù)據(jù).在分析試題時(shí),我們可以先將這兩個(gè)數(shù)據(jù)標(biāo)注到圖形中對(duì)應(yīng)線(xiàn)段旁邊.此外,我們還應(yīng)將文本中的“垂直”和“中點(diǎn)”等信息轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù),如∠C1A1A=90°,AC1=BC1=AB等,一并在坐標(biāo)系中標(biāo)注.通過(guò)原始數(shù)據(jù)的標(biāo)注,會(huì)讓我們清楚題目究竟給出了哪些條件,圖形中的哪些線(xiàn)段和角是已知的,還有哪些是未知的,它們“身在何處”.這樣的分析,會(huì)讓我們將題目給出的文本信息與圖形信息關(guān)聯(lián)在一起,避免了下一步解題時(shí)“左顧右盼”,圖形將成為學(xué)生解題的直接“抓手”.
3.適度延伸,展開(kāi)數(shù)據(jù)聯(lián)想
根據(jù)上面發(fā)現(xiàn)的基本圖形和標(biāo)注出的原始數(shù)據(jù),可以通過(guò)簡(jiǎn)單的推理及計(jì)算將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行適度拓展,用數(shù)據(jù)生成新的數(shù)據(jù).如,根據(jù)直角三角形AOB和“OA=1,”,應(yīng)用勾股定理可求得AB=2;根據(jù)“過(guò)AB的中點(diǎn)C1分別作x軸和y軸的垂線(xiàn)”可以推得,C1A和C1B是△OAB的中位線(xiàn),所以,進(jìn)一步延伸,我們還可以得到C2B2和C2A2的長(zhǎng)分別為,此外,由線(xiàn)段的長(zhǎng)我們還可以利用矩形的性質(zhì)合成一些點(diǎn)的坐標(biāo),如等.這些新獲得的數(shù)據(jù),我們同樣可以在圖形的對(duì)應(yīng)位置進(jìn)行標(biāo)注.
(二)數(shù)圖關(guān)聯(lián),猜想規(guī)律
根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn),我們獲得很多重要的數(shù)據(jù),其中有些數(shù)據(jù)對(duì)解題是沒(méi)有用的,有些數(shù)據(jù)是解題的核心數(shù)據(jù),所以,必須對(duì)所獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選,清除無(wú)效標(biāo)注,將有效標(biāo)注保留下來(lái).本題要求的是“點(diǎn)Cn的坐標(biāo)”,所以,數(shù)據(jù)的挑選應(yīng)圍繞“點(diǎn)C的坐標(biāo)”展開(kāi),所有與點(diǎn)C有關(guān)的數(shù)據(jù)應(yīng)進(jìn)入我們的視野.根據(jù)”和題中的“垂直”這一條件,可以得出點(diǎn)C1的坐標(biāo)為.同理可得,點(diǎn)C2的坐標(biāo)為).根據(jù)獲得的這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Cn的坐標(biāo)應(yīng)由線(xiàn)段CnBn、CnAn的長(zhǎng)度來(lái)確定,CnBn的長(zhǎng)即為橫坐標(biāo),而CnAn的長(zhǎng)則是其縱坐標(biāo).根據(jù)C1B1到C2B2、C1A1到C2A2的變化規(guī)律,我們可以猜想得出.于是,猜想點(diǎn)Cn的坐標(biāo)為
(三)檢驗(yàn)矯正,形成通解
通過(guò)前面的探究,我們雖然已經(jīng)得到了點(diǎn)Cn的坐標(biāo)),但剛才用的是不完全歸納法,所得結(jié)果是否適合一般情況呢?這還需要得到進(jìn)一步的檢驗(yàn)或證明.在本題中,我們可以繼續(xù)求點(diǎn)Cn的坐標(biāo)并與通解進(jìn)行比對(duì),如在求得點(diǎn)C)后,我們?nèi)=3代入到Cn的坐標(biāo)公式)中得到,兩條路徑結(jié)果一致,所以點(diǎn)Cn的坐標(biāo)公式應(yīng)該是正確的.當(dāng)然,為了讓結(jié)果的可信度再高一些,我們還可以繼續(xù)取一些點(diǎn)通過(guò)計(jì)算與代入進(jìn)行比對(duì),當(dāng)結(jié)果多次一致時(shí),就可以確定我們猜想的結(jié)果是符合題意的,是正確的.當(dāng)然,也會(huì)出現(xiàn)結(jié)果不一致的情況,這時(shí)就要對(duì)原來(lái)的推理與計(jì)算過(guò)程進(jìn)行矯正,直至完全一致為止.要注意的是,本題除了這種檢驗(yàn)方法外,我們還可以從幾何論證的角度對(duì)結(jié)果進(jìn)行證明,根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì),我們可以得出…,所以,.同理可得,所以,Cn的坐標(biāo)是).這一結(jié)果與我們前面的猜想是完全一致的.
1.深挖圖文信息,捕獲關(guān)鍵數(shù)據(jù)
初中階段的“找規(guī)律”問(wèn)題,一般以探究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律為主,這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律有些直接隱藏在數(shù)組之中的,也有些是暗藏在圖形的變化過(guò)程之中的.當(dāng)然,其中也不乏一些問(wèn)題中的數(shù)據(jù)與圖形是同步變化的.坐標(biāo)系背景下的“找規(guī)律”就屬于這類(lèi)“數(shù)圖同變”的問(wèn)題,這類(lèi)考題的變化規(guī)律既與數(shù)據(jù)有關(guān),又與圖形有關(guān).因此,解題時(shí)應(yīng)從圖、文兩個(gè)角度對(duì)試題進(jìn)行剖析,詳細(xì)解讀題目給出的文本信息和圖形信息,從這些信息中提取原始數(shù)據(jù),將圖形特殊位置關(guān)系中蘊(yùn)藏的數(shù)據(jù)也一并挖掘出來(lái).只有我們關(guān)注了題目最原始數(shù)據(jù)的挖掘,才能保證在問(wèn)題解決過(guò)程中關(guān)鍵信息不缺失.此外,除了對(duì)原始數(shù)據(jù)的捕捉外,我們還應(yīng)對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行適度的拓展,將由這些數(shù)據(jù)可以得到的數(shù)據(jù)同步生成.在獲得這些關(guān)鍵數(shù)據(jù)后,我們還要將其在文本與圖形上進(jìn)行對(duì)應(yīng)標(biāo)注,為接下來(lái)的思路分析、猜想通解、檢驗(yàn)矯正做好準(zhǔn)備.以上面的解題分析為例,”是原始數(shù)據(jù),根據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù)和題中的其他條件,我們還得到了等數(shù)據(jù),在問(wèn)題解決過(guò)程中,這些數(shù)據(jù)都被恰當(dāng)?shù)貥?biāo)注在圖形的對(duì)應(yīng)位置上.有了這些數(shù)據(jù)做底,接下來(lái)的探究自然會(huì)“底氣十足”了.
2.多維解讀數(shù)據(jù),合理猜想結(jié)論
規(guī)律探索,理應(yīng)立足于題目數(shù)據(jù)的詳細(xì)解讀之上.因此,我們?cè)谄饰鲈囶}時(shí),一般都會(huì)從文本或圖形中獲取大量的數(shù)據(jù).豐富的數(shù)據(jù)生成,夯實(shí)了“規(guī)律”探索的基礎(chǔ).面對(duì)從題目中提取出的眾多數(shù)據(jù),該如何下手呢?筆者認(rèn)為,首先,應(yīng)對(duì)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選,將與結(jié)果獲得明顯不相干的數(shù)據(jù)直接刪去,留下有用的數(shù)據(jù).其次,重點(diǎn)分析具有明顯先后關(guān)系的幾個(gè)數(shù)據(jù),找出這幾個(gè)數(shù)據(jù)中不變的數(shù)字,比如上面的Cn的縱坐標(biāo)中的我們可以將其先固定下來(lái);對(duì)其中變化的數(shù)字,再去通過(guò)“加一加”、“減一減”、“乘一乘”、“除一除”等方法,探究前后數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.最后,將這兩者整合在一起,形成數(shù)據(jù)的變化規(guī)律.作為高中階段要學(xué)習(xí)的數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),現(xiàn)階段的“找規(guī)律”問(wèn)題一般都不會(huì)過(guò)于繁雜.只不過(guò),問(wèn)題情境較為豐富,數(shù)據(jù)要隱藏在豐富的情境之下,且隱藏得較深.比如本文所述的這類(lèi)建立在坐標(biāo)系中找規(guī)律問(wèn)題,命題者給學(xué)生獲得有效數(shù)據(jù)設(shè)置了坐標(biāo)系這一情境,在數(shù)據(jù)分析時(shí),我們除了關(guān)注圖形中的線(xiàn)段、角度等數(shù)值的大小外,還要將這些圖形放入到坐標(biāo)系中全盤(pán)考慮.這樣的問(wèn)題情境給了學(xué)生獲得有效的解題數(shù)據(jù)設(shè)置障礙,增加了問(wèn)題解決的維度.所以,在對(duì)這類(lèi)考題中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí),不僅要關(guān)注數(shù)據(jù)本身,還要關(guān)注問(wèn)題情境,要將這些數(shù)據(jù)放置到現(xiàn)有的情境中進(jìn)行“拷問(wèn)”,讓得出的猜想經(jīng)得住情境的檢驗(yàn),成為合情合理的結(jié)論.
3.做好檢驗(yàn)矯正,確保通解成真
“找規(guī)律”,“找”的過(guò)程是一個(gè)較為艱難的過(guò)程,必須經(jīng)歷一輪甚至多輪“猜想—驗(yàn)證—再猜想—再驗(yàn)證”的過(guò)程.有人說(shuō),“我一下子就得出了結(jié)果”,筆者認(rèn)為這應(yīng)該是直覺(jué)吧!這種直覺(jué)來(lái)自于長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)積累,有時(shí)這種直覺(jué)對(duì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題是有益的,能幫助大家發(fā)現(xiàn)解題思路和解題方法,推動(dòng)問(wèn)題沿著正確的道路前進(jìn).但有時(shí)這種直覺(jué)卻會(huì)成為問(wèn)題解決的最大障礙,過(guò)度地依賴(lài)已有經(jīng)驗(yàn),會(huì)讓問(wèn)題解決“固步自封”,陷入困境.事實(shí)上,有時(shí)不假思索一下子就給出的結(jié)果未必是正確的結(jié)果.所以,解決“找規(guī)律”問(wèn)題,我們還是應(yīng)該按照一定的步驟進(jìn)行.尤其是在歷經(jīng)“千辛萬(wàn)苦”獲得結(jié)果后,一定要對(duì)得到的“通解”進(jìn)行檢驗(yàn),以確保通解成真.要說(shuō)明的是,對(duì)通解檢驗(yàn)的方法是多樣的.本文中所述的坐標(biāo)系中的規(guī)律探究問(wèn)題,我們用了兩種方法進(jìn)行了檢驗(yàn),一是進(jìn)一步探究獲取新的結(jié)果,再將新結(jié)果回代檢驗(yàn)確定猜想是否正確;二是直接用幾何論證的方法證明數(shù)據(jù)間前后變化規(guī)律,說(shuō)明猜想是正確的.總之,對(duì)猜想結(jié)果的檢驗(yàn)是非常重要的,只有在經(jīng)歷了檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)確實(shí)無(wú)誤后,才能將所得的結(jié)果定格成為通解.
“找規(guī)律”問(wèn)題是中考應(yīng)試的難點(diǎn),想要順利解答此類(lèi)考題,我們就應(yīng)找尋問(wèn)題解決的一般方法.本文中筆者陳述這些步驟,僅是坐標(biāo)系背景下的求解找規(guī)律問(wèn)題的基本步驟,并不適用于所有的找規(guī)律問(wèn)題.大家可以根據(jù)這里給出的方法結(jié)合其他類(lèi)型的找規(guī)律問(wèn)題進(jìn)行再創(chuàng)新,使問(wèn)題解決的策略個(gè)性化、普適化.最后,和大家交流一下在探究文中策略時(shí)得到的啟示:認(rèn)真審題是解題的起點(diǎn),只有以最誠(chéng)懇的態(tài)度剖析試題,從基本條件入手,將條件和結(jié)論關(guān)聯(lián)起來(lái),才有可能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的思路;抓住數(shù)據(jù)是問(wèn)題解決的關(guān)鍵,只有從題目中獲取到核心數(shù)據(jù),我們才能真正找到數(shù)或形變化的“規(guī)律”,才能形成有效的猜想;檢驗(yàn)矯正是正確求解的保證,作為“小題”(指填空題、選擇題)壓軸題,結(jié)論的得出離不開(kāi)反復(fù)推敲與細(xì)致打磨,當(dāng)我們以足夠的耐心和細(xì)心去面對(duì)先期的猜想,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)某些疏漏或缺失,及時(shí)的彌補(bǔ)將會(huì)讓結(jié)果更加完美.
以上所述,一家之言,不當(dāng)之處,敬請(qǐng)各位同行專(zhuān)家批評(píng)指正.