薛東梅

我們知道，高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的系統(tǒng)性、推理的嚴(yán)密性對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力很有好處。同時(shí)，如果我們?cè)诮虒W(xué)中努力踐行一題多解或是一題多變的教學(xué)方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維也不無(wú)益處。前不久，筆者有幸參加了我縣高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課教學(xué)觀摩活動(dòng)，聆聽(tīng)了十幾位優(yōu)秀教師的觀摩課，對(duì)他們?cè)谡n堂上引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去求解，或是將一道題目變化出多種形式供學(xué)生思考，積極培養(yǎng)學(xué)生思維的教學(xué)方法留下了深刻印象?，F(xiàn)將此次觀摩活動(dòng)中一些精彩之處實(shí)錄如下，以饗讀者。

一、一題多解訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維

在第一堂觀摩課上，教師板書(shū)了例題：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

先讓學(xué)生通過(guò)小組合作解答。很快，一學(xué)生上臺(tái)寫(xiě)出了如下的解答方案：

解：由x+y=1得y=1-x，則

當(dāng)cos4θ=1時(shí)，x2+y2取最小值1。

這三種方法，都是通過(guò)函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)求最值，在解題的本質(zhì)上都是一樣的，只是采用了不同的換元方式而已，但一轉(zhuǎn)換，就導(dǎo)致了化簡(jiǎn)、運(yùn)算量大小不同。這種引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去求解，對(duì)一道題目從不同角度去解答，尋求多種解法，在潛移默化中有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題思路，在無(wú)形之中發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力很有益處。此外，若是課堂上還有多余的時(shí)間，教師還可以運(yùn)用基本不等式和數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解答此題，那樣對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力更會(huì)產(chǎn)生積極的作用。

二、一題多變訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們除了可以通過(guò)一題多解的方法訓(xùn)練學(xué)生的思維外，還可以通過(guò)將一道題目加以變化的方法，通過(guò)聯(lián)想、類比、延伸，將一道題變化出許多新的題目，來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。恰好在第二堂觀摩課上，授課老師就借助第一堂中的那道例題，采用一題多變的方法來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，實(shí)錄如下：

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。

針對(duì)上述例題，這位教師沒(méi)有給學(xué)生太多的思考時(shí)間，運(yùn)用前面談到的對(duì)稱換元方法求出了最值后，PPT顯示了以下三個(gè)變式題，供學(xué)生思考、討論、解答。

1：已知x、y≥0且x+y=1，能求x8+y8的取值范圍嗎？x8+y6呢？x7+y7的范圍能求嗎？

2：已知a、b為非負(fù)數(shù)，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。

3：若x、y≥0且x+y=1，能求得≤xn+yn≤1的結(jié)論嗎？

之后，教師讓學(xué)生展開(kāi)討論，利用前面例題的特殊性，逐步將學(xué)生的思維引向一般化，從而得出了一般性的結(jié)論。這種將典型例題進(jìn)行充分挖掘，借助例題進(jìn)行變式教學(xué)的方式，既可以很好地鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，又可以有效地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，還可以使學(xué)生養(yǎng)成舉一反三、觸類旁通的習(xí)慣。對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣都是大有裨益的。

因此，在平時(shí)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們不一定非要通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)，提高學(xué)生的成績(jī)，因?yàn)閿?shù)學(xué)題是做不完的。只有采取上述的一題多解或是一題多變的方法，重在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的廣度、深度，從根本上解決問(wèn)題，才能事半功倍地提高數(shù)學(xué)課的教育教學(xué)質(zhì)量。

如在課后給學(xué)生布置作業(yè)時(shí)，我們能否不再給學(xué)生布置大量的習(xí)題，讓學(xué)生負(fù)擔(dān)很重，忙于應(yīng)付。我們教師完全可以將書(shū)上的一些習(xí)題進(jìn)行有目的的演變，逐漸加深，讓學(xué)生通過(guò)前后有聯(lián)系的題目的解題，掌握一些規(guī)律。完全可以把變式題布置給學(xué)生，讓學(xué)生運(yùn)用一題多解，一題多變的方式來(lái)掌握一些數(shù)學(xué)知識(shí)及解題規(guī)律。

例如，在學(xué)習(xí)了拋物線后，在習(xí)題中出現(xiàn)了以下一題：

過(guò)拋物線y2=2px 焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-p2。（設(shè)線段AB為過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦）

此題證明并不難，但其結(jié)論卻很有用，關(guān)鍵是運(yùn)用其結(jié)論。在布置此題給學(xué)生時(shí)我們便可以有針對(duì)性地演變。如變成：

1.證明：過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線與拋物線的準(zhǔn)線，三點(diǎn)共線。

2.證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)連結(jié)線段，等于焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的一半，并且被這條拋物線平分。

3.證明：拋物線焦點(diǎn)弦中點(diǎn)與其端點(diǎn)切線的交點(diǎn)的連線，平行于拋物線的對(duì)稱軸。

另外，我們還可以讓學(xué)生自己變式，便還可能出現(xiàn)如下變式：

1.證明：拋物線的準(zhǔn)線是其焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的軌跡。

2.證明：過(guò)拋物線焦點(diǎn)一端，作準(zhǔn)線的垂線，那么垂足、原點(diǎn)以及弦的另一端點(diǎn)，三點(diǎn)共線。

3.證明：拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線互相垂直。

我堅(jiān)信，只要我們循序漸進(jìn)，逐步訓(xùn)練，學(xué)生的思維能力就會(huì)逐步提高，解答問(wèn)題的能力自然也會(huì)得到訓(xùn)練，教學(xué)效果更會(huì)好一些。總之，只要我們?cè)谄綍r(shí)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，力求從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的角度出發(fā)，想方設(shè)法地設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，精選例題，一題多變，一題多解，相信學(xué)生的數(shù)學(xué)思維一定會(huì)得到提高的。

（責(zé)編 金 東）