基于分層總和法的地基沉降計算教學(xué)反思

沈揚　杜文漢　邱晨辰

摘要：目前，工程中計算地基沉降常使用規(guī)范推薦方法，而各類土力學(xué)教材所用的方法卻不盡相同，或者直接介紹分層規(guī)范推薦方法，或者根據(jù)分層總和法的基本原理進(jìn)行講解?？傮w而言，各類教材對此處知識點的介紹側(cè)重不同，對沉降計算整體知識框架關(guān)注不夠。通過比較規(guī)范推薦方法與土力學(xué)教材中常用的一般原理法，建立兩種方法的聯(lián)系，同時進(jìn)行教學(xué)反思，以期找到一種更好的教學(xué)方法，從原理上講解工程中所使用規(guī)范方法的具體內(nèi)涵，幫助學(xué)生理解沉降計算知識體系。

關(guān)鍵詞：分層總和法；規(guī)范；沉降計算；教學(xué)方法

中圖分類號：G642；TU470 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：10052909（2015）05007905

土力學(xué)是土木工程專業(yè)重要的基礎(chǔ)課。它既有高等數(shù)學(xué)、理論力學(xué)、材料力學(xué)等基礎(chǔ)課程的理論性，又是解決實際工程問題的基礎(chǔ)，有較強的應(yīng)用性，因此，在教學(xué)中必須將這兩者

有機(jī)結(jié)合。

以沉降計算的講解為例，教材涉及的一般理論方法和工程中的規(guī)范方法，在課堂教學(xué)和工程應(yīng)用中有著計算思想上前后承接的關(guān)系，但是在具體應(yīng)用過程中又有明顯的不同。地基沉降計算方法包括一般分層總和法（下文簡稱“一般法”），GB50007-2002《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》推薦法（下文簡稱“02規(guī)范法”）和GB50007-2011《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》推薦法（該規(guī)范于2012年正式施行，下文簡稱“12規(guī)范法”）。對于一般法和規(guī)范法而言，一般法常見于土力學(xué)教材之中，該方法將地基每一分層的土體所受應(yīng)力簡化為線性，重在講明方法的原理所在，削弱了計算結(jié)果的可靠性，在工程中不宜使用；規(guī)范法在公式推導(dǎo)過程中利用較為精確的微積分思想，并通過化簡得到了可以利用查表法計算的公式，但對于公式中符號的含義則需要更多

的解釋。在課堂上講授該知識點時，若僅僅講授原理，而不提及工程應(yīng)用的規(guī)范法，學(xué)生固然可以理解分層總和法的原理，但就實際應(yīng)用而言必然會出現(xiàn)理解上的欠缺；反之，僅講授規(guī)范法，學(xué)生雖然可以利用當(dāng)前的規(guī)范進(jìn)行地基沉降計算，

只能從公式上看出方法的不同，對規(guī)范從02版到12版改進(jìn)的原理不明白，這難免會造成機(jī)械使用，

導(dǎo)致誤解概念。在全面進(jìn)行現(xiàn)代化建設(shè)的當(dāng)今，工程建設(shè)必然需要更多杰出的工程師，而眼下在課堂上學(xué)習(xí)的學(xué)生必將成為國家的未來建設(shè)者。由此可見，在課堂講授時，統(tǒng)籌兼顧各知識點、注重知識的完整性和系統(tǒng)性非常重要。文章以沉降計算為例，兼顧考慮基本理論和規(guī)范方法，注重討論其中的邏輯承接，以期將沉降計算的整體架構(gòu)予以說明。

一、分層總和法簡介

分層總和法的概念：在地基可能產(chǎn)生壓縮的土層深度內(nèi)，按土的特性和應(yīng)力狀態(tài)的變化將地基分為一定厚度的若干層，對每一分層分別計算其壓縮量Si，最終計算各分層的壓縮量的總和，即得到地基表面的最終沉降量S[1]。

分層總和法之所以成立是建立在一系列假設(shè)之上：

假設(shè)1，地基土受荷后不能發(fā)生側(cè)向變形；

假設(shè)2，按基礎(chǔ)底面中心點下附加應(yīng)力計算土層分層的壓縮量；

假設(shè)3，基礎(chǔ)最終沉降量等于基礎(chǔ)底面下壓縮層范圍內(nèi)各土層分層壓縮量的總和。

根據(jù)以上假設(shè)，我們可以計算得到求土體壓縮量最基本的微分表達(dá)式：

ds=εzdz=σzEsidz（1）

式中，ds為土層微元壓縮量；

εz為土體的豎向應(yīng)變；

dz為土層微元厚度；

σz為土層的附加應(yīng)力；

Esi為第i分層土的壓縮模量。

在從原理上分析分層總和法時，往往把重點放在總體計算思想的把握上，采用離散的方式進(jìn)行粗略計算。根據(jù)參數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化，計算地基沉降的公式如下：

S=ni=1Si=ni=11EsiΔpihi （2）

式中，S為地基的最終沉降量；

Si為第i分層土的沉降量；

n為地基分層數(shù)；

Δpi為第i分層土的應(yīng)力變化量；

hi為第i分層土的原始厚度（hi≤0.4b，b為基礎(chǔ)寬度）。

該方法從理論框架上講清了分層總和法的原理，但在計算時其假定附加應(yīng)力在各個土層中呈線性分布，即該層的代表性附加應(yīng)力大小為土層上、下表面處附加應(yīng)力的平均值，因此在計算土體整體沉降量時，各土層的附加應(yīng)力值之間是不連續(xù)的，是離散的。由此可以看出，雖然該方法傳達(dá)了分層總和法的思想，但所涉及的計算模型對土層中的應(yīng)力分布情況作出了很大的簡化，因此其計算結(jié)果并未達(dá)到工程要求的精確程度，往往會引起較大的誤差。該種方法利于課堂教學(xué)，既可以講清分層總和法的原理，也不會因為繁瑣的計算而使初學(xué)者對分層總和法望而卻步；但是，由于該方法的計算模型粗糙，不能應(yīng)用到工程實際中去，也給學(xué)生走出課堂走向?qū)嵺`帶來了不便。當(dāng)然，有些土力學(xué)教材使用規(guī)范法對該知識點進(jìn)行了說明，但由于規(guī)范法公式復(fù)雜，涉及到的參數(shù)較多，往往使得初學(xué)者難以理解，在利用規(guī)范法計算時只能簡單復(fù)制

，停留在“知其然不知其所以然”的狀態(tài)。對此，筆者從式（1）的微元體方程入手，逐步分析教材中常使用的一般分從總和法與工程應(yīng)用的規(guī)范推薦方法的關(guān)系，以期搭建起從課堂到實踐的橋梁，找到規(guī)范推薦法的新舊變化。

二、規(guī)范法計算公式的推導(dǎo)過程

如上文所述，一般法產(chǎn)生

誤差的原因很大程度上是選取了“離散型”的附加應(yīng)力值，因此，在工程中，我們常常采用國家規(guī)范推薦的方法進(jìn)行地基沉降計算，以提高計算精度。規(guī)范法在計算地基沉降時舍棄了“線性”的近似計算手段，而是利用了較為精確的微積分思想將其代替。02規(guī)范法的具體計算公式如下式[2]（3）：

S=ψsS'=ψsni=1Si

=ψsni=1p0Esizi·αi-zi-1·αi-1（3）

式中，ψs為經(jīng)驗系數(shù)修正；

S'為理論計算沉降量；

p0為基礎(chǔ)底面附加應(yīng)力；

zi為基底至第i土層底部的距離；

αi為基礎(chǔ)底面計算點至第i層底面范圍內(nèi)平均附加應(yīng)力系數(shù)，通過查表而得。

可以看出，規(guī)范法的公式較為復(fù)雜，直接講授規(guī)范法并不利于學(xué)生理解。因此，在講授的過程中需要對計算式的推導(dǎo)加以說明，也需要指出式中相關(guān)參數(shù)的具體含義，以及規(guī)范法與一般法的不同之處。它們的區(qū)別不僅表現(xiàn)在計算公式的復(fù)雜程度上，更在于計算結(jié)果的精度不一樣。之后規(guī)范法雖有更新，但僅僅是化簡技巧上的變化，而并非計算思想上的改動。

從本質(zhì)上講，規(guī)范法也是分層總和法的一種，因此整體思路也滿足上述假設(shè)，先求單層沉降量，再求各分層沉降量之和。

根據(jù)微積分的思想，對上式（1）進(jìn)行積分運算，可以得到第i層土的完整壓縮量：

Si=∫zizi-1ds=∫zizi-1σzEsidz=1Esi∫zizi-1σzdz （4）

與前文所述一般法相比，此處利用微積分式代替了上述離散式的計算手段，更精確地表達(dá)了由于附加應(yīng)力改變引起的土體壓縮，雖然看似復(fù)雜，但計算原理一致。

從上式（4）中可知σz是求解壓縮量的關(guān)鍵。地基中的附加應(yīng)力σz常采用布辛涅斯克解[3]，其表達(dá)式如下：

σz=2π[arctannm1+m2+n2+

mn1+n2+2m2m2+n21+m21+m2+n2]p0（5）

式中，m為第i層下邊界深度z與基礎(chǔ)底面短邊b一半的比值，m=2z/b；

n為基礎(chǔ)底面長邊l與短邊b的比n=l/b。

經(jīng)過字母代換后可看出σz與m、n相關(guān)，則式（4）可簡化寫為：

Si=p0Esi∫zizi-1f2zb，lbdz（6）

由于該式中出現(xiàn)了zi、zi-1、2zi /b、2zi-1/b、l/b共5個參數(shù)，作為應(yīng)用而言，即使是復(fù)雜的計算，最終仍要回歸于比較簡潔的數(shù)據(jù)處理，查表法便是工程中常用的方法之一，而查表計算作為一種二維平面處理數(shù)據(jù)的方式，通過5個參數(shù)確定一個變量是不合實際的，因此需對其進(jìn)行必要的簡化。根據(jù)等效的數(shù)學(xué)變形，式（6）可變形為：

Si=p0Esi∫zizi-1f2zb，lbdz=

p0Esi∫zi0f2zb，lbdz-∫zi-10f2zb，lbdz （7）

該式由兩個定積分式組成，但計算形式相同，積分上限不同，因此以其中一個為例繼續(xù)計算。記：

A0i=p0∫zi0f2zb，lbdz（8）

該積分式有zi、2zi /b、l/b共3個參數(shù)，距離最終化簡到2個參數(shù)的目標(biāo)只有一步之遙。不過 “這一步”其實有著多種途徑可以選擇，02規(guī)范法是其中的一種化簡方式。在講授化簡過程中不妨引導(dǎo)學(xué)生對多種可能性進(jìn)行思考，啟發(fā)學(xué)生以工程師的角度看待問題。

02規(guī)范法選擇的化簡變形如下：

A0i=p0∫zi0f2zb，lbdz=

p0zi∫zi0b2zif2zb，lbd2zb（9）

記：

αi=∫zi0b2zi·f2zb，lbd2zb=Aoipozi（10）

式中，αi為基礎(chǔ)底面計算點至第i層底面范圍內(nèi)平均附加應(yīng)力系數(shù)，通過2zi/b、l/b查表確定得到。

再將式（9）和式（10）帶入式（7）得：

Si=p0Esizi·αi-zi-1·αi-1（11）

利用經(jīng)驗系數(shù)修正，得到如式（3）所示的02規(guī)范法推薦的最終沉降量計算公式。

與一般法相比，該方法運用微積分的思想，無疑保證了計算的精度。同時，規(guī)范法引入了查表的計算方法，從計算角度而言減少了工作量。從整體教學(xué)框架而言，首先介紹一般法，利用淺顯易懂的計算講明分層總和法的原理，使學(xué)生由淺入深，從較為簡單的沉降計算表達(dá)式入手，同時融入微積分思想于其中，通過一步步的推導(dǎo)得到最后的規(guī)范法計算公式。學(xué)生在最后利用規(guī)范法查表計算時，不僅能夠知其然，也能知其所以然。在講授的過程中注重知識點的前后銜接，說明一般法與規(guī)范法的層進(jìn)關(guān)系，從而使學(xué)生在課堂上理解規(guī)范法的原理，在規(guī)范進(jìn)步更新時不至于概念誤用。

三、規(guī)范法改進(jìn)以及由此引起的反思

隨著時代的進(jìn)步，規(guī)范也在一步步的完善。順應(yīng)時代的需要，12規(guī)范法應(yīng)運而出。具體計算公式如下式（12）所示[4]：

S=ψsS'=ψsni=1Si=

ψs·bni=1p0EsiKi-Ki-1（12）

式中，Ki為矩形面積上均布荷載作用下中心點下沉降系數(shù)，根據(jù)查表確定得到。

在新規(guī)范中，學(xué)生面對公式中出現(xiàn)的新參數(shù)，往往更關(guān)心12規(guī)范法與02規(guī)范法的差異。因此，在分析12規(guī)范法時，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考規(guī)范的改進(jìn)之處，究竟是計算原理的改進(jìn)，還是計算精度或計算便捷度的提升，從而引導(dǎo)學(xué)生以更開闊的眼界學(xué)習(xí)規(guī)范。

其實，與02規(guī)范法相比，12規(guī)范法依然利用了微積分的計算思想，計算精度也相同，但其最終表達(dá)式之所以不同，是因為對式（8）化簡的方法不同，從而提升了計算速度。12規(guī)范法選擇的化簡方式如下：

A0i=p0∫zi0f2zb，lbdz=

p0b2∫zi0f2zb，lbd2zb（13）

回顧02規(guī)范法中選擇的化簡方式，如式（9）所示，將參數(shù)b放到積分式里并通過配湊一個zi達(dá)到僅剩兩個參量的目的，但該方法卻略顯繁瑣，不如12規(guī)范法化簡直接。從表面看是數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程選擇不同，實際上是在充分理解公式含義基礎(chǔ)之上的改進(jìn)。

根據(jù)式（13），令：

Ki=12∫zi0f2zb，lbd2zb（14）

式中，矩形面積上均布荷載作用下中心點下沉降系數(shù)Ki可以根據(jù)2zi/b、l/b查表確定得到。

再將式（13）和式（14）帶入式（7）中，得到第i層土壓縮量為：

Si=bp0EsiKi-Ki-1（15）

利用經(jīng)驗系數(shù)修正，得到12規(guī)范的推薦計算公式。

比較新舊規(guī)范法的區(qū)別可以看出，新版規(guī)范的進(jìn)步之處在于使得實際計算更為便捷，而并非計算思想的不同。在講授沉降計算時，從基本原理入手，逐步深入，并對規(guī)范法中的符號加以說明。

從上述推導(dǎo)不難發(fā)現(xiàn)，一個小小的改變可以成為應(yīng)用上的進(jìn)步，但在工程應(yīng)用中很少會關(guān)心規(guī)范是如何改進(jìn)的，而在課堂上就需要教師指明這種改進(jìn)是如何而來。學(xué)生作為今天課堂上的學(xué)習(xí)者，也是明天國家的建設(shè)者，更是未來規(guī)范的制定者?，F(xiàn)在的規(guī)范不能由昨日的磚瓦搭砌，未來的工程也不能受制于傳統(tǒng)方法的約束。如果目前的教學(xué)缺少了對方法原理的解釋，或是缺失了原理外對方法的闡述，知識點體系便不能很好地搭建。筆者所想表達(dá)的教學(xué)思想也在于此，把知識點的原理加以剖析，將現(xiàn)行的規(guī)范方法加以拆解，搭建起健全的知識體系，使得學(xué)生從細(xì)節(jié)上理解方法的含義，從宏觀上把握學(xué)科進(jìn)步的方向，把如今課堂的進(jìn)步轉(zhuǎn)化為將來規(guī)范的不斷完善。

四、 結(jié)語

筆者詳述了計算沉降的分層總和法，分析了一般法、02規(guī)范法、12規(guī)范法的不同，從計算思想、計算方法等角度辨析了它們之間

的差異和聯(lián)系。在課堂教學(xué)中，教師不但要傳授教材中的方法，也要指出一種思路供學(xué)生思考；當(dāng)教材內(nèi)容與工程實際有所出入時，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注工程應(yīng)用，不但做到“魚漁兼授”，使學(xué)生在課堂中真有所得；同時也要注重培養(yǎng)學(xué)生對系列問題的反思，做到融會貫通，面對規(guī)范時能夠理解其中的原理，應(yīng)用時不至于生搬硬套。文章以地基沉降計算為例，通過推導(dǎo)地基沉降的計算公式，分析理論公式與工程應(yīng)用公式的相互關(guān)系，指出這種教學(xué)思想的關(guān)鍵，在講授其它知識點時能夠兼顧理論與實踐，注重知識體系的完整傳授。參考文獻(xiàn)：

[1]盧廷浩.土力學(xué)[M].2版.南京：河海大學(xué)出版社，2005.

[2]中國建筑科學(xué)研究院，等.GB50007-2002 建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范[S].北京：中國建筑出版社，2002.

[3]郭繼武.地基基礎(chǔ)設(shè)計禁忌與疑難問題對策[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社，2013

[4]中國建筑科學(xué)研究院，等.GB50007-2011 建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范[S].北京：中國建筑出版社，2011.