許敏芳

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》將模型思想作為十大核心概念之一，同時強調(diào)：“從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展。”[1]在小學(xué)階段滲透建模思想已顯得越來越重要。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，幫助學(xué)生有效建構(gòu)數(shù)學(xué)模型？下面結(jié)合具體的教學(xué)實例談?wù)劰P者自己的看法。

一、 在現(xiàn)實生活中尋找知識本源

數(shù)學(xué)源于生活。因此，要幫助學(xué)生有效建模，就要從學(xué)生的生活經(jīng)驗出發(fā)，聯(lián)系生活實際，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境，把生活經(jīng)驗數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題生活化，讓學(xué)生深刻地體會到生活離不開數(shù)學(xué)。

以《認(rèn)識方程》的教學(xué)為例。教材例題呈現(xiàn)了5幅天平不同的平衡情況。并且在例題1中提出了：你會用等式表示等式兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系嗎？方程首先是等式，等式是理解方程的基礎(chǔ)，是新知識的“生長點”。等式在變化的過程中始終要保持相等才能發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。而從學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗來看，他們對等式的理解并不到位，此時提出這個問題顯得有些突然。導(dǎo)致例題2中幾個式子的得出也是“依葫蘆畫瓢”。雖然接下來通過幾個式子的比較和分類，學(xué)生也能得出方程的概念，但這樣的理解是牽強的。因為方程作為刻畫現(xiàn)實世界已知數(shù)量和未知數(shù)量相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是小學(xué)生在數(shù)學(xué)知識、思想方法與思維方式上的一次飛躍。作為一個關(guān)鍵節(jié)點的知識，僅靠分類是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能構(gòu)建起方程模型的。

出示一架天平，并且在天平兩邊同時放上20克的砝碼。要求學(xué)生用自己喜歡的方式表示出天平的平衡情況。學(xué)生想到的表示方法有以下幾種：

師：這幾種方法都不錯，他們之間有沒有聯(lián)系呢？

生：其實第三種方法中的等號就和前面的橫線、箭頭一樣，都表示天平兩邊是平衡的。

師：哪種比較簡潔呢？

生：第三種。

師：（左邊放20克和30克的砝碼各一個，右邊放一個50克的砝碼）現(xiàn)在你還能表示嗎？

生：20+30=50

師：這里的“=”號讓你想到了什么？

生：我覺得它可以用箭頭表示，也可以用橫線表示?？傊欠从程炱絻蛇吰胶鉅顟B(tài)的。

師：你能根據(jù)60=20+40想象一下天平的狀態(tài)嗎？砝碼是怎么擺的？30+X=80呢？

生：我還覺得60=20+40中的60就相當(dāng)于天平左邊的質(zhì)量，20+40就相當(dāng)于天平右邊的質(zhì)量?，F(xiàn)在這架天平是平衡的，所以可以用等號連接起來。30+X=80中天平左邊有一個砝碼不知道重量，所以用X表示，但是這個天平還是平衡的。

師：像這樣能表示天平兩邊平衡的式子，我們把它叫做等式。

學(xué)生在以往的學(xué)習(xí)中，都是將等號作為一種表達運算結(jié)果的程序性符號。因此他們就很難理解20+30=50這樣的等式中，等號所表達的“平衡”的意義。對于等號意義的理解就成了學(xué)生認(rèn)知上的“拐點”。而天平作為一個知識的“原型”，能夠很好地讓學(xué)生感受到這種“平衡”的關(guān)系。相比教材上的情境圖，真正的天平觀察起來更清楚，而且極大地激發(fā)了學(xué)生的興趣。教師在這里借助直觀形象的物體，抓住知識的本源，引導(dǎo)學(xué)生在知識和原型之間切換，有效地幫助學(xué)生理解了等式的含義，為建構(gòu)方程模型奠定了基礎(chǔ)。

二、 在數(shù)形結(jié)合中厘清數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系作為數(shù)學(xué)模型的一種，在解決問題過程中有著非常重要的作用。實踐表明，只有積累必要的數(shù)量結(jié)構(gòu)，才能使學(xué)生在獲取信息后形成解題思路，學(xué)會解決問題，并把零散的知識匯編成系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)，從而順利地選擇合理的解決問題的方法，有效提高學(xué)生解決問題的能力。

以《解決百分?jǐn)?shù)實際問題》教學(xué)為例。傳統(tǒng)教學(xué)中，教師一般通過例題的簡單講解，很快總結(jié)出：“單位‘1’的量×對應(yīng)分率=對應(yīng)量”“對應(yīng)量÷對應(yīng)分率=單位‘1’的量”等數(shù)量關(guān)系。這樣就容易導(dǎo)致學(xué)生死扣解題類型而不去思考其中的數(shù)學(xué)意義，思維空間就被大大縮小了。雖然發(fā)展了學(xué)生的解題技能，但沒有發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解和思考能力。這樣的教學(xué)沒有對實際問題的數(shù)學(xué)抽象，更談不上對數(shù)學(xué)模型的意義建構(gòu)，當(dāng)然也就不可能去解釋和應(yīng)用新情境下的實際問題。

出示第一組題，要求學(xué)生根據(jù)題意畫出線段圖。

1.一種商品原價250元，現(xiàn)價是原價的80%。現(xiàn)價多少元？

2.一種商品原價250元，現(xiàn)在降價20%。現(xiàn)在比原來便宜多少元？

3.一種商品原價250元，現(xiàn)在降價20%?，F(xiàn)價多少元？

（出示學(xué)生所畫的線段圖）

師：通過這幾幅線段圖你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系呢？

生 ：原價×80%=現(xiàn)價， 原價×20%=現(xiàn)價比原價降低的部分，原價×（1-20%）=現(xiàn)價。

師：這三道題有什么聯(lián)系和區(qū)別呢？

生：這三道題的單位“1”都是一樣的。而且線段圖的畫法也一樣：都是把原價平均分成5份，現(xiàn)價相當(dāng)于這樣的4份，降價的部分相當(dāng)于這樣的1份。

出示第二組題：

1.一種商品售價200元，只相當(dāng)于原價的80%。原價多少元？

2.一種商品售價200元，比原價降低了20%。原價多少元？

3.一種商品售價200元，比原價降低了20%，降低了多少元？

（學(xué)生自主畫圖）

師：那么這組題和前面一組有什么聯(lián)系和區(qū)別呢？

生3：通過線段圖我們可以看出，這兩組題的單位“1”和數(shù)量關(guān)系是完全一樣的。不過前一組題的單位“1”是已知的，所以直接用乘法計算。后一組題單位“1”是未知的，所以要用方程。

生4：后一組題在畫線段圖時要注意條件和問題變了，還要注意題中數(shù)量和分率之間的對應(yīng)。

數(shù)與形的結(jié)合可以把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系表示出來，使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題形象化。通過兩個題組的比較，教師引導(dǎo)學(xué)生從線段圖上分析、概括數(shù)量之間的本質(zhì)關(guān)系，把原型問題抽象成純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而概括出百分?jǐn)?shù)實際問題數(shù)量關(guān)系的模型。經(jīng)過這樣的“梳理”與“整合”，學(xué)生把思考情境中的實際問題與數(shù)學(xué)意義相聯(lián)系，并經(jīng)歷一個思考與再創(chuàng)造的過程，在這一過程中獲得實質(zhì)性的模型建構(gòu)，實現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)化的遷移，同時有效提高了解決問題的能力。

三、 在多元表征中豐富概念意象

鄭毓信教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)概念和思維教學(xué)》中提出了“概念意象”的觀點，同時指出：“要幫助學(xué)生學(xué)會在概念意象的不同成分或同一概念的不同心理表征之間靈活地實現(xiàn)轉(zhuǎn)換，能對概念的嚴(yán)格定義與其原有的經(jīng)驗和知識做出必要的整合”[2]。在概念教學(xué)中，要結(jié)合生活實際，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、操作、歸納等活動，在概念的形成過程中不斷幫助學(xué)生建立豐富的概念意象，建構(gòu)概念模型。

以《認(rèn)識公頃》教學(xué)為例。跟以往學(xué)過的平方米、平方分米等小面積單位相比，學(xué)生無法在生活中直接找到公頃的概念原型。因為缺乏直觀的表象支撐，所以比較抽象。那么，如何幫助學(xué)生理解概念？

（課前教師先帶領(lǐng)學(xué)生走出教室，走上操場，開展以下活動。一是在100米的直跑道上走一走，感受一下100米有多長。二是在長100米、寬50的長方形活動場上跑一圈，感受這個活動場有多大。三是28個同學(xué)手拉手圍成一個邊長約10米的正方形，觀察這個正方形的大小。）

師：邊長是100米的正方形面積就是1公頃。你能根據(jù)課前的活動談?wù)勛约旱母惺軉幔?/p>

師：回顧一下我們學(xué)過的面積單位。

師：觀察這張圖，你有什么想說的？

生1：我發(fā)現(xiàn)，邊長擴大10倍，面積就要擴大100倍；邊長擴大100倍，面積就擴大10 000倍。

生2：我們以前學(xué)過的面積單位，相鄰兩個單位進率都是100，但平方米到公頃進率是10 000。

生3：我覺得如果在平方米和公頃之間添上一個單位，那么每相鄰兩個單位的進率就一樣了。

師：你的猜想很有道理。確實，在平方米和公頃之間還有一個面積單位。還記得我們課前28個同學(xué)手拉手圍成的正方形嗎？這個正方形的邊長大約是10米，面積是100平方米。在國際上把這樣的正方形面積叫做1公畝。雖然在我們國家這個單位不常用，但我們不妨了解一下。

教師在構(gòu)建概念模型的過程中，從數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和兒童的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，首先在課前引導(dǎo)學(xué)生參與具體的數(shù)學(xué)實踐活動，初步建立概念的直觀表象。接著對各面積單位之間的關(guān)系比較對照，使學(xué)生對概念的認(rèn)識經(jīng)歷了從生活到數(shù)學(xué)，從線到面的過程，對概念的認(rèn)識更加豐滿。同時通過對“公畝”這個“中介”的簡單介紹，把面積單位連成一個“知識串”，將新概念納入學(xué)生原有的知識體系中，實現(xiàn)了概念的“同化”。

數(shù)學(xué)建模的過程，其實質(zhì)就是數(shù)學(xué)知識“重構(gòu)”的過程，是“數(shù)學(xué)化”的過程，而不是抽象的“形而上”和空洞的“形式化”。這就需要我們追溯知識的源頭，關(guān)注數(shù)學(xué)知識本身，站在整體、系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)的高度把握和處理教材，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識的形成過程，親歷數(shù)學(xué)建模的過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的模型思想和建模能力。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3] 鄭毓信.小學(xué)數(shù)學(xué)概念與思維教學(xué)[M]. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014.

【責(zé)任編輯：陳國慶】