常安成 湖南信息學(xué)院

積分變限函數(shù)求導(dǎo)研究

常安成 湖南信息學(xué)院

本文先回顧積分上限函數(shù)的求導(dǎo)問題，然后由易至難逐步研究一些較為復(fù)雜的變限函數(shù)的求導(dǎo)問題，最后得到一個重要的定理。

變限函數(shù) 函數(shù)求導(dǎo) 分離變量函數(shù)

為了介紹牛頓——萊布尼茲公式，我們引入了積分上限公式函數(shù)。這是一個很重要的函數(shù)，有著很好的性質(zhì)，只要在上連續(xù)，就一定有可導(dǎo)，且有求導(dǎo)公式?？梢钥闯龊瘮?shù)是函數(shù)的一個原函數(shù)，這就解決了不定積分中沒能證明的結(jié)論：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。容易推出。下面我們對更一般的積分上限函數(shù)（或稱變限函數(shù)）的求導(dǎo)作進(jìn)一步的研究。

一、變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

所以由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得

二、變限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

那么它的導(dǎo)數(shù)可用乘積的求導(dǎo)法則解決：

這是一個相當(dāng)抽象的函數(shù)，我們知道對于抽象函數(shù)的求導(dǎo)一般使用定義來求函數(shù)增量：

三、研究結(jié)論

從上面的情況分析，我們可以得出本文研究所得的結(jié)論：

我們現(xiàn)在應(yīng)用這個定理來解答一道題，并也用分離變量的方法解答此題，以此來對比這兩個方法解題的效果如何。

方法一：應(yīng)用定理解答

有定理得：

方法二：應(yīng)用分離變量的方法解答

解：因為

從以上解題效果看，用定理解題要比用分離變量的方法解題簡單方便快捷。況且，定理既可以應(yīng)用于可分離變量的情況，又可應(yīng)用于不可分離變量的情況。此定理對于解決復(fù)雜的積分變上限函數(shù)的求導(dǎo)給予了一種便捷的解法，以供參考。