李志農(nóng)，王海峰，肖堯先

（南昌航空大學(xué)無損檢測技術(shù)教育部重點(diǎn)實驗室，江西南昌330063）

基于分?jǐn)?shù)階微積分的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性研究

李志農(nóng)，王海峰，肖堯先

（南昌航空大學(xué)無損檢測技術(shù)教育部重點(diǎn)實驗室，江西南昌330063）

在考慮非線性渦動的情況下，建立了分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，并用龍格-庫塔法和連分式Euler法對其進(jìn)行了數(shù)值仿真。討論了分?jǐn)?shù)階階次、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和裂紋深度對分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性的影響。研究結(jié)果表明：對于具有分?jǐn)?shù)階特性的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，采用分?jǐn)?shù)階來建立裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，能更好地揭示系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性；在相同的裂紋深度和相同的分?jǐn)?shù)階階次下，隨著轉(zhuǎn)速比的增加，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)依次經(jīng)歷混沌、倍周期和周期運(yùn)動；在相同的轉(zhuǎn)速比和相同的分?jǐn)?shù)階階次下，裂紋深度比較小時，引起的轉(zhuǎn)子剛度變化量不大，一般不會出現(xiàn)復(fù)雜的分叉與混沌現(xiàn)象；隨著裂紋深度的加深，轉(zhuǎn)子的剛度減小，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)復(fù)雜的振動特性，裂紋故障特征越來越明顯，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由單周期運(yùn)動變換到倍周期運(yùn)動，二倍頻分量占主導(dǎo)地位，同時其他倍頻分量也相繼出現(xiàn)。這些有價值的結(jié)論對轉(zhuǎn)子裂紋的故障診斷提供了參考。

機(jī)械學(xué)；分?jǐn)?shù)階微積分；裂紋轉(zhuǎn)子；非線性動力學(xué)；非線性渦動；故障診斷

0 引言

轉(zhuǎn)子是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中最重要的零件，在與轉(zhuǎn)子有關(guān)的各種故障中，裂紋故障占相當(dāng)?shù)谋壤?，轉(zhuǎn)軸出現(xiàn)裂紋的潛在危害性與一般故障的危害性相比較要嚴(yán)重得多，它是一種后果嚴(yán)重、診斷困難、又十分隱蔽的常發(fā)性故障，裂紋的存在已成為影響設(shè)備安全運(yùn)行的一大隱患。如何有效地診斷轉(zhuǎn)子裂紋的存在，尤其是早期裂紋的出現(xiàn)，一直是當(dāng)今研究的熱點(diǎn)之一。國內(nèi)外專家學(xué)者對裂紋故障的非線性特性進(jìn)行了廣泛深入的研究［1-10］。例如，文獻(xiàn)［1］研究了諧波激勵下的裂紋轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性。文獻(xiàn)［2］利用有限元分析方法分析了非對稱裂紋轉(zhuǎn)子的非線性動力學(xué)特性。文獻(xiàn)［6］研究了含橫向裂紋的Laval轉(zhuǎn)子的非線性動力學(xué)特性。文獻(xiàn)［7］采用理論方法、數(shù)字仿真和實驗方法來研究發(fā)電廠旋轉(zhuǎn)機(jī)械的裂紋監(jiān)測。文獻(xiàn)［8］利用非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)理論來對轉(zhuǎn)子裂紋故障進(jìn)行診斷。文獻(xiàn)［9］利用B樣條小波有限元對轉(zhuǎn)子裂紋進(jìn)行定量識別。文獻(xiàn)［10］研究了基于模型的轉(zhuǎn)子裂紋的辨識方法。然而，這些研究大部分都是在整數(shù)階微積分基礎(chǔ)上進(jìn)行的，很少考慮分?jǐn)?shù)階微積分的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。

由于許多物理系統(tǒng)因其特殊的材料和化學(xué)特性而展現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階動力學(xué)行為，而實際系統(tǒng)大都是分?jǐn)?shù)階的，采用分?jǐn)?shù)階描述那些本身帶有分?jǐn)?shù)階特性的對象時，能更好地揭示對象的本質(zhì)特性及其行為。分?jǐn)?shù)階微積分是將通常意義下的整數(shù)階微積分推廣到任意階，它包括了傳統(tǒng)整數(shù)階微積分運(yùn)算，但又是整數(shù)階微機(jī)分運(yùn)算的拓展，與整數(shù)階微積分相比較，具有以下優(yōu)勢:

1）分?jǐn)?shù)階微積分具有全局相關(guān)能較好地體現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)發(fā)展的歷史依賴過程；而整數(shù)階微積分具有局部性，不適合描述有歷史依賴過程。

2）分?jǐn)?shù)階微積分模型克服了經(jīng)典整數(shù)階微分模型理論與實驗結(jié)果吻合不好的嚴(yán)重缺點(diǎn)，使用較少幾個參數(shù)就可獲得很好的效果。

3）在描述復(fù)雜物理力學(xué)問題時，與非線性模型比較，分?jǐn)?shù)階模型的物理意義更清晰，表述更簡潔。

目前，分?jǐn)?shù)微積分在信號處理、圖像處理、控制理論、電氣工程和生物工程等領(lǐng)域獲得了成功應(yīng)用［11-22］。文獻(xiàn)［11］研究表明，即使系統(tǒng)的所有個體具有整數(shù)階動態(tài)特性，系統(tǒng)的整體動力學(xué)特性也可能是分?jǐn)?shù)階的。

近年來，也有一些學(xué)者把分?jǐn)?shù)微積分應(yīng)用到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)分析中，曹軍義等［17］在Duffing系統(tǒng)中研究了分?jǐn)?shù)階阻尼的階數(shù)對系統(tǒng)的動力學(xué)特性的影響。文獻(xiàn)［19-20］以Jeffcott轉(zhuǎn)子模型為基礎(chǔ)，建立了帶有分?jǐn)?shù)階阻尼和橫向呼吸裂紋故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，研究了阻尼的分?jǐn)?shù)階次，轉(zhuǎn)速對裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。

然而，在文獻(xiàn)［19-20］中，裂紋開關(guān)函數(shù)模型只適合裂紋較淺的情況，當(dāng)裂紋較深時，忽略了轉(zhuǎn)軸剛度沿著裂紋前沿方向的變化?；诖耍疚牟捎玫牧鸭y模型把開閉淺裂紋模型和開閉深裂紋模型綜合在一起，考慮了裂紋轉(zhuǎn)軸沿裂紋前沿方向的剛度變化，在非線性渦動的情況下，建立分?jǐn)?shù)階阻尼轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析了分?jǐn)?shù)階階次、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和裂紋深度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，為轉(zhuǎn)子裂紋的故障診斷提供參考。

1 非線性渦動下的分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的建立

本文研究對象如圖1所示是以兩端簡支、圓盤質(zhì)量為m、長度為L、軸半徑為R的無質(zhì)量彈性圓軸所組成的含裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，考察的裂紋深度范圍是0≤a/R≤1，其中a是裂紋深度，R是轉(zhuǎn)軸半徑。

設(shè)兩端剛性支承帶橫向開閉裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型為

式中:m為圓盤質(zhì)量；kx、ky分別為裂紋軸沿x和y方向的剛度；kxy、kyx為x和y方向的耦合剛度；c為阻尼；e為不平衡偏心距；Ω為轉(zhuǎn)速；β為不平衡量與裂紋法向的夾角。

圖1 裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子及裂紋軸橫斷面示意圖Fig.1 Rotor model and cross-section of Jeffcott cracked shaft

考慮非線性渦動的影響，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度矩陣可表示為

式中:f（Φ）是描述裂紋開閉的函數(shù)，其形式與所采用的開閉裂紋模型有關(guān)；k為無裂紋轉(zhuǎn)子剛度；Δkξ、Δkη分別為裂紋法向和切向剛度的變化量。根據(jù)Gasch［23］和Mayes等［24］的研究結(jié)果，這里淺裂紋（a/R＜0.5）時采用Gasch的鉸鏈彈簧模型，深裂紋（a/R≥0.5）時采用Mayes等提出的改進(jìn)裂紋模型。因此，裂紋開關(guān)函數(shù)f（Φ）［25］可表示為

式中:渦動角度為

由（4）式可知，Φ不僅與角速度Ω有關(guān)，而且與轉(zhuǎn)子當(dāng)前的渦動位置（x，y）有關(guān)，此裂紋開關(guān)函數(shù)模型考慮了轉(zhuǎn)軸渦動對開閉裂紋的影響。

根據(jù)Hospital法則，對于可導(dǎo)函數(shù)f（t）可導(dǎo)出它的n（n∈N）階導(dǎo)數(shù)為

引入Gamma函數(shù)，并將微分階次從整數(shù)階推廣到分?jǐn)?shù)階，假設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間［a，t］上有n+1階導(dǎo)數(shù)，對于任意的實數(shù)r，利用有限記憶功能，則定義分?jǐn)?shù)階r微分為

在（6）式中統(tǒng)一表示了分?jǐn)?shù)階微分和積分，當(dāng)r＞0時，表示分?jǐn)?shù)階微分；當(dāng)r＜0時，表示分?jǐn)?shù)階積分。

若函數(shù)f（t）及其各階導(dǎo)數(shù)的初值均為0，根據(jù)Riemann-Liouville定義，分?jǐn)?shù)階微積分表達(dá)式的Laplace變換為

采用Euler后項差分法，然后用連分式展開變換對分?jǐn)?shù)階微積分算子進(jìn)行有理化近似，得到分?jǐn)?shù)階微積分的離散化模型為

式中:CFE｛·｝為連分式展開變換；p、q為階次；Pp、Qq為p次和q次多項式。我們知道，傳統(tǒng)的整數(shù)階阻尼力是位移的1階導(dǎo)數(shù)，而分?jǐn)?shù)階阻尼力是位移的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，因而，整數(shù)階阻尼是分?jǐn)?shù)階阻尼的特例?；诖耍颜麛?shù)階阻尼力延拓到對位移的任意階導(dǎo)數(shù)，就可得到分?jǐn)?shù)階阻尼力，相應(yīng)的表達(dá)式［19］可表示為

考慮非線性渦動的情況下，分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動方程可表示為

將（2）式、（3）式和（4）式代入（11）式，并將其無量綱化，分別令

式中:ωn為無裂紋軸1階臨界轉(zhuǎn)速；C為重力下X方向的靜變形。對（11）式進(jìn)行歸一化后，得到:

2 分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)特性分析

采用4階龍格-庫塔法對方程（13）式進(jìn)行數(shù)值積分，積分步長取為2π/200.計算時取阻尼比ζ= 0.01，無量綱不平衡量ε=0.1，并取初值｛x1，x2，x3，x4｝=｛0.1，0，0.1，0｝，不平衡量與裂紋法向之間的相位角β=0°.現(xiàn)來分析在非線性渦動的情況下，分?jǐn)?shù)階次、轉(zhuǎn)速和裂紋深度對分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子非線性動力學(xué)特性的影響。

首先，分析相同的裂紋深度和轉(zhuǎn)速情況下，分?jǐn)?shù)階次對分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性的影響。這里，在分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，取裂紋深度a/R=0.7，轉(zhuǎn)速比Ω/ωn=0.66.

隨著分?jǐn)?shù)階階次的變化，得到系統(tǒng)響應(yīng)的分岔圖如圖2所示。由圖2可知，隨著分?jǐn)?shù)階階次的改變，系統(tǒng)的振動特性受到了很大的影響。當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次較小時，系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動。圖3（a）給出了r=0.11的軸心軌跡和頻譜圖。由圖3（a）可知，軸心軌跡圖比較混亂，從其頻譜圖中可以看出，1×、3/2×和2×分量是主要成分，但是在0～3×之間出現(xiàn)許多頻率成分，類似于噪聲。當(dāng)r＞0.4時，系統(tǒng)運(yùn)動進(jìn)入倍周期狀態(tài)，圖3（b）是r=0.6時系統(tǒng)的軸心軌跡圖和頻譜圖，在頻譜圖中2×占主要成分，1×、3×相對較弱；軸心軌跡圖呈雙環(huán)型。當(dāng)r=0.9時，系統(tǒng)仍為倍周期運(yùn)動，頻譜圖中倍頻成分相對于r=0.6時沒有改變，但軸心軌跡圖變?yōu)橐?guī)則的內(nèi)8字型。由于裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動模型具有分?jǐn)?shù)階動力學(xué)特性，其振動特性受轉(zhuǎn)速、裂紋深度的影響較大，在建立運(yùn)動模型時，可以確定合適的分?jǐn)?shù)階階次，來充分反映裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性，以達(dá)到診斷轉(zhuǎn)子裂紋的最佳效果。

圖2 分?jǐn)?shù)階阻尼階次的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of fractional damping

其次，分析相同的裂紋深度和分?jǐn)?shù)階次情況下，轉(zhuǎn)速對分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性的影響。這里，分?jǐn)?shù)階次為r=0.7，裂紋深度為裂紋深度比a/R=0.6.

轉(zhuǎn)速是影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性的主要因素，當(dāng)轉(zhuǎn)速在轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速和亞臨界轉(zhuǎn)速附近時，會產(chǎn)生超諧共振、亞諧共振和參數(shù)共振現(xiàn)象，轉(zhuǎn)軸的變形顯著變大，渦動行為比較復(fù)雜，裂紋轉(zhuǎn)子將呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性行為。隨著轉(zhuǎn)速的變化，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)的分叉圖如圖4所示。圖5給出了轉(zhuǎn)速比Ω/ωn分別為0.328、0.51和1時的分?jǐn)?shù)階裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡圖和頻譜圖。

由圖5可知，當(dāng)轉(zhuǎn)速比為0.328時，在分?jǐn)?shù)階裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，1×、2×和3×分量比較明顯，4×、5×分量也能顯示出來；在軌跡圖中可以看出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡呈現(xiàn)復(fù)雜8字形的運(yùn)動特性，非線性動力學(xué)特性反映明顯。當(dāng)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速比為0.51時，轉(zhuǎn)速處于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主共振轉(zhuǎn)速一半附近，軸心軌跡圖變現(xiàn)為雙環(huán)型，頻譜圖中出現(xiàn)1×、2×和3×分量，其中2×分量是主要成分。當(dāng)轉(zhuǎn)速比增大到1時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡圖近似為圓形，頻譜圖中1×占主要成分，2×分量較弱，此時系統(tǒng)為單周期運(yùn)動。

最后，分析相同的轉(zhuǎn)速和分?jǐn)?shù)階次情況下，裂紋深度對分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性的影響。這里，分?jǐn)?shù)階次為r=0.7，轉(zhuǎn)速比Ω/ωn=0.4.由于裂紋的出現(xiàn)，轉(zhuǎn)子在運(yùn)動的過程中受到重力和不平衡力的作用使裂紋作周期性的開閉運(yùn)動，影響到轉(zhuǎn)子剛度周期性變化，因此，裂紋轉(zhuǎn)子的振動呈現(xiàn)出典型的非線性特性。圖6給出了裂紋深度比為0.1、0.3和0.8時的分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡和頻譜圖。

圖3 分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子軌跡圖和頻譜圖（Ω/ωn=0.66，a/R=0.7）Fig.3 Trajectory and spectrum diagram of cracked rotor system with fractional damping（Ω/ωn=0.66，a/R=0.7）

圖4 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分叉圖（a/R=0.6，r=0.7）Fig.4 Bifurcation diagram of rotor system（a/R=0.6，r=0.7）

由圖6可知，當(dāng)裂紋較淺時，例如a/R=0.1，引起的轉(zhuǎn)子剛度變化量不大，一般不會出現(xiàn)復(fù)雜的分叉與混沌現(xiàn)象，軸心軌跡圖呈現(xiàn)橢圓型，在頻譜圖上，1×占主要成分，2×相對較弱。隨著裂紋的加深，轉(zhuǎn)子的剛度減小，裂紋故障特征越來越明顯。當(dāng)裂紋深度比為0.3時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡從橢圓型變?yōu)橥?字型，頻譜圖中，2×變大，其他高倍頻也相繼出現(xiàn)。當(dāng)裂紋深度繼續(xù)加深，裂紋轉(zhuǎn)子的振動呈現(xiàn)復(fù)雜的振動特性，當(dāng)裂紋深度比為0.8時，軸心軌跡從外8字型逐漸變?yōu)閮?nèi)8字型，頻譜圖中，1×、2×和3×是主要倍頻分量，其中2×最大。

圖5 分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子軌跡圖和頻譜圖（r=0.7，a/R=0.6）Fig.5 Trajectory and spectrum diagram of cracked rotor system with fractional damping（r=0.7，a/R=0.6）

為了驗證上述分析的正確性，在Bently轉(zhuǎn)子試驗臺上對含裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性進(jìn)行了試驗研究。為此定制了一根裂紋深度為直徑25%的裂紋軸。圖7是裂紋轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在2 050 r/min（Ω/ωn=0.5），裂紋相對深度a/R=0.5時，裂紋轉(zhuǎn)子振動信號的軸心軌跡圖和頻譜圖，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡圖為典型的內(nèi)8字型，頻譜圖中2×占主要成分，這與數(shù)值分析的結(jié)果相吻合。

3 結(jié)論

基于分?jǐn)?shù)階微積分的獨(dú)特優(yōu)勢，本文將分?jǐn)?shù)階微積分引入到轉(zhuǎn)子裂紋模型中，在非線性渦動情況下建立了分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)模型，與傳統(tǒng)的整數(shù)階轉(zhuǎn)子裂紋非線性模型相比較，建立的模型更靈活，能更好地揭示裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的本質(zhì)特性及其行為。并利用數(shù)值方法進(jìn)行了仿真。討論了分?jǐn)?shù)階階次、轉(zhuǎn)速和裂紋深度對裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動特性的影響，得到了一些有價值的結(jié)論，可以作為診斷裂紋的重要依據(jù)。

圖6 分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子軌跡圖和頻譜圖（Ω/ωn=0.4，r=0.7）Fig.6 Trajectory and spectrum diagram of cracked rotor system with fractional damping（Ω/ωn=0.4，r=0.7）

1）裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的阻尼具有分?jǐn)?shù)階特性，因此，采用分?jǐn)?shù)階動力學(xué)方程更能完全描述裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性，只要確定合適的分?jǐn)?shù)階階次，就能達(dá)到達(dá)到診斷轉(zhuǎn)子裂紋的最佳效果。如何自適應(yīng)地確定分?jǐn)?shù)階階次，這是今后需要進(jìn)一步值得研究的問題。

2）轉(zhuǎn)速對分?jǐn)?shù)階阻尼的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)特性影響很大。在相同的裂紋深度和分?jǐn)?shù)階階次下，隨著轉(zhuǎn)速變化，系統(tǒng)依次經(jīng)歷混沌運(yùn)動、倍周期運(yùn)動和單周期運(yùn)動。1×、2×和3×等成分相繼出現(xiàn)。轉(zhuǎn)軸的變形顯著變大，渦動行為比較復(fù)雜，裂紋轉(zhuǎn)子將呈現(xiàn)復(fù)雜的非線性行為。

圖7 裂紋轉(zhuǎn)子軌跡圖和頻譜圖Fig.7 Trajectory and spectrum diagram of cracked rotor system

3）對當(dāng)裂紋較淺時，引起的轉(zhuǎn)子剛度變化量不大，一般不會出現(xiàn)復(fù)雜的分叉與混沌現(xiàn)象；隨著裂紋加深，轉(zhuǎn)子剛度減小，振動呈現(xiàn)復(fù)雜的振動特性，裂紋故障特征越來越明顯，軸心軌跡由依次由橢圓型變?yōu)橥?字型，再變?yōu)閮?nèi)8字型。二倍頻分量占據(jù)了主導(dǎo)地位，其他倍頻分量也會相繼出現(xiàn)。

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Nonlinear Dynamic Characteristics of Cracked Rotor System Based on Fractional Order Calculus

LI Zhi-nong，WANG Hai-feng，XIAO Yao-xian
（Key Laboratory of Nondestructive Testing of Ministy of Education，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，Jiangxi，China）

Nonlinear dynamics model of cracked rotor system with fractional order damping under the condition of nonlinear eddy is investigated and simulated by the Runge Kutta method and continued fractional expansion Euler method.The effects of derivative order，rotating speed ratio and crack depth on the nonlinear dynamic characteristics of cracker rotor system with fractional damping are discussed.The simulation results show that the model of cracked rotor system established with fractional order can reveal the nonlinear dynamics characteristics of a rotor system with fractional characteristics.In the same crack depth and fractional order，the rotor system gets chaotic，period-doubling and periodic motions as the factional order increases.In the same rotating speed ratio and fractional order，when the crack depth is small，the rotor system doesn't appear complex bifurcation and chaos phenomena.With the increase in crack depth，the stiffness of rotor system reduces and the rotor system presents the complex vibrationcharacteristics.The crack fault feature becomes more obvious.The rotor system gets from periodic motion to period-doubling motion.The double frequency component is dominant，and simultaneously other frequency multiplication component also appears.These valuable conclusions provide the important reference for the fault diagnosis of cracked rotor.

mechanics；fractional calculus；cracked rotor system；nonlinear dynamics；nonlinear eddy；fault diagnosis

TH113；O322

A

1000-1093（2015）09-1790-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.09.026

2015-01-28

國家自然科學(xué)基金項目（51265039、51075372、50775208）

李志農(nóng)（1966—），男，教授，博士。E-mail:lizhinong@tsinghua.org.cn