左 平，魏大盛，王延榮

（1北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京100191；2先進(jìn)航空發(fā)動機(jī)協(xié)同創(chuàng)新中心，北京100191）

粉末高溫合金是現(xiàn)代航空發(fā)動機(jī)渦輪盤的主要材料之一，具有拉伸強(qiáng)度高、抗疲勞性能好、可塑性高等優(yōu)點(diǎn)。但同時(shí)也存在韌性低、對缺陷敏感、蠕變性能差等缺點(diǎn)。即使很小的缺陷都可能成為粉末合金結(jié)構(gòu)件上裂紋的萌生點(diǎn)。研究粉末高溫合金裂紋擴(kuò)展規(guī)律，對于延長結(jié)構(gòu)件的使用壽命、提高結(jié)構(gòu)的安全性具有指導(dǎo)意義。裂紋閉合效應(yīng)是影響粉末高溫合金裂紋擴(kuò)展規(guī)律的重要因素之一，以往針對粉末高溫合金裂紋擴(kuò)展規(guī)律的研究對其考慮較少，而引入裂紋閉合效應(yīng)來解釋粉末高溫合金的裂紋擴(kuò)展規(guī)律和提高裂紋擴(kuò)展壽命的預(yù)測精度是很有必要的。

Elber［1］發(fā)現(xiàn)了裂紋閉合效應(yīng)，認(rèn)為裂紋閉合后裂紋表面?zhèn)鬟f的壓應(yīng)力對于裂紋的擴(kuò)展沒有貢獻(xiàn)，即裂紋閉合后外載荷對于裂紋體將不會造成損傷。之后許多研究者對二維裂紋閉合［2－5］效應(yīng)進(jìn)行了研究，提出了影響裂紋閉合效應(yīng)的主要參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上對三維裂紋閉合效應(yīng)［6］進(jìn)行了研究。Newman等［7，8］將裂紋閉合效應(yīng)引入小裂紋計(jì)算模型中，解釋了小裂紋擴(kuò)展規(guī)律，并建立了小裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測模型。過去幾十年，裂紋閉合效應(yīng)對裂紋擴(kuò)展的影響，尤其是對小裂紋擴(kuò)展的影響一直是疲勞斷裂領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。限于實(shí)驗(yàn)技術(shù)的局限性，目前國內(nèi)對于裂紋閉合效應(yīng)的研究大多基于數(shù)值模擬計(jì)算，缺乏實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)支持。鑒于此，本工作基于FGH95高溫合金的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析了其CT試樣裂紋面上的應(yīng)力變化，探討了影響裂紋閉合效應(yīng)的主要因素，其中包括材料的本構(gòu)模型，網(wǎng)格密度以及應(yīng)力比。在此基礎(chǔ)建立考慮閉合效應(yīng)的裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測模型，提高了裂紋擴(kuò)展壽命的預(yù)測精度。

1 裂紋閉合效應(yīng)的數(shù)值模擬模型

1.1 數(shù)值方法

根據(jù)裂紋閉合效應(yīng)的誘因，將裂紋閉合現(xiàn)象分為五類：塑性誘發(fā)閉合，粗糙度誘發(fā)閉合，氧化誘發(fā)閉合，相變誘發(fā)閉合和黏性流體誘發(fā)閉合。本工作主要研究塑性誘發(fā)閉合。圖1為裂紋尖端塑性區(qū)的示意圖。a為實(shí)際裂紋長度。前塑性區(qū)是在載荷最大時(shí)裂紋尖端附近材料屈服形成的，其半徑rp可以通過式（1）進(jìn)行估算。

圖1 裂紋尖端塑性區(qū)Fig.1 Plastic zone around the crack tip

式中：σs為材料的屈服應(yīng)力；Kmax為最大應(yīng)力強(qiáng)度因子；α為修正系數(shù)，對于平面應(yīng)力狀態(tài)和平面應(yīng)變狀態(tài)，α分別為1和3。

反向塑性區(qū)是裂紋尖端附近的材料在最小載荷時(shí)屈服而形成的，而塑性尾跡是裂紋擴(kuò)展后殘留在裂紋面上的塑性區(qū)，一般認(rèn)為反向塑性區(qū)和塑性尾跡中的殘余壓應(yīng)力是誘發(fā)裂紋閉合的根本原因，因此，模擬反向塑性區(qū)以及塑性尾跡的準(zhǔn)確性及精度對于裂紋閉合效應(yīng)至關(guān)重要。

1.1.1 裂紋擴(kuò)展的數(shù)值方案

裂紋擴(kuò)展方式采用節(jié)點(diǎn)釋放法，初始狀態(tài)下，裂紋面上相對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)是粘連在一起的，在一個(gè)循環(huán)載荷周期的最小載荷處釋放節(jié)點(diǎn)，裂紋便向前擴(kuò)展一個(gè)網(wǎng)格單元長度，在最小載荷處釋放節(jié)點(diǎn)有利于計(jì)算的收斂。釋放節(jié)點(diǎn)后需經(jīng)歷一個(gè)完整的循環(huán)后再釋放下一個(gè)節(jié)點(diǎn)，圖2給出了節(jié)點(diǎn)釋放的示意圖。

圖2 載荷歷程與節(jié)點(diǎn)釋放示意圖Fig.2 Load history and node release scheme

1.1.2 裂紋面的接觸方式

為了避免裂紋面上的節(jié)點(diǎn)在裂紋閉合時(shí)發(fā)生相互滲透，需要采取一些措施來避免這種現(xiàn)象的發(fā)生。一般是在裂紋面相對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)間添加彈簧單元，彈簧單元是一個(gè)可變剛度的單元。在裂紋閉合時(shí)，彈簧單元的剛度為一個(gè)很大的值，阻止了裂紋面上節(jié)點(diǎn)滲透；當(dāng)裂紋張開時(shí)，彈簧單元的剛度又變?yōu)榱?，這樣就不會影響裂紋面的性質(zhì)。這種方法缺點(diǎn)在于操作比較復(fù)雜，且計(jì)算時(shí)由于節(jié)點(diǎn)間彈簧單元?jiǎng)偠鹊耐蛔?，容易造成?jì)算結(jié)果的發(fā)散。后來又發(fā)展了許多裂紋面的接觸方法，如節(jié)點(diǎn)位移限制法［9］，剛性面法［10］等，本工作采用剛性面法。

1.1.3 裂紋張開－閉合的判據(jù)

合理選擇裂紋張開或閉合的判據(jù)是研究裂紋閉合效應(yīng)的重點(diǎn)之一，數(shù)值上的判據(jù)主要有節(jié)點(diǎn)位移法［11］，節(jié)點(diǎn)應(yīng)力法［12］等。節(jié)點(diǎn)位移法是通過監(jiān)測裂紋尖端后節(jié)點(diǎn)的位移值來判斷裂紋閉合與否，當(dāng)裂紋面上相對應(yīng)節(jié)點(diǎn)之間的距離小于某個(gè)值（工程上定義一個(gè)小量）時(shí)，認(rèn)為裂紋閉合。這種方法的缺點(diǎn)是計(jì)算結(jié)果不穩(wěn)定，容易出現(xiàn)波動。節(jié)點(diǎn)應(yīng)力法則是通過監(jiān)測裂紋尖端后的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力變化來判斷裂紋閉合與否，當(dāng)裂紋尖端后節(jié)點(diǎn)應(yīng)力由壓縮應(yīng)力變?yōu)槔鞈?yīng)力時(shí)認(rèn)為裂紋張開，反之，則閉合，這種方法應(yīng)用最為廣泛，且計(jì)算結(jié)果更容易收斂。

1.2 計(jì)算模型

選取FGH95粉末高溫合金的CT試樣作為計(jì)算模型，如圖3所示，試樣的厚度為10mm。

圖3 CT試樣模型Fig.3 CT specimen model

考慮結(jié)構(gòu)的對稱性，取一半進(jìn)行建模分析，有限元模型如圖4（a）所示，單元為四邊形平面應(yīng)力單元，并對裂紋尖端進(jìn)行網(wǎng)格局部細(xì)化，如圖4（b）所示。

圖4 CT試樣的有限元模型（a）整體網(wǎng)格模型；（b）裂紋尖端網(wǎng)格模型Fig.4 Mesh model for CT specimens（a）overall model；（b）crack tip mesh model

FGH95粉末高溫合金在430，600℃的材料屬性如表1所示。選取430℃下的材料參數(shù)，載荷為三角波循環(huán)載荷，幅值為2.5kN，頻率為1Hz，應(yīng)力比R＝0，施加在圖4（a）中的參考點(diǎn)上（RP），邊界條件施加在剛性面參考點(diǎn)上（RP1）。

表1 FGH95粉末高溫合金材料屬性Table1 Material property of FGH95powder metallurgy superalloy

2 計(jì)算結(jié)果與討論

2.1 裂紋尖端應(yīng)力變化

在循環(huán)載荷作用下，由于應(yīng)力集中裂紋尖端會出現(xiàn)局部塑性變形，卸載后仍會有殘余應(yīng)力。裂紋長度（靜止裂紋）a為14.42mm，裂紋尖端單元尺寸為7.776μm，在最小載荷和最大載荷狀態(tài)下，垂直于裂紋方向（X方向）的應(yīng)力在裂紋面的變化如圖5所示。

從圖5（a）可以看到，在裂紋尖端附近出現(xiàn)了一個(gè)壓應(yīng)力區(qū)，即反向塑性區(qū)，越靠近裂紋尖端位置壓應(yīng)力越大，并在裂紋尖端處達(dá)到最大值。圖5（b）中，裂紋尖端后部處于自由狀態(tài)，不受約束，裂紋尖端及附近部分區(qū)域仍存在殘余壓縮應(yīng)力，隨著裂紋的擴(kuò)展這一區(qū)域便會在裂紋面上形成塑性尾跡，正是由于反向塑形區(qū)以及塑形尾跡的存在，才導(dǎo)致了裂紋閉合效應(yīng)的發(fā)生。在裂紋面上，隨著離裂紋尖端距離的增加，應(yīng)力逐漸降低，最后趨于穩(wěn)定。

圖5 裂紋面上沿X方向的應(yīng)力分布（a）最小載荷；（b）最大載荷Fig.5 The stress distribution of X－direction in crack surface（a）minimum load；（b）maximum load

2.2 本構(gòu)模型的影響

選取理想彈塑性模型和多線性隨動強(qiáng)化模型進(jìn)行對比計(jì)算研究，F(xiàn)GH95高溫合金的兩種本構(gòu)模型的應(yīng)力－應(yīng)變曲線如圖6所示。

圖6 FGH95高溫合金的應(yīng)力－應(yīng)變曲線Fig.6 Stress－strain curves for FGH95superalloy

兩種本構(gòu)模型下，裂紋尖端在不同單元尺寸下的裂紋閉合效應(yīng)隨裂紋長度的變化關(guān)系如圖7所示。橫坐標(biāo)表示用裂紋尖端塑性區(qū)尺寸（rp）對裂紋擴(kuò)展長度（a）進(jìn)行無量綱化，縱坐標(biāo)表示用最大應(yīng)力強(qiáng)度因子（Kmax）對裂紋張開應(yīng)力強(qiáng)度因子（Kop）無量綱化。從圖7可知，隨裂紋擴(kuò)展裂紋閉合效應(yīng)趨于穩(wěn)定。理想彈塑性模型下，網(wǎng)格尺寸對裂紋閉合效應(yīng)的影響比較明顯，計(jì)算結(jié)果之間比較分散。隨著裂紋尖端單元尺寸減小，裂紋閉合效應(yīng)逐漸降低，原因在于裂紋尖端網(wǎng)格單元越小，用于判斷裂紋閉合的節(jié)點(diǎn)離裂紋尖端就越近，其相應(yīng)的力學(xué)狀態(tài)與裂紋尖端的差別就越小，越能反映裂紋尖端實(shí)際的力學(xué)狀態(tài)。多線性隨動強(qiáng)化模型中，網(wǎng)格尺寸對裂紋閉合效應(yīng)的影響相對較小，計(jì)算結(jié)果比較集中，原因在于多線性強(qiáng)化模型更能反映FGH95材料本身的特性，所以計(jì)算結(jié)果會更精確。

圖7 不同本構(gòu)模型下Kop／Kmax隨a／rp的變化關(guān)系（a）理想彈塑性模型；（b）多線性隨動強(qiáng)化模型Fig.7 Kop／Kmaxversus a／rpwith different constitutive models（a）elastic－perfectly plastic model；（b）multi－linear kinematic hardening model

研究發(fā)現(xiàn)，Kop／Kmax與a／rp之間可以用函數(shù)關(guān)系式描述：

通過計(jì)算得到常數(shù)c1，c2后，便可進(jìn)一步得到式（2）的漸近線為c1π／2，并用此作為裂紋閉合效應(yīng)的穩(wěn)定值。

使用函數(shù)關(guān)系式的意義在于：通過這種方法得到的閉合效應(yīng)值比任意給定一個(gè)裂紋長度得到的裂紋閉合效應(yīng)更為合理。另外，當(dāng)裂紋尖端單元較小時(shí)，為了得到穩(wěn)定的裂紋閉合效應(yīng)值，需要經(jīng)過很多次循環(huán)來實(shí)現(xiàn)裂紋的擴(kuò)展，這需要消耗大量的計(jì)算時(shí)間，利用這個(gè)關(guān)系式可以提高計(jì)算效率。

2.3 網(wǎng)格密度的影響

運(yùn)用2.2中提出的漸近線方法研究網(wǎng)格密度對裂紋閉合效應(yīng)的影響。引進(jìn)無量綱量

式中η為裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)沿裂紋面上的網(wǎng)格數(shù)。圖8為Kop／Kmax隨η變化的關(guān)系圖。

圖8 Kop／Kmax隨η變化圖Fig.8 Kop／Kmaxversusη

從圖8可知，隨裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)的網(wǎng)格數(shù)增加，裂紋閉合效應(yīng)逐漸減小，當(dāng)裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)網(wǎng)格數(shù)達(dá)到20時(shí)，裂紋閉合效應(yīng)趨于穩(wěn)定。值得注意的是：裂紋尖端的網(wǎng)格密度不是越高越好，一方面，裂紋尖端網(wǎng)格密度越高，單元的應(yīng)變畸變就越大，計(jì)算就越不容易收斂，且需要耗費(fèi)很大的計(jì)算成本。另一方面，當(dāng)網(wǎng)格尺寸小于或與晶粒尺寸相當(dāng)時(shí)，有限元得到的應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果可能就不能真實(shí)地反映裂紋尖端實(shí)際的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，誤差反而會越來越大。

2.4 應(yīng)力比的影響

在CT試樣中載荷的應(yīng)力比與裂紋尖端的應(yīng)力比是不相同的，由于獲取裂紋尖端應(yīng)力比較困難，選取載荷應(yīng)力比（下稱應(yīng)力比）作為研究對象。在裂紋閉合效應(yīng)的研究中，應(yīng)力比一般較小或?yàn)樨?fù)值，原因在于應(yīng)力比的增大會對裂紋張開／閉合的判斷帶來困難。圖9給出了不同應(yīng)力比R下Kop／Kmax隨η的變化關(guān)系圖。

圖9 不同應(yīng)力比R下Kop／Kmax隨η變化圖Fig.9 Kop／Kmaxversusηwith different stress ratio R

從圖9可知，隨應(yīng)力比的增大，無量綱量Kop／Kmax逐漸減小，這說明應(yīng)力比增加裂紋閉合效應(yīng)逐漸減小。當(dāng)R＝0.5時(shí)，Kop／Kmax＝0。研究表明，在最大應(yīng)力不變的情況下，隨著應(yīng)力比的增大，σmin也不斷增加，增加的σmin會抵消掉裂紋面上的部分殘余壓應(yīng)力，使得促使裂紋閉合的殘余壓應(yīng)力減小，即裂紋張開／閉合應(yīng)力減小。當(dāng)載荷譜中的最小載荷與裂紋面上的殘余應(yīng)力剛好抵消，即σop＝σmin時(shí)，裂紋處于完全張開狀態(tài)，此時(shí)就不存在裂紋閉合效應(yīng)。應(yīng)力比是決定裂紋閉合效應(yīng)存在的關(guān)鍵因素之一，通過圖9便可以大致估算出FGH95材料CT試樣裂紋閉合效應(yīng)存在的應(yīng)力比范圍。

但值得注意的是，上述的數(shù)值分析方法中仍存在一些不足之處，例如采用節(jié)點(diǎn)釋放的方式雖然能夠模擬裂紋擴(kuò)展，但該方法沒有明確的物理意義，在理論上缺乏依據(jù)；運(yùn)用的本構(gòu)模型不能考慮裂紋尖端的棘輪效應(yīng)和應(yīng)力松弛現(xiàn)象，完善這些不足之處將是今后工作的方向之一。

3 裂紋擴(kuò)展壽命分析

考慮裂紋閉合效應(yīng)后，Paris公式［13］變?yōu)椋?/p>

式中：Keff為有效應(yīng)力強(qiáng)度因子；C，m為材料常數(shù)；N為循環(huán)數(shù)；U為閉合比。

將式（5）帶入式（4），得到：

積分后得到：

式中：a0，ac分別代表起始裂紋和終止裂紋。

圖10給出了600℃、6.5kN載荷下FGH95合金CT試樣Kmax與裂紋長度a的變化關(guān)系圖。

圖10 Kmax隨裂紋長度a的變化關(guān)系圖Fig.10 Kmaxversus crack length a

對Kmax與a的關(guān)系進(jìn)行三次多項(xiàng)式擬合可得：

根據(jù)文獻(xiàn)［14］中材料常數(shù)C，m分別為8.0544×10－13，2.848，選取初始裂紋長度a0為14.68mm，計(jì)算從初始裂紋度擴(kuò)展到不同終止裂紋時(shí)的循環(huán)壽命（循環(huán)數(shù)）。

圖11 不同壽命預(yù)測模型下的N隨a的變化圖Fig.11 N versus a with different life predict models

圖11給出了裂紋擴(kuò)展長度a與循環(huán)數(shù)N 的關(guān)系。不考慮裂紋閉合效應(yīng)壽命預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果偏于保守，隨著裂紋長度的增加，預(yù)測壽命的誤差不斷增加，最大誤差達(dá)到35.81%。考慮閉合效應(yīng)模型得到的曲線與實(shí)驗(yàn)曲線更接近，預(yù)測壽命值與實(shí)驗(yàn)值相比略微偏大，最大誤差為7.43%。計(jì)算表明，考慮裂紋閉合效應(yīng)之后，預(yù)測壽命的精度提高，并可在一定條件下適當(dāng)延長工程結(jié)構(gòu)的使用期限，提高經(jīng)濟(jì)性。

4 結(jié)論

（1）理想彈塑性模型下的裂紋閉合效應(yīng)對網(wǎng)格單元的敏感性比多線性隨動強(qiáng)化模型高，裂紋閉合效應(yīng)隨裂紋的擴(kuò)展逐漸趨于穩(wěn)定。

（2）隨裂紋尖端網(wǎng)格密度的增加，裂紋閉合效應(yīng)逐漸減小，當(dāng)裂紋尖端塑性區(qū)內(nèi)網(wǎng)格數(shù)達(dá)到20時(shí)，裂紋閉合效應(yīng)趨于穩(wěn)定。

（3）隨著應(yīng)力比R的增加裂紋閉合效應(yīng)減小，研究表明，當(dāng)R＝0.5時(shí)，F(xiàn)GH95材料CT試樣已經(jīng)不存在裂紋閉合效應(yīng)。

（4）傳統(tǒng)的壽命預(yù)測模型偏于保守，考慮裂紋閉合效應(yīng)后的壽命預(yù)測模型計(jì)算精度提高。雖然只是在FGH95材料CT試樣上驗(yàn)證了準(zhǔn)確性，但是這種分析過程可運(yùn)用于復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)。

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