已知線性方程組的解，構(gòu)造線性方程組

陳軍，韓靜媛

（河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，河北承德067000）

已知線性方程組的解，構(gòu)造線性方程組

陳軍，韓靜媛

（河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系，河北承德067000）

已知齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系反求齊次線性方程組；已知非齊次線性方程組的解，構(gòu)造線性方程組。

向量；基礎(chǔ)解系；線性方程組；矩陣

1　已知齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系反求齊次線性方程組

設(shè)n維列向量α1，α2，…,αn-r線性無關(guān)，求以α1，α2，…,αn-r為基礎(chǔ)解系的齊次線性方組AX＝O①解此問題就是求系數(shù)矩陣A，下面給出兩種方法。

1.設(shè)A為m×n矩陣，且rankA=r，因?yàn)棣?，α2，…,αn-r是AX=O的解向量，所以A(α1，α2，…,αn-r)=0②

②式兩邊取轉(zhuǎn)置，得

所以，β1,β2,…,βm是③的解向量，就是AT的列向量，也就是A的行向量，于是得到矩陣A的求法：

（1）以所給的基礎(chǔ)解系為行向量作矩陣B；

（2）解齊次線性方程組BX=O，求出其基礎(chǔ)解系；

（3）以（2）中所得的基礎(chǔ)解系為行向量作矩陣，即為所求的一個矩陣A。

由上面的推導(dǎo)還可以得到：由α1，α2，…,αn-r生成的Fn的子空間，是①的解空間，即Fn的任意子空間都是某齊次線性方程組的解空間。

例1求一個齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系由下列向量組成

解解線性方程組

所以，所求的一個齊次線性方程組為

2.引理如果從n維向量α1，α2，…,αm(n≥m)的每個向量截取后m個分量構(gòu)成的m維向量線性無關(guān)，那么可以找到與α1，α2，…,αm等價(jià)的向量組β1,β2,…,βm，并且

證明令A(yù)=(α1，α2，…,αn-r)，B=(β1,β2,…,βm).因?yàn)榫€性無關(guān)，所以，rankA=m，對矩陣A作列初等變換可化為下面形式的矩陣

即存在m階可逆矩陣P使得AP=B，所以β1,β2,…, βm可由α1，α2，…,αm線性表示，同時(shí)BP-1=A，知α1， α2，…,αm可由β1,β2,…,βm線性表示。于是向量組α1，α2，…,αm與β1,β2,…,βm等價(jià)。

定理1如果

是齊次線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系，那么滿足此方程組的一個系數(shù)矩陣A是

證明rankA=r，所以齊次線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系含有n-r個向量，而n-r個向量α1，α2，…, αn-r顯然線性無關(guān)，并且A(αi)=0(i=1,2,…n-r)，即α1，α2，…,αn-r是AX=O的n-r個線性無關(guān)的解向量，即是齊次線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系。得證.

推論設(shè)B為r階非奇異矩陣，對于定理1中的條件和結(jié)論，BA也是滿足此方程組的系數(shù)矩陣；對于矩陣A增加若干全為0的行再實(shí)施行初等變換，得到的矩陣C也是滿足此方程組的系數(shù)矩陣。

事實(shí)上，齊次線性方程組BAX=O與AX=O同解，所以BA也是滿足此方程組的系數(shù)矩陣；由齊次線性方程組解的過程知，CX=O與AX=O也同解，所以C也是滿足此方程組的系數(shù)矩陣。

于是得到矩陣A的另一種求法：

（1）將給定的基礎(chǔ)解系為列向量作矩陣B；

（3）(Er-Cr，n-r)即為所求的一個矩陣A，對于矩陣A增加若干全為0的行，再實(shí)施行初等變換得到的矩陣也可。

例2求一個齊次線性方程組使其基礎(chǔ)解系是

解令B=(α1，α2,α3)

滿足條件的一個齊次線性方程組就是AX=O.

2　已知非齊次線性方程組的所有解，即一個特解與導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系反求線性方程組

設(shè)非齊次線性方程組的一個特解η0及導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系α1，α2，…,αn-r求以ξ=η0+k1α1+k2α2+…+ kn-rαn-r為解的非齊次線性方程組AX=B.

先求以α1，α2，…,αn-r為基礎(chǔ)解系的齊次線性方程組AX=O，再把特解代入做矩陣乘法Aη0=B即得向量B.

所以，所求的滿足條件的一個線性方程組是

[1]毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納（第二版）[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2000.

[2]張禾瑞，郝炳新.高等代數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999（2002重印）.

[3]胡金德，王飛燕.線性代數(shù)輔導(dǎo)（第二版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，1995.

On Constructing Linear Equations with Given Solutions

CHEN Jun HAN Jing-yuan
(Hebei Normal University for Nationalities,Chengde,Hebei 067000,China)

This paper illustrates mathematical issues involving constructing homogeneous system of linear equations when the fundamental system of solutions is given and creating linear equations when the solutions of non-homogeneous system of linear equations are given.

vector;fundamental system of solutions;system of linear equations;matrix;

O13

A

2095-3763（2015）02-0078-03

2014-11-16

陳軍（1963-），男，寧夏石嘴山人，河北民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系副教授。