基于譜元法的加筋雙層板聲透射分析

李蘭清，鄭 輝,2

（1.上海交通大學(xué) 上海市復(fù)雜薄板結(jié)構(gòu)數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.上海交通大學(xué) 振動(dòng)、沖擊、噪聲研究所，上海 200240）

基于譜元法的加筋雙層板聲透射分析

李蘭清1，鄭 輝1,2

（1.上海交通大學(xué) 上海市復(fù)雜薄板結(jié)構(gòu)數(shù)字化制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.上海交通大學(xué) 振動(dòng)、沖擊、噪聲研究所，上海 200240）

首先應(yīng)用譜元法(SEM)建立簡(jiǎn)支加筋雙層板結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧平面聲波激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)分析模型，將所得結(jié)果與有限元法(FEM)計(jì)算結(jié)果對(duì)比，表明譜元法(SEM)在求解該類(lèi)問(wèn)題時(shí)具有精度高和求解速度快的優(yōu)點(diǎn)。然后應(yīng)用Rayleigh積分求解加筋雙層板結(jié)構(gòu)路徑傳聲的透射聲功率。在筋板截面面積不變的約束條件下，研究筋板傾角與面板間距在聲波正入射情況下對(duì)透射側(cè)面板輻射聲功率的影響。結(jié)果表明：筋板傾角越大，加筋雙層板的透射聲功率越?。辉趦A角小于22o的情況下，隔聲性能隨著面板間距的減小而提高。分析結(jié)果對(duì)加筋雙層板的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與隔聲優(yōu)化具有一定的指導(dǎo)意義。

聲學(xué)；加筋雙層板；聲透射；譜元法；振動(dòng)—聲學(xué)響應(yīng)；輻射聲功率

加筋雙層板具有質(zhì)量輕、剛度大、良好的抗沖擊性能等優(yōu)點(diǎn)，在諸如汽車(chē)、航天、航空和航海等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。同時(shí)，由于結(jié)構(gòu)的特殊性，在聲學(xué)領(lǐng)域，也常被用作隔聲材料，尤其對(duì)載運(yùn)工具高速行駛時(shí)的空氣動(dòng)力噪聲起到隔聲作用。

聲透射損失作為加筋雙層板的振動(dòng)-聲學(xué)性能指標(biāo)之一，和諸如比強(qiáng)度和比剛度等力學(xué)性能指標(biāo)一樣吸引了許多學(xué)者開(kāi)展大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究。辛鋒先等人對(duì)這一領(lǐng)域已開(kāi)展的研究工作進(jìn)行了較為全面的綜述[1]。在理論研究方面，大多數(shù)解析模型對(duì)筋板進(jìn)行了簡(jiǎn)化，如簡(jiǎn)化成剛性體或平移/轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧等[2]。近期分析夾層板聲輻射問(wèn)題相對(duì)完備的理論模型是Xin和Lu[3]的模型。他們的理論模型不僅考慮了筋板質(zhì)量的慣性影響，并在振動(dòng)控制方程中增加了筋板扭轉(zhuǎn)力矩引起的慣性項(xiàng)。在實(shí)驗(yàn)研究方面，王巧燕和葛劍敏[4]用混響室—混響室法針對(duì)高速機(jī)車(chē)車(chē)體用波紋夾層板的隔聲性能進(jìn)行系統(tǒng)測(cè)量，分析了雙層鋁合金加筋板的面板厚度、面板間距等各項(xiàng)參數(shù)對(duì)其隔聲性能的影響。除了理論與試驗(yàn)研究，數(shù)值仿真方法由于不受幾何復(fù)雜性的限制也被用于求解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)。如有限元法(FEM)和邊界元法(BEM)或者它們的組合被廣泛應(yīng)用于求解夾層板結(jié)構(gòu)的振聲學(xué)響應(yīng)。王義柏等人就曾用FEM研究單向加筋雙層板的隔聲性能[5]。但用FEM計(jì)算結(jié)構(gòu)的振聲學(xué)響應(yīng)時(shí)，隨著頻率的增大，要不斷細(xì)化網(wǎng)格尺寸，以保證求解精度。Alford等人曾提出網(wǎng)格尺寸最好小于1/10～1/20的最高頻率所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)[6]。根據(jù)Alford等人提出的網(wǎng)格劃分準(zhǔn)則，有限元法在求解高頻問(wèn)題時(shí)存在網(wǎng)格數(shù)量多、內(nèi)存需求大、耗時(shí)長(zhǎng)等缺點(diǎn)，尤其在求解二維、三維問(wèn)題時(shí)更為突出。

相較于有限元法的剛度矩陣與頻率無(wú)關(guān)，譜元法(SEM)采用基于波動(dòng)解推導(dǎo)的插值函數(shù)，該插值函數(shù)與頻率相關(guān)且波動(dòng)解在頻域內(nèi)精確滿足運(yùn)動(dòng)方程，因此SEM可以提供更加精確的頻域解[7]。譜單元法理論是上世紀(jì)80年代由Patera提出，早期主要用于計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)[8]。后來(lái)Seriani等人[9,10]將譜元法用于聲學(xué)問(wèn)題和彈性波傳播問(wèn)題。他們提出的一維和二維矩形單元用于均勻介質(zhì)中的聲波和彈性波傳播分析，顯示了該方法的優(yōu)點(diǎn)：即使在中頻域也能得到滿意的聲波傳播計(jì)算結(jié)果。Birgersson等人[11]基于SEM針對(duì)單層板結(jié)構(gòu)建立了高頻分布隨機(jī)載荷激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)模型。Ei-Raheb[12]用譜元法(SEM)研究了夾層梁的聲透射問(wèn)題。

本文首先應(yīng)用SEM推導(dǎo)桿的縱向振動(dòng)與歐拉-伯努利梁橫向振動(dòng)的譜元公式[13]。然后在不考慮加筋雙層板與聲腔介質(zhì)耦合的前提下，基于譜元法(SEM)建立了加筋雙層板結(jié)構(gòu)傳遞路徑(Structure borne transmission path)的振動(dòng)響應(yīng)模型。利用桿—梁譜單元的組合來(lái)求解加筋雙層板結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧平面波激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，所得結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果比較，驗(yàn)證譜元法的可靠性與優(yōu)越性。隨后應(yīng)用Rayleigh積分計(jì)算透射側(cè)在激勵(lì)頻帶內(nèi)的平均聲功率，在筋板截面面積不變的約束條件下，研究筋板傾角與面板間距等元素在聲波正入射條件下對(duì)加筋雙層板聲透射的影響。

1 桿與梁的譜元公式

1.1 縱向振動(dòng)桿的譜元公式

縱向振動(dòng)的均質(zhì)桿控制方程為

式中E、A、ρ、u(x、t)分別表示桿的彈性模量、橫截面積、密度和縱向位移。軸向內(nèi)力為

對(duì)位移u(x,t)進(jìn)行Fourier分解，可得

其中Un(x,ωn)是位移u(x,t)的譜分量，將式(3)代入式(1)并忽略下標(biāo)n，可得到式(1)的通解

設(shè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的軸向振動(dòng)桿的結(jié)點(diǎn)位移向量為

結(jié)點(diǎn)的軸向力為f=[N1N2]T，根據(jù)式(2)、式(5)與式(6)可以得到結(jié)點(diǎn)的位移—力的關(guān)系，其中S(ω)為與頻率相關(guān)的剛度矩陣。

1.2 Euler-Bernoulli梁的譜元公式

Euler-Bernoulli梁橫向振動(dòng)的控制方程為

剪切內(nèi)力Q(x,t)、彎矩M(x,t)與橫向位移w(x,t)的關(guān)系如下

與桿的譜元公式類(lèi)似，將梁的橫向位移w(x,t)寫(xiě)成如下形式

根據(jù)式(9)、式(10)與式(11)，可得結(jié)點(diǎn)力與位移的關(guān)系為

1.3 桿—梁組合系統(tǒng)的譜元公式

為了滿足相鄰單元在邊界上位移與力的連續(xù)性，將式(7)與式(12)加以整合，可以得到局部坐標(biāo)系下譜單元結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為

為了求解整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，需將局部坐標(biāo)下的譜單元?jiǎng)偠染仃嚺c所受外力矩陣變成整體坐標(biāo)。按照一定的關(guān)系組合，可以得到整個(gè)系統(tǒng)結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為

式中S(ω)為整體坐標(biāo)下的結(jié)構(gòu)剛度矩陣，與頻率有關(guān)。通過(guò)求解式(15)，即可求出整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。

2 譜元法求解加筋雙層板在聲波激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)

本文將只考慮結(jié)構(gòu)路徑傳聲的加筋雙層板看作是一個(gè)桿梁組合系統(tǒng)，應(yīng)用譜元法來(lái)求解該桿梁系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧平面波激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)。加筋雙層板的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。

圖1 梯形加筋雙層板模型

該組合系統(tǒng)的梁可以分為三類(lèi)：

①下梁：下層梁受到斜入射角度為θ的聲激勵(lì)作用，厚度為h1，長(zhǎng)度為L(zhǎng)；

②筋梁：中間筋板梁連接上下兩層梁，厚度為h2，共有N根筋，筋板與豎直方向傾角為α，N根筋與兩面板的中心平等線相交于垂直線的中點(diǎn)；

③上梁：上層梁對(duì)外輻射聲壓，厚度為h3，與下層梁的間距為H。

如圖1所示，結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)為：L=1 m，H=0.1 m，h1=h2=h3=0.005 m，α=10o，筋的數(shù)量N=10。結(jié)構(gòu)材料參數(shù)為：楊氏模量E=7.1×1010Pa，泊松比v=0.33，密度 ρ=2 700 kg/m3，阻尼系數(shù)η=0.1。聲波壓力 f(x)=，其中kx=ω/c0×sinθ，P0=1。

分別使用有限元法和譜元法計(jì)算該結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧平面波斜入射角度θ=30o情況下的振動(dòng)響應(yīng)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，對(duì)上面板的振動(dòng)能量進(jìn)行比較。振動(dòng)能量的表達(dá)式為

所得到的上面板橫向振動(dòng)能量隨激勵(lì)頻率的變化關(guān)系如圖2所示。

由圖2對(duì)比可以看出，譜元法計(jì)算加筋雙層板的振動(dòng)響應(yīng)與有限元法相比，振動(dòng)能量和結(jié)構(gòu)的共振頻率都可以很好地吻合。由此證明了方法的正確性與有效性。值得指出的是，計(jì)算該結(jié)構(gòu)在645個(gè)頻率點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)，有限元法共耗時(shí)5 074 s，而SEM方法求解耗時(shí)122 s，SEM的計(jì)算時(shí)間僅為有限元計(jì)算的3%?？梢?jiàn)SEM用于求解雙層加筋板這類(lèi)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題的計(jì)算效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于FEM。并且，對(duì)于參數(shù)分析，SEM可以快速地變化結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行重新計(jì)算，而FEM模型需要重新建?；蛘吒戮W(wǎng)格才能計(jì)算，因而SEM應(yīng)用于結(jié)構(gòu)-聲學(xué)優(yōu)化具有極大的優(yōu)勢(shì)。

圖2 梯形加筋板上面板的橫向振動(dòng)能量對(duì)比

3 筋板傾角與面板間距對(duì)梯形加筋板隔聲性能的影響

加筋雙層板的隔聲性能可以由透射側(cè)面板的輻射聲功率看出，若透射聲功率越小，說(shuō)明從下面板傳遞到上面板的聲能量越小，即結(jié)構(gòu)的隔聲性能越好。由式(15)可以求得加筋雙層板上面板的橫向振動(dòng)響應(yīng)，再由Rayleigh積分[14]求得上面板在極坐標(biāo)中點(diǎn)(r，φ)處的輻射聲壓p(r，φ；f)為

上面板的輻射聲功率可以表示為

在筋板截面面積不變的約束條件下，通過(guò)改變筋板的結(jié)構(gòu)參數(shù)，研究筋板傾角與面板間距等幾何參數(shù)在聲波正入射條件下對(duì)隔聲性能的影響，為加筋板振聲學(xué)特性分析和聲學(xué)設(shè)計(jì)提供數(shù)據(jù)支持。

為了確保筋板的截面面積不變，首先要研究面板間距H與筋板傾角α對(duì)筋板厚度h2的影響。以筋板參數(shù)為H=0.1 m，h2=0.05 m，α=0o的筋板面積S作為參照，考察面板間距在50 mm～150 mm范圍內(nèi)（取值間隔為5 mm），筋板傾角在0～30o范圍內(nèi)（取值間隔為1o）共651個(gè)不同的梯形加筋雙層板譜元模型在聲波正入射條件下的平均聲輻射功率。不同面板間距與筋板傾角情況下的筋板厚度由下式求出。

式中不變的幾何參數(shù)為：L=1 m，N=10，h1=h3=0.05 m；材料參數(shù)與上文的相同。以10 Hz～1 000 Hz為考察頻帶，以上面板的平均透射聲功率Wtm為考察對(duì)象。頻率區(qū)間為f1～f2的平均輻射聲功率Wtm的表達(dá)式為

計(jì)算得到的透射聲功率的頻帶均值Wtm隨面板間距和筋板傾角的變化規(guī)律如圖3所示。

圖3 透射聲功率的頻帶均值Wtm隨筋板傾角和面板間距的變化規(guī)律

由圖3所示結(jié)果可以看出，筋板的傾角對(duì)結(jié)構(gòu)的隔聲性能影響與面板間距有關(guān)?？偟内厔?shì)是，隨著筋板傾角的逐漸增大，透射的聲功率越小。即隨著筋板傾角的增大，梯形加筋雙層板結(jié)構(gòu)的隔聲性能越好。這是由于在筋板截面面積與面板間距不變的約束下，隨著筋板傾角的增大，斜筋的長(zhǎng)度越大，筋板的聲橋作用減弱。這也說(shuō)明相同質(zhì)量面密度條件下，梯形加筋雙層板的隔聲性能優(yōu)于矩形加筋雙層板。

此外，在筋板斜筋傾角為0～22o范圍內(nèi)，面板間距越大，上面板的輻射聲功率越大。即在此范圍內(nèi)，梯形加筋板的隔聲性能隨著面板間距的增大而減小。這是由于在固定筋板截面面積與傾角的情況下，面板間距越大，斜筋的長(zhǎng)度在變長(zhǎng)，筋板的厚度減小。此時(shí)筋板連接上下面板的聲橋作用在增強(qiáng)，透射到上面板的聲能量變大，隔聲變差。在筋板傾角為22o～30o之間，加筋板的隔聲性能隨面板間距體現(xiàn)出無(wú)規(guī)則的變化規(guī)律。

4 結(jié)語(yǔ)

譜元法用于計(jì)算加筋雙層板在聲激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，在保證相同計(jì)算精度條件下，計(jì)算效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于有限元法。此外，譜元法還可以快速地變化結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行重新計(jì)算，而有限元法模型需要重新建?；蛘吒戮W(wǎng)格才能計(jì)算。因而譜元法應(yīng)用于加筋雙層板的結(jié)構(gòu)—聲學(xué)優(yōu)化具有極大的優(yōu)勢(shì)。

加筋雙層板的筋板傾角與面板間距對(duì)結(jié)構(gòu)的隔聲性能有顯著影響。在筋板截面面積不變的約束下，筋板傾角大的加筋雙層板的隔聲性能越好；在傾角小于22°的情況下，隔聲性能隨著面板間距的減小而增大。這些結(jié)果可以為梯形加筋板振—聲學(xué)特性研究和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的數(shù)據(jù)支持。

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(簡(jiǎn)訊)

PCB壓電傳感器技術(shù)（北京）有限公司

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Sound TransmissionAnalysis of Sandwich Plates Based on Spectral Element Method

LI Lan-qing1,ZHENG Hui1,2
(1.Shanghai Key Lab for Digital Manufacture of Complex Thin-walled Structures, Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China; 2.Institute of Vibration,Shock&Noise,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China)

A theoretical study on the vibration response of sandwich plates with typical corrugated cores under incident plane sound wave excitation was done by using spectral element method(SEM).Accuracy and efficiency of the SEM were validated by comparing the results with those of FEM.The transmission sound power through the sandwich plates under the normal incidence of the plane sound wave was calculated by applying Rayleigh integral.The effects of the distance between the two faceplates and the inclination angle of the stiffening core on the transmission acoustic power were studied under the condition of constant cross sectional area of the whole structure.It is shown that the transmission sound power of the reinforced sandwich plate decreases as the inclination angle of the corrugated core increases.When the inclination angle of the core is less than 22o,the transmission sound power reduces with the decrease of the distance between the two faceplates. These results are meaningful to the structural design and vibro-acoustic optimization of sandwich plates with corrugated cores.

acoustics;sandwich plates;sound transmission;spectral element method;vibro-acoustic performance; acoustic radiation power

TB532；TH113.1

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.03.039

1006-1355(2015)03-0181-05

2014－09－29

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（NSFC 51275285）

李蘭清（1989－），女，碩士研究生，目前從事噪聲、振動(dòng)控制領(lǐng)域的研究。E-mail:lilanqing09@sjtu.edu.cn

鄭輝，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:huizheng@sjtu.edu.cn