楊毅青，張 斌，劉 強

（1.北京航空航天大學(xué)機械工程及自動化學(xué)院，北京100191；2.國防科技工業(yè)高效數(shù)控加工技術(shù)研究應(yīng)用中心，北京100191）

引 言

銑削是最為普遍的一種金屬切削加工方式。長期以來，人們對銑削加工過程中的動力學(xué)建模與仿真技術(shù)進行了大量的研究，以期對實際生產(chǎn)進行理論指導(dǎo)和工藝優(yōu)化。切削力模型的選擇與確定是銑削過程動力學(xué)仿真的基礎(chǔ)。目前，線性切削力模型是使用最為廣泛的一種，該模型中的六個切削力系數(shù)被視為與切削參數(shù)無關(guān)的固定常數(shù)［1］。線性切削力模型已被應(yīng)用于各種銑刀的切削力建模及顫振穩(wěn)定域仿真，并在實際中得到較好的驗證［1，2］。ALTINTAS將該模型應(yīng)用于平底立銑刀、球頭刀與鑲片刀等刀具的銑削動力學(xué)建模，切削力及顫振穩(wěn)定域 預(yù) 測 與 實 驗 吻 合 較 好［1］。INSPERGER［3］和DING［4］進一步完善了線性切削力模型下的銑削顫振穩(wěn)定域預(yù)測，分別提出了半離散法與全離散法。線性切削力模型的不足之處是，對刃口力與瞬時切削厚度無關(guān)的假定不完全準確［5］；此外，由于切削力被表示成與切削厚度成線性關(guān)系，無法獲取進給速度對顫振穩(wěn)定域瓣的影響［6］。因此，人們在線性切削力模型的基礎(chǔ)上對切削模型進行了拓展。

指數(shù)瞬時切削力模型是另一種較常見的模型，在該模型中切削力系數(shù)被表示成瞬時切削厚度的指數(shù)函數(shù)。張臣等研究了基于指數(shù)瞬時模型的球頭銑刀切削力建模方法［7］。WAN以圓柱螺旋立銑刀為例，提出了一種僅需進行一次實驗試切，即可根據(jù)瞬時切削力辨識指數(shù)瞬時模型系數(shù)的方法［8］。JENSEN建立了包含進給速度以及刀片幾何參數(shù)的面銑削指數(shù)瞬時加工模型，實驗結(jié)果表明顫振穩(wěn)定域的臨界切深隨著進給速度的增加而增加［9］。MUNOA研究了基于指數(shù)切削力模型的銑削顫振穩(wěn)定域預(yù)測，分析了進給速度對顫振穩(wěn)定域的影響［10］。與線性切削力模型相對，指數(shù)瞬時模型是一種非線性模型，不但能準確預(yù)測切削力，而且能預(yù)測進給速度對顫振穩(wěn)定域的影響。

相比以上兩種切削力模型，針對其他模型的研究工作相對較少。尹力等建立了以進給速度、切深、主軸轉(zhuǎn)速為自變量的銑削力系數(shù)多項式模型，并采用偏最小二乘回歸方法辨識出切削力系數(shù)［11］。梁睿君等研究了以每齒進給量為變量的二次多項式切削力系數(shù)模型，揭示了主軸轉(zhuǎn)速、進給速度與臨界穩(wěn)定切深之間存在非線性關(guān)系［12］。BUDAK研究了線性及指數(shù)平均切削力模型的切削力系數(shù)辨識及銑削建模技術(shù)，實驗對比表明線性模型的精度高于指數(shù)平均切削力模型［5］。綜合目前發(fā)表的文獻，尚沒有系統(tǒng)針對上述多種切削力模型在銑削動力學(xué)建模中的對比分析工作。據(jù)此，本文以圓柱螺旋立銑刀為例，圍繞線性切削力模型、指數(shù)瞬時切削力模型、指數(shù)平均切削力模型以及一般多項式切削力模型的銑削動力學(xué)建模技術(shù)，分別對其中所涉及到的切削力系數(shù)辨識、切削力及顫振穩(wěn)定域預(yù)測進行研究，并在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)總結(jié)各模型的優(yōu)點與不足。

圖1 銑削力分布示意圖Fig.1 Modeling of the milling force

1 銑削過程建模

1.1 基本理論

以圓柱螺旋立銑刀為例（如圖1（a）所示），將切削刃離散成若干微元。將每個微元上承受的切削力dF進行分解，可得切向力dFt、徑向力dFr與軸向力dFa（如圖1（b）所示）。微元分力的大小由刀具／工件材料性質(zhì)、瞬時切削厚度與微元高度決定。通過座標變換，將切向、徑向與軸向分力投影至機床坐標X，Y與Z方向，可得

式中 dFx，dFy與dFz分別為切削力微元在X，Y與Z方向上的切削力投影分量；j代表切削刃l(wèi)上的某一微元；φj，l為瞬時切入角。將任一時刻所有參與切削的微元上的力進行疊加，可得到銑刀沿X／Y／Z方向上的瞬時切削合力為

式中N為刀齒數(shù)，M為切削刃上所劃分的微元數(shù)目。

1.2 銑削力模型分類

式（1）中，切削刃微元所承受的切向力dFt、徑向力dFr與軸向力dFa可表述成下式

式中Ktc，Krc，Kac分別為切向、徑向、軸向力系數(shù)；Kte，Kre，Kae分別為切向、徑向、軸向刃口力系數(shù)；dz為切削刃微元高度；h＝csinφj，l為瞬時切屑厚度，c為每齒進給量。根據(jù)目前文獻，切削力模型主要包括線性、指數(shù)瞬時、指數(shù)平均以及一般多項式。各模型下的切削力系數(shù)表達式如表1所示。

表1 切削力模型分類Tab.1 Categories of the cutting force model

2 銑削力系數(shù)辨識

2.1 銑削力系數(shù)辨識算法研究

對所有切削力模型而言，切削力系數(shù)辨識是銑削過程建模技術(shù)的關(guān)鍵。通過計算刀具一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)的平均銑削力FA，可對切削力系數(shù)進行辨識。由于切削力系數(shù)的大小取決于刀具、工件等物理屬性，不受切入、切出角的影響，為簡化推導(dǎo)過程，在以下辨識過程中均以槽銑加工（φst＝0，φex＝π）為例。

1）線性切削力模型

計算刀具旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)的平均切削力FA（FA，q＝Bqc＋Aq，q＝x，y，z）

等式兩邊除以Nap，以c為變量采用最小二乘法進行擬合，具體推導(dǎo)過程可參考文獻［1］。辨識出的切削力系數(shù)計算公式如下

2）指數(shù)瞬時切削力模型

計算獲得X／Y／Z方向上的每齒平均銑削力為

等式兩邊除以Nap并取對數(shù)，得到以lnc為自變量的線性表達式（ln（FA，q／Nap）＝Bqlnc＋Aq，q＝x，y，z）。采用最小二乘法進行擬合，可獲得切削力系數(shù)計算公式如下

3）指數(shù)平均切削力模型

槽銑時，每轉(zhuǎn)的平均切削厚度hA＝2c／π。計算獲得X／Y／Z方向上的每齒平均銑削力為

等式兩邊除以Nap再取對數(shù)，得到以lnc為自變量的線性表達式（ln（FA，q／Nap）＝Bqlnc＋Aq，q＝x，y，z）。采用最小二乘法進行擬合，可得切削力系數(shù)計算公式如下

4）一般多項式切削力模型

計算獲得X／Y／Z方向上的每齒平均銑削力為

設(shè)已有m＋1組（m≥3）不同每齒進給量c（c0，c1，c2…cm）下的平均切削力數(shù)據(jù)，對X／Y／Z方向以｛c0c1c2c3｝為基函數(shù)分別進行最小二乘法曲線擬合。以X方向為例，由下方程組式可解得kx。

其中，

保持A不變，同理對X，Z方向進行辨識，可解出ky，kz向量：

辨識后的切削力系數(shù)計算公式如下

2.2 辨識實驗

結(jié)合切削實驗，通過采集銑削過程中的X／Y／Z向切削力數(shù)據(jù)，對刀具／工件材料對的切削力系數(shù)進行辨識。實驗采用槽銑的方式，與公式推導(dǎo)中的條件保持一致。為最大限度降低實驗誤差，總共采集9組實驗數(shù)據(jù)，取主軸轉(zhuǎn)速n＝4 000r／min保持不變，分別改變進給速度（F＝200，400，600mm／min）與切深（ap＝0.5，1，1.5mm）的取值。實驗用機床為VMC0850B（如圖2所示），切削用測力儀為Kistler 9257B。實驗用刀具為KENNAMETAL圓柱螺旋立銑刀（ABDF1200A2AS），刀齒數(shù)為2，刀具直徑為12mm。工件材料為鋁合金7050。

圖2 切削實驗現(xiàn)場Fig.2 Experimental setup

分別應(yīng)用2.1節(jié)的算法對上述四種切削力模型的系數(shù)進行辨識，結(jié)果如表2所示。

表2 辨識后的鋁合金7050切削力系數(shù)Tab.2 Identified cutting force coefficients of Aluminum 7050

3 銑削力預(yù)測與實驗對比

基于上述四種切削力模型及辨識后的切削力系數(shù)，通過式（2）預(yù)測X／Y／Z向銑削力并與實驗結(jié)果進行對比（如圖3，4所示）。由圖可得，四種切削力模型的預(yù)測結(jié)果均與實驗較吻合。通過計算每種模型預(yù)測值相對實驗數(shù)據(jù)的平均誤差，對模型的預(yù)測精度作進一步分析。以鋁合金7050為例，由圖5可得，線性、指數(shù)瞬時切削力模型的預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)最為接近（各向最大誤差均小于8%），其次是一般多項式模型，指數(shù)平均模型的預(yù)測誤差相對最大。與實驗數(shù)據(jù)相比，線性、指數(shù)瞬時與一般多項式模型預(yù)測誤差的最小值均在Y方向，誤差值分別為0.25%，1.52%與1.58%；指數(shù)平均模型預(yù)測誤差的最小值在Z方向，最小誤差為5.05%。此外，由于螺旋立銑刀切削加工時的Z向銑削力數(shù)值較小，因而對線性、指數(shù)瞬時與一般多項式模型而言，X和Y方向的預(yù)測誤差均比Z向誤差大；但指數(shù)平均模型預(yù)測誤差的最大值發(fā)生在Y方向，最大誤差為16%。

4 銑削顫振穩(wěn)定域仿真與對比

根據(jù)再生顫振理論，采用頻域求解法預(yù)測各切削力模型下的顫振穩(wěn)定域圖，有關(guān)該方法的具體介紹可參考文獻［1］。頻域法求解的關(guān)鍵在于獲取式（10）中的方向系數(shù)矩陣α。本文推導(dǎo)過程中，對指數(shù)瞬時、一般多項式模型中的高階函數(shù)采用泰勒公式進行展開，詳見附錄。

圖3 四種切削力模型的三向銑削力仿真結(jié)果與實驗對比。工件材料鋁合金7050；刀具直徑D＝12mm，刀齒數(shù)N＝2；切削參數(shù)：n＝4000r／min，F(xiàn)＝600mm／min，ap＝1.5mm，槽銑。Fig.3 Comparison of the simulated and experimental milling force in X／Y／Zdirections based on the proposed four cutting force models.Workpiece material：Aluminum 7050；tool diameter D＝12mm，teeth number N＝2；and cutting parameters：n＝4000r／min，F(xiàn)＝600mm／min，ap＝1.5mm，slot milling.

圖4 四種切削力模型的三向銑削力仿真結(jié)果與實驗對比。工件材料合金鋼40Cr；刀具直徑D＝16mm，刀齒數(shù)N＝2；切削參數(shù)：n＝3000r／min，F(xiàn)＝480mm／min，ap＝0.8mm，槽銑。Fig.4 Comparison of the simulated and experimental milling force in X／Y／Zdirections based on the proposed four cutting force models.Workpiece material：alloy steel 40Cr；tool diameter D＝16mm，teeth number N＝2；and cutting parameters：n＝3000r／min，F(xiàn)＝480mm／min，ap＝0.8mm，slot milling.

式中F（t）＝［FxFy］′，Δ（t）＝［ΔxΔy］′。

在獲取切削力系數(shù)及方向系數(shù)矩陣α后，顫振穩(wěn)定域圖的預(yù)測還需要獲取刀尖頻響函數(shù)。以本文所使用的螺旋立銑刀為例（如圖2所示），采用錘擊實驗進行測試。測試及分析軟件為Cutpro V9.0，沖擊力錘為PCB 086C03，加速度計為Kistler 8778A500，數(shù)據(jù)采集卡為NI 9233。測試獲得刀尖沿機床坐標X／Y方向的頻響函數(shù)如圖6所示。

以工件材料鋁合金7050為例，基于上述四種切削力模型所預(yù)測出的顫振穩(wěn)定域如圖7所示。由于基于線性切削力模型的銑削顫振穩(wěn)定域頻域求解方法的準確性已得到大量驗證［1，2，9］，本文省略了重復(fù)針對該方法預(yù)測精度的實驗驗證工作，僅將另外三種切削力模型的預(yù)測結(jié)果與線性模型進行對比。

以圖7（a）的半槽銑（c＝0.1mm）為例，線性切削力模型的極限切深值為5.6mm，指數(shù)瞬時與指數(shù)平均模型的預(yù)測值較接近，分別為4.2mm與4.0mm，一般多項式模型的預(yù)測值最小，為1.5mm。以圖7（b）槽銑（c＝0.075mm）為例，線性與指數(shù)瞬時切削力模型的預(yù)測結(jié)果相近（極限切深值分別為1.9mm與1.7mm），而指數(shù)平均與一般多項式模型的預(yù)測極限值相對較低，均為1.2mm。綜合以上分析，一般多項式模型的顫振穩(wěn)定域預(yù)測精度與線性模型的差別最大，最大偏差超過50%。

此外，與線性切削力模型不同，由于指數(shù)瞬時、指數(shù)平均及一般多項式模型的方向系數(shù)矩陣α中包含了瞬時切削厚度h，因而可預(yù)測進給速度對顫振穩(wěn)定域瓣的影響。限于文章篇幅，在本文中不予討論。

圖5 四種切削力模型預(yù)測值相對實驗數(shù)據(jù)的平均誤差。工件材料鋁合金7050；刀具直徑D＝12mm，刀齒數(shù)N＝2；切削參數(shù)：n＝4 000r／min，F(xiàn)＝600mm／min，ap＝1.5mm，槽銑。Fig.5 Average error between simulated and experimental milling force based on the proposed four cutting force models.Workpiece material：Aluminum 7050；tool diameter D＝12mm，teeth number N＝2；and cutting parameters：n＝4 000r／min，F(xiàn)＝600mm／min，ap＝1.5mm，slot milling.

圖6 刀尖位移頻響函數(shù)Fig.6 Displacement frequency response function of the tool tip

圖7 基于四種切削力模型下的顫振穩(wěn)定域圖預(yù)測。工件材料鋁合金7050；刀具直徑D＝12mm，刀齒數(shù)N＝2Fig.7 Chatter stability prediction based on the proposed four cutting force models.Workpiece：Aluminum 7050；tool diameter D＝12mm，teeth number N＝2

5 結(jié) 論

（1）在銑削力預(yù)測部分，線性、指數(shù)瞬時切削力模型的預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)最為接近，其次是一般多項式模型，指數(shù)平均模型的預(yù)測誤差相對最大，以鋁合金7050為例，較實驗值的最大平均誤差為16%；

（2）在銑削顫振穩(wěn)定域預(yù)測部分，線性、指數(shù)瞬時模型的預(yù)測值較為接近，其次是指數(shù)平均模型，一般多項式模型的預(yù)測值與線性模型的差別最大，最大偏差超過50%；

（3）綜合銑削力與顫振穩(wěn)定域預(yù)測結(jié)果，線性、指數(shù)瞬時切削力模型的預(yù)測精度高于指數(shù)平均與一般多項式模型。指數(shù)平均模型由于同時忽略了刃口力系數(shù)以及切屑厚度的瞬時變化，在部分情況下所預(yù)測的切削力幅值有可能保持恒定（如四齒銑刀、槽銑），與實驗結(jié)果差距較大；

（4）相對線性模型，指數(shù)瞬時、指數(shù)平均及一般多項式模型均可預(yù)測進給速度對顫振穩(wěn)定域的影響，缺點是在計算方向系數(shù)矩陣時，對以瞬時切削厚度為底數(shù)的冪函數(shù)采用了泰勒公式進行展開，忽略了高階多項式，從而對穩(wěn)定域瓣的預(yù)測結(jié)果造成一定影響。

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