方圣恩，張秋虎，林友勤，張笑華

（1.福州大學(xué)土木工程學(xué)院，福建 福州350108；2.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥230009）

引 言

過(guò)去20年來(lái)，有限元模型修正技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于參數(shù)識(shí)別和損傷識(shí)別等領(lǐng)域［1，2］。當(dāng)前絕大多數(shù)的模型修正方法都屬于確定性方法，無(wú)法考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)的不確定性，使得實(shí)用性大大降低。由于模型誤差、構(gòu)件幾何尺寸和材料變異性、制造誤差、噪聲等因素的影響，不確定性廣泛存在于實(shí)際結(jié)構(gòu)的參數(shù)和響應(yīng)中［3］，是無(wú)法回避的問(wèn)題。因此，為了提高參數(shù)識(shí)別、損傷識(shí)別結(jié)果的可靠性，在有限元模型修正過(guò)程中結(jié)合概率方法進(jìn)行分析是十分必要的［4］。

工程分析中可以將不確定性分為偶然型不確定性（aleatory uncertainty）和認(rèn)知型不確定性（epistemic uncertainty）［5］。前者一般指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件由于制造誤差或材料離散性所導(dǎo)致的幾何參數(shù)和材料變異性，可以被量化，但無(wú)法避免或人為消除；后者源于對(duì)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)或測(cè)量信息上的不足（比如僅有少量的測(cè)量數(shù)據(jù)），但可以通過(guò)補(bǔ)充相關(guān)信息來(lái)降低甚至消除。在模型修正方面，通過(guò)結(jié)合概率分析方法可以有效考慮上述不確定性，使得修正結(jié)果的可靠性得到大大提高［6］。早期的概率模型修正方法主要針對(duì)測(cè)量誤差所引起的不確定性，通過(guò)最小化測(cè)量噪聲的方差來(lái)尋求參數(shù)均值的最佳估計(jì)值［6］。此外，貝葉斯方法的應(yīng)用可以獲得更加可靠的識(shí)別結(jié)果［7，8］，雖然修正過(guò)程會(huì)變得更為復(fù)雜、計(jì)算量更大。近些年來(lái)，采用攝動(dòng)方法在參數(shù)設(shè)計(jì)點(diǎn)上基于截?cái)嗵├照归_(kāi)的方式來(lái)表示修正方程的各個(gè)項(xiàng)，并以此構(gòu)建概率模型修正（probabilistic model updating）過(guò)程，可以有效提高修正效率［9］，因此得到了一定的應(yīng)用。但概率修正方法的精度依賴于對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)概率分布特性的準(zhǔn)確估計(jì)，要求有大量的測(cè)試信息來(lái)建立準(zhǔn)確的概率分布函數(shù)。對(duì)大多數(shù)工程問(wèn)題而言，考慮到測(cè)試成本和可行性，上述要求往往無(wú)法得到滿足。此外，某些情況下參數(shù)或響應(yīng)的上下界（極限值）對(duì)工程分析或設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)更有實(shí)際意義，而非關(guān)注于具體的概率分布形式。此時(shí)可以采用區(qū)間數(shù)來(lái)表示結(jié)構(gòu)的參數(shù)和響應(yīng)，即構(gòu)建區(qū)間模型修正（interval model updating）問(wèn)題［10］。

目前為止，針對(duì)區(qū)間模型修正問(wèn)題的相關(guān)研究還非常少。同時(shí)由于區(qū)間數(shù)運(yùn)算法則和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)算法非常不同［11］，因此主要還是在確定性框架內(nèi)進(jìn)行區(qū)間反向優(yōu)化（interval inverse optimization）問(wèn)題的求解，并不是真正意義上的區(qū)間優(yōu)化反演過(guò)程。對(duì)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)而言，可以通過(guò)求解區(qū)間線性方程組來(lái)估計(jì)區(qū)間參數(shù)［12］。更常見(jiàn)的辦法是將區(qū)間模型修正問(wèn)題分解為兩個(gè)確定性修正過(guò)程，即分別獨(dú)立修正參數(shù)的上界和下界（或者區(qū)間中值和區(qū)間半徑），以避免區(qū)間數(shù)運(yùn)算可能導(dǎo)致的優(yōu)化困難［13］。此時(shí)可以采用一階泰勒展開(kāi)式來(lái)表示結(jié)構(gòu)的特征矩陣，并將區(qū)間模態(tài)參數(shù)作為目標(biāo)響應(yīng)。當(dāng)修正得到的響應(yīng)區(qū)間和實(shí)測(cè)區(qū)間基本吻合時(shí)，即可認(rèn)為優(yōu)化過(guò)程收斂，其間可以采用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法進(jìn)行求解［14］。值得注意的是，區(qū)間算法的運(yùn)算過(guò)程普遍存在著一個(gè)問(wèn)題，即區(qū)間擴(kuò)張（intervals overestimation）現(xiàn)象。該問(wèn)題是由于區(qū)間變量在區(qū)間方程中多次出現(xiàn)所導(dǎo)致的，可以采用頂點(diǎn)法（vertex solution），通過(guò)合理組合參數(shù)的上下界求解響應(yīng)區(qū)間［15］。頂點(diǎn)法對(duì)求解簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的特征值問(wèn)題（頻率）非常有效［16］，但其要求結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量矩陣是參數(shù)的線性函數(shù)。該條件對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言通常無(wú)法滿足，因此是頂點(diǎn)法的重要應(yīng)用缺陷。與此同時(shí)，該方法也不能采用特征向量（模態(tài)振型）作為響應(yīng)，因?yàn)榇藭r(shí)無(wú)法保證參數(shù)－響應(yīng)關(guān)系的單調(diào)性［17］。因此，有必要尋求一種更為通用的方法求解區(qū)間模型修正問(wèn)題。此外，區(qū)間模型修正過(guò)程的計(jì)算效率也值得關(guān)注。為了提高修正效率，可以采用元模型（meta－model，如響應(yīng)面模型和Kriging模型）替代有限元模型，以建立結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)之間的關(guān)系式。然后通過(guò)不斷調(diào)整參數(shù)區(qū)間的大小，并在每個(gè)迭代步開(kāi)始時(shí)重構(gòu)Kriging模型實(shí)現(xiàn)修正過(guò)程［17］。這種方法具有比頂點(diǎn)法更優(yōu)的通用性，但其修正過(guò)程比較復(fù)雜且計(jì)算量大，不利于在復(fù)雜結(jié)構(gòu)問(wèn)題上的應(yīng)用。

本文將傳統(tǒng)響應(yīng)面模型和區(qū)間算法相結(jié)合，提出了區(qū)間響應(yīng)面模型（interval response surface model，縮寫IRSM）的概念，使得區(qū)間模型修正過(guò)程中可以直接在IRSM表達(dá)式上進(jìn)行區(qū)間數(shù)運(yùn)算和優(yōu)化計(jì)算，避免了將問(wèn)題分解為數(shù)個(gè)確定性過(guò)程來(lái)分別求解，從而大幅提高了修正效率。此外，本文方法對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)－響應(yīng)之間的關(guān)系（單調(diào)或非單調(diào)，線性或非線性）沒(méi)有要求，且可以同時(shí)采用特征值和特征向量作為目標(biāo)響應(yīng)。更重要的是，采用區(qū)間響應(yīng)面模型不會(huì)發(fā)生區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象，可以有效提高修正結(jié)果的可信度。最后，文中通過(guò)一個(gè)數(shù)值質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)和一組試驗(yàn)鋼板驗(yàn)證了所提出方法的可行性和可靠性。

1 區(qū)間響應(yīng)面模型

1.1 區(qū)間擴(kuò)張問(wèn)題

區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則（包括加、減、乘、除）和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)算法非常不同［11］，導(dǎo)致在區(qū)間反問(wèn)題的求解過(guò)程中直接進(jìn)行區(qū)間運(yùn)算非常困難，比如計(jì)算區(qū)間函數(shù)的梯度。因此，當(dāng)前絕大多數(shù)研究仍然在確定性框架下進(jìn)行求解，并非完全意義上的區(qū)間模型修正。此外，區(qū)間運(yùn)算過(guò)程中的區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象始終存在，很大程度上降低了修正結(jié)果的可信度。舉例來(lái)說(shuō)，定義函數(shù)f（x），g（x）和h（x）如下

可以看到，3個(gè)函數(shù)從傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論上來(lái)說(shuō)是完全一樣的，僅表達(dá)式不同而已。若將函數(shù)中的變量x用區(qū)間數(shù)xI＝ ［0，1］表示，此時(shí)通過(guò)區(qū)間數(shù)運(yùn)算可得

可見(jiàn)3個(gè)函數(shù)求解得到的區(qū)間值完全不同，其中僅h（x）給出了正確解，而其他2個(gè)函數(shù)都出現(xiàn)了區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象。這是由于x在f（x）和g（x）表達(dá)式中出現(xiàn)了2次，在運(yùn)算過(guò)程中被認(rèn)為是2個(gè)獨(dú)立變量所造成的。因此，文獻(xiàn)［15］提出了頂點(diǎn)法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。但如前所述，頂點(diǎn)法在復(fù)雜問(wèn)題上的應(yīng)用有著很大局限性，因此有必要尋求更為通用的求解方法。

1.2 區(qū)間響應(yīng)面建模

本文將傳統(tǒng)響應(yīng)面模型和區(qū)間算法相結(jié)合，提出了IRSM的概念。傳統(tǒng)的響應(yīng)面模型實(shí)際上是一種顯式的多項(xiàng)式數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以將系統(tǒng)的參數(shù)x和響應(yīng)y聯(lián)系起來(lái)［18］

式中β為常系數(shù)，通過(guò)對(duì)函數(shù)近似誤差ε的最小二乘估計(jì)來(lái)求解；k為參數(shù)個(gè)數(shù)；xi表示參數(shù)主效應(yīng)，xixj表示參數(shù)間相互效應(yīng)。式（3）為2階響應(yīng)面模型的完整表達(dá)式，其對(duì)大多數(shù)工程問(wèn)題來(lái)說(shuō)精度可以滿足要求，因而得到了廣泛應(yīng)用［19］。而在構(gòu)建IRSM過(guò)程中，需要對(duì)式（3）進(jìn)行改造。首先要忽略掉相互效應(yīng)項(xiàng)，因?yàn)榇蠖鄶?shù)情況下，參數(shù)間相互效應(yīng)對(duì)響應(yīng)面模型總方差的貢獻(xiàn)非常?。?0，21］，忽略后并不影響模型的精度，反而還能提高求解效率。然后利用配方法將式（3）轉(zhuǎn)化為完全平方項(xiàng)

這樣可以使表達(dá)式中xi僅出現(xiàn)一次，從而在區(qū)間運(yùn)算過(guò)程中避免了區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象的出現(xiàn)。最后，將xi用區(qū)間數(shù)表示，可以得到

式中 上標(biāo)I表示區(qū)間數(shù)或區(qū)間變量。

式（5）即IRSM的理論表達(dá)式。利用該模型可以直接進(jìn)行區(qū)間運(yùn)算，以方便地求得響應(yīng)yI的區(qū)間值，并在優(yōu)化過(guò)程進(jìn)行快速反向求解。

1.3 區(qū)間響應(yīng)面和傳統(tǒng)響應(yīng)面的異同

本文提出的IRSM是建立在傳統(tǒng)的2階響應(yīng)面模型基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)后者表達(dá)式的變換并引入?yún)^(qū)間數(shù)，得到IRSM表達(dá)式。該表達(dá)式的特點(diǎn)是每個(gè)區(qū)間參數(shù)都僅出現(xiàn)一次，以此有效避免區(qū)間運(yùn)算過(guò)程中的區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象。此外，傳統(tǒng)響應(yīng)面僅能針對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分析，而IRSM可以同時(shí)考慮區(qū)間數(shù)和實(shí)數(shù)，即將實(shí)數(shù)作為“點(diǎn)區(qū)間”來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，這也是IRSM的優(yōu)勢(shì)之一?？傮w來(lái)說(shuō)，這兩種響應(yīng)面類型之間既有聯(lián)系，也有區(qū)別，同時(shí)二者的應(yīng)用領(lǐng)域也有所不同。

2 區(qū)間模型修正過(guò)程

區(qū)間模型修正過(guò)程與傳統(tǒng)的確定性修正有著很大不同，前者需要采用區(qū)間算法來(lái)處理區(qū)間變量。除了前述的IRSM，本文提出的區(qū)間模型修正方法還需要考慮的問(wèn)題包括：1）參數(shù)和響應(yīng)的選??；2）區(qū)間目標(biāo)函數(shù)的建立；3）區(qū)間優(yōu)化算法。

2.1 參數(shù)和響應(yīng)的選取

選擇合適的參數(shù)和響應(yīng)是區(qū)間模型修正成功與否的關(guān)鍵一環(huán)。在結(jié)構(gòu)參數(shù)方面，一般可以選取代表結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量的參數(shù)，比如彈性模量、截面慣性矩、材料密度等。在響應(yīng)的選擇上，可以采用結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力測(cè)量值如撓度、應(yīng)變、頻率、模態(tài)振型等作為目標(biāo)響應(yīng)，其中使用較多的是頻率（特征值）和振型（特征向量）。測(cè)量頻率要比振型簡(jiǎn)單得多，精度往往也更高。但振型包含了結(jié)構(gòu)的空間信息，對(duì)損傷定位來(lái)說(shuō)又是非常必要的，雖然考慮振型會(huì)使得區(qū)間模型修正問(wèn)題變得更為復(fù)雜。同時(shí)要注意的是，需要根據(jù)具體的修正策略和方法來(lái)確定響應(yīng)，比如頂點(diǎn)法就無(wú)法采用模態(tài)振型作為響應(yīng)，這點(diǎn)可以通過(guò)理論推導(dǎo)來(lái)說(shuō)明。

特征值對(duì)結(jié)構(gòu)質(zhì)量和剛度矩陣（元素）的偏微分可以表示為［22］：

式中 λ和φ分別表示特征值和特征向量；K和M表示結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量矩陣，其分塊矩陣（或元素）為kj和mj。因?yàn)镸和K分別為正定和半正定矩陣，所以式（6），（7）的符號(hào)在特定參數(shù)區(qū)間內(nèi)不會(huì)發(fā)生變化，即滿足單調(diào)性條件。因此，特征值區(qū)間的上下界容易通過(guò)剛度和質(zhì)量元素的上下界值組合求得。對(duì)特征值而言，其偏微分可以表示為［17］

其中

由式（9）可見(jiàn)，由于λi－λk的正負(fù)號(hào)會(huì)發(fā)生變化，即αik的正負(fù)號(hào)會(huì)發(fā)生變化，使得式（8）的單調(diào)性條件無(wú)法得到保證。因此，剛度和質(zhì)量元素的上下界值組合未必對(duì)應(yīng)特征向量區(qū)間的上下界，導(dǎo)致頂點(diǎn)法不適用。但是若采用區(qū)間響應(yīng)面模型進(jìn)行修正，則不要求滿足單調(diào)性條件，因此可以同時(shí)采用特征值和特征向量作為目標(biāo)響應(yīng)，這也是本文方法的主要優(yōu)點(diǎn)之一。

2.2 區(qū)間目標(biāo)函數(shù)

區(qū)間模型修正目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造與傳統(tǒng)的確定性修正問(wèn)題有所不同，前者不能直接采用區(qū)間響應(yīng)相對(duì)誤差的最小化來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題。舉例來(lái)說(shuō)，數(shù)值估計(jì)的區(qū)間響應(yīng)yI＝ ［20 ，30］ 與實(shí)測(cè)響應(yīng)區(qū)間＝［20，30］的相對(duì)誤差應(yīng)該為零。但對(duì)區(qū)間運(yùn)算來(lái)說(shuō)并非如此，比如：

由上式可見(jiàn)，在確定性模型修正中常用的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式F1和F2，經(jīng)過(guò)區(qū)間運(yùn)算后，其相對(duì)誤差值都不為零，因而不能直接用于區(qū)間模型修正中。有鑒于此，本文提出采用響應(yīng)yI的上下界和來(lái)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，即有

式中m表示響應(yīng)的數(shù)目。

2.3 區(qū)間優(yōu)化算法

構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)后，即可以通過(guò)最小化F求解區(qū)間優(yōu)化問(wèn)題

每個(gè)迭代步中首先調(diào)整參數(shù)區(qū)間的大??；然后利用區(qū)間響應(yīng)面模型快速計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間，并與實(shí)測(cè)區(qū)間進(jìn)行對(duì)比，若不符合收斂性要求，則重新調(diào)整參數(shù)區(qū)間大小，再次優(yōu)化；反復(fù)進(jìn)行上述調(diào)整直至F值小于預(yù)先設(shè)置的容差（tolerance），此時(shí)迭代過(guò)程收斂。要注意的是，優(yōu)化過(guò)程要設(shè)置約束條件，即參數(shù)的下界x不能大于其上界，以保證修正參數(shù)區(qū)間的合理性。

在算法實(shí)現(xiàn)上，本文采用單目標(biāo)優(yōu)化方式，函數(shù)F中每階響應(yīng)在優(yōu)化過(guò)程中的權(quán)重相同，并通過(guò)建立線性約束來(lái)設(shè)置參數(shù)變化的界限，最后通過(guò)二次規(guī)劃算法求解F最小值的最優(yōu)解。值得一提的是，待修正參數(shù)的初始區(qū)間范圍（不確定性大?。┛梢栽O(shè)置較大，其對(duì)參數(shù)區(qū)間的最終估計(jì)精度影響很小。同時(shí)本文建議一次修正的參數(shù)數(shù)目不宜過(guò)多，因?yàn)轫憫?yīng)面構(gòu)建時(shí)所需的樣本數(shù)會(huì)隨著參數(shù)數(shù)目的增加而呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，使得計(jì)算量大為增加。同時(shí)過(guò)多參數(shù)也容易導(dǎo)致優(yōu)化過(guò)程出現(xiàn)病態(tài)問(wèn)題，使得優(yōu)化求解無(wú)法收斂或者降低了參數(shù)區(qū)間估計(jì)的精度。

圖1 3自由度質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)Fig.1 Three degree of freedom mass－spring system

3 數(shù)值算例

本文首先通過(guò)一個(gè)數(shù)值質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)來(lái)驗(yàn)證所提出的方法，如圖1所示。系統(tǒng)由3個(gè)質(zhì)量塊和6組彈簧組成，其中假定k1，k2，k5為不確定的區(qū)間參數(shù)。各參數(shù)的真實(shí)值或區(qū)間如下所設(shè)：

本例中采用系統(tǒng)的3階特征值λ1，λ2，λ3以及第一階特征向量的第一分量絕對(duì)值φ（1，1）作為目標(biāo)響應(yīng)，對(duì)應(yīng)地建立了4個(gè)IRSM，其中f1和φ（1，1）的表達(dá)式舉例如下：

可以看到，表達(dá)式中的變量均為區(qū)間參數(shù)，因此區(qū)間運(yùn)算可以直接在表達(dá)式上進(jìn)行，以快速計(jì)算響應(yīng)區(qū)間。同時(shí)可以基于上述模型，通過(guò)反向優(yōu)化過(guò)程來(lái)估計(jì)參數(shù)區(qū)間。本例中3個(gè)待修正參數(shù)的初始區(qū)間設(shè)為k1＝k2＝k5＝ ［0.5，1.5］，修正后的結(jié)果列于表1。由表1可見(jiàn)，區(qū)間修正后參數(shù)的平均誤差由初始的［37.5，25.0］%降低至［0.4，0.3］%，說(shuō)明參數(shù)區(qū)間的估計(jì)是非常精確的。圖2為系統(tǒng)特征值和特征向量的收斂圖，可以看到預(yù)測(cè)的響應(yīng)區(qū)間和實(shí)際區(qū)間吻合良好。由本算例分析結(jié)果可知，本文方法可以很好地估計(jì)不確定性參數(shù)的區(qū)間范圍，并且可以同時(shí)采用系統(tǒng)特征值和特征向量作為目標(biāo)響應(yīng)，比頂點(diǎn)法的應(yīng)用范圍更廣。此外，采用區(qū)間響應(yīng)面模型替代有限元模型，可以快速方便地進(jìn)行區(qū)間運(yùn)算，有效地簡(jiǎn)化了區(qū)間優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜程度，并提高了修正效率。

表1 質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)參數(shù)區(qū)間估計(jì)值Tab.1 Estimated parameter intervals of the mass－springsystem

圖2 質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)響應(yīng)區(qū)間收斂圖Fig.2 Convergence plots of response intervals of the mass－spring system

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的方法，本文實(shí)測(cè)了一組共55塊名義上完全相同的鋼板，如圖3所示。鋼板名義幾何尺寸為600mm（長(zhǎng)）×120mm（寬）×3 mm（厚）；名義材料特性為楊氏模量210GPa，剪切模量83GPa，質(zhì)量密度7 860kg／m3。試驗(yàn)中在鋼板一端的兩個(gè)角部（振幅最大處）各布置一個(gè)加速度傳感器，并采用橡皮筋懸掛的方式模擬自由邊界條件。然后對(duì)每塊鋼板進(jìn)行錘擊試驗(yàn)，同時(shí)測(cè)量錘擊信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)，以獲取測(cè)點(diǎn)處的頻響函數(shù)，并提取鋼板前5階自振頻率，用于區(qū)間參數(shù)識(shí)別。試驗(yàn)過(guò)程為了盡可能減少人為因素和環(huán)境因素的干擾，所有鋼板都由同一個(gè)試驗(yàn)人員進(jìn)行測(cè)試，采用完全相同的試驗(yàn)步驟和試驗(yàn)儀器，并且保證鋼板的自由懸掛點(diǎn)和測(cè)試敲擊點(diǎn)也完全相同。同時(shí)，試驗(yàn)在相對(duì)恒溫的室內(nèi)進(jìn)行，以避免溫差造成的頻率變化。最后，由圖4可見(jiàn)，在最終獲取的鋼板模態(tài)中，第1，2，4階為彎曲模態(tài)，第3，5階為扭轉(zhuǎn)模態(tài)。

為了進(jìn)行區(qū)間模型修正，首先采用殼單元建立鋼板的有限元模型，沿鋼板短邊劃分10個(gè)單元，長(zhǎng)邊劃分30個(gè)單元，共得到300個(gè)殼單元，如圖4所示。然后根據(jù)鋼板的幾何尺寸和材料特性名義值計(jì)算得到前5階頻率的區(qū)間中值為44.37，122.89，136.54，242.11及279.80Hz。而對(duì)5階模態(tài)振型來(lái)說(shuō)，彎曲模態(tài)主要由鋼板厚度t和楊氏模量E控制；扭轉(zhuǎn)模態(tài)主要由t和剪切模量G控制?？紤]了扭轉(zhuǎn)模態(tài)后，區(qū)間參數(shù)識(shí)別的難度增加，更能有效驗(yàn)證所提出方法的可靠性。

圖3 鋼板錘擊試驗(yàn)Fig.3 Impact testing of the steel plates

圖4 鋼板有限元模型和振型Fig.4 The FE model and modal shapes of the plates

4.1 參數(shù)和響應(yīng)的選取

本算例選取t，E，G作為待修正參數(shù)，主要考慮到：1）鋼板在冷軋制造過(guò)程中，厚度t的變異性比長(zhǎng)度和寬度大得多，因?yàn)榍懈钿摪宓臅r(shí)候長(zhǎng)寬容易控制，而軋制過(guò)程則很難控制鋼板厚度（僅3mm）的均勻性（見(jiàn)表2所示）。更重要的是，同樣百分比的厚度改變所造成的鋼板頻率變化要比長(zhǎng)寬改變所造成的大得多。2）對(duì)于鋼材來(lái)說(shuō)，由于材料的均質(zhì)性，其材料特性是穩(wěn)定的。但加工工藝等因素可能會(huì)導(dǎo)致鋼板的材性呈現(xiàn)不均勻變化。

表2 厚度參數(shù)區(qū)間估計(jì)值Tab.2 Interval estimations of the thickness parameters

此外，考慮到頻率的測(cè)量精度相對(duì)較高，本例中選取鋼板的前5階頻率作為目標(biāo)響應(yīng)。由表3可見(jiàn)，對(duì)此類均質(zhì)鋼板來(lái)說(shuō)，頻率的不確定性很小，體現(xiàn)在實(shí)測(cè)頻率的小區(qū)間范圍上，因而對(duì)區(qū)間模型修正具有一定的難度。

表3 鋼板頻率區(qū)間修正值（厚度）Tab.3 Frequency intervals of the steel plates（thickness）

4.2 厚度t的區(qū)間識(shí)別

首先識(shí)別厚度t的區(qū)間范圍。為了提高識(shí)別精度，將t沿板長(zhǎng)邊方向分為3個(gè)等分區(qū)域t1，t2和t3。試驗(yàn)前對(duì)每個(gè)區(qū)域的厚度用高精度千分尺測(cè)量2次并取平均值，進(jìn)而得到55塊鋼板的厚度區(qū)間為t1＝ ［2.936，2.987］mm，t2＝ ［2.942，2.987］mm，t3＝ ［2.932，2.994］mm。

為了建立區(qū)間響應(yīng)面模型并進(jìn)行修正，t1，t2，t3的初始區(qū)間均設(shè)為［2.8，3.1］mm，然后對(duì)應(yīng)于5階頻率分別建立了5個(gè)IRSM。以第1階為例，其表達(dá)式如下

最后通過(guò)區(qū)間修正估計(jì)的參數(shù)區(qū)間值列于表2。由修正結(jié)果可見(jiàn)，厚度的估計(jì)值非常接近于實(shí)測(cè)值，絕對(duì)平均誤差由初始的［4.6，3.7］%降至［0.9，0.4］%，說(shuō)明區(qū)間優(yōu)化過(guò)程沒(méi)有發(fā)生區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象，修正精度高。此外，修正后的頻率區(qū)間誤差（見(jiàn)表3所示）也由初始的［4.2，4.0］%降低至［0.7，0.8］%，說(shuō)明區(qū)間優(yōu)化過(guò)程是收斂的，如圖5所示。

圖5 鋼板頻率區(qū)間收斂圖（厚度參數(shù)）Fig.5 Convergence plots of frequency intervals of the steel plates（thickness parameters）

4.3 材料參數(shù)的區(qū)間識(shí)別

本算例同時(shí)對(duì)材料參數(shù)E，G的區(qū)間值進(jìn)行了識(shí)別，即認(rèn)為鋼板頻率的不確定性主要由材料參數(shù)的變異性所引起的。試驗(yàn)中不可能對(duì)所有鋼板進(jìn)行取樣，因此僅對(duì)幾塊鋼板材料試樣進(jìn)行了單向拉伸試驗(yàn)，并根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果設(shè)置了E，G的初始區(qū)間分別為E＝ ［190，220］GPa，G＝［77，89］GPa。隨后建立了前5階頻率的IRSM，其中第1階的表達(dá)式舉例如下

經(jīng)過(guò)區(qū)間修正得到E，G的區(qū)間估計(jì)值分別為E＝［196.5，203.6］GPa，G＝［79.5，83.4］GPa，比初始區(qū)間大為縮小。二者的區(qū)間中值分別為200.1 GPa和81.5GPa，屬于鋼材材料特性的合理值，說(shuō)明參數(shù)識(shí)別結(jié)果是合理的。修正后的頻率區(qū)間誤差（如表4所示）也由初始的［1.9，4.1］%降低至［0.4，0.2］%，說(shuō)明區(qū)間優(yōu)化過(guò)程是收斂的，如圖6所示。

表4 鋼板頻率區(qū)間修正值（材料參數(shù)）Tab.4 Frequency intervals of the steel plates（material properties）

圖6 鋼板頻率區(qū)間收斂圖（材料參數(shù)）Fig.6 Convergence plots of frequency intervals of the steel plates（material parameters）

5 結(jié) 論

目前在模型修正領(lǐng)域，針對(duì)不確定性參數(shù)的非概率識(shí)別方法還很少，特別是基于區(qū)間分析的相關(guān)研究。本文將響應(yīng)面模型和區(qū)間算法相結(jié)合，提出了區(qū)間響應(yīng)面模型的概念，用于簡(jiǎn)化區(qū)間模型修正過(guò)程，以避免區(qū)間擴(kuò)張問(wèn)題并提高修正效率。所提出的方法可以精確識(shí)別一個(gè)數(shù)值質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)的彈簧剛度區(qū)間范圍，同時(shí)也能很好地識(shí)別出一組試驗(yàn)鋼板的幾何及材料參數(shù)的變異性區(qū)間。本文的研究可以得到以下結(jié)論：

1）利用IRSM可以快速、方便地估計(jì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的區(qū)間，同時(shí)還有利于區(qū)間優(yōu)化反問(wèn)題的求解，避免了區(qū)間擴(kuò)張現(xiàn)象和參數(shù)靈敏度的計(jì)算，大幅簡(jiǎn)化了優(yōu)化過(guò)程并提高了修正效率。

2）區(qū)間響應(yīng)面模型修正過(guò)程可以同時(shí)采用特征值和特征向量作為目標(biāo)響應(yīng)，不要求參數(shù)－響應(yīng)的單調(diào)性關(guān)系，因此比頂點(diǎn)法的應(yīng)用范圍更廣泛。

3）區(qū)間響應(yīng)面模型修正所需的目標(biāo)函數(shù)可以根據(jù)響應(yīng)的上下界建立，而非直接采用區(qū)間數(shù)，以此避免區(qū)間運(yùn)算導(dǎo)致的誤差。

4）所提出的方法為區(qū)間模型修正技術(shù)提供了一個(gè)新的問(wèn)題解決途徑。

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